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CCINP Mathématiques PC 2022

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Algèbre linéairePolynômes et fractionsProbabilités finies, discrètes et dénombrementIntégrales généraliséesSéries et familles sommables
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Banque
CCINP
Année
2022
Filière
PC
Matière
Maths
CCINP PCCCINP 2022PC MathsMaths 2022
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont autorisées.

Le sujet est composé de trois exercices indépendants.

EXERCICE 1
Étude d'un endomorphisme sur un espace de polynômes

Présentation générale

On rappelle le théorème de la division euclidienne pour les polynômes : si et sont deux polynômes avec , alors il existe un unique couple tel que :
Les polynômes et sont respectivement appelés le quotient et le reste dans la division euclidienne du polynôme par .
Dans cet exercice, on se donne un entier et un couple tel que deg . On considère également l'application définie sur qui à un polynôme associe le reste dans la division euclidienne de par .
Par exemple, si on suppose que l'on a:
alors, en effectuant la division euclidienne de par , on obtient :
donc on a .

Partie I - Généralités sur l'application

Dans cette partie, on démontre que l'application est un endomorphisme de .
Q1. Justifier que pour tout polynôme , on a .
On considère deux polynômes et . Par le théorème de la division euclidienne rappelé dans la présentation, il existe et tels que :
Q2. Soit . Exprimer le quotient et le reste dans la division euclidienne de par en fonction de et des polynômes et en justifiant votre réponse. En déduire que est un endomorphisme de l'espace vectoriel .

Partie II - Étude d'un premier exemple

Dans cette partie uniquement, on suppose que:
Q3. Montrer que la matrice de l'endomorphisme de dans la base ( ) est :
Q4. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de la matrice .
Q5. Justifier que l'endomorphisme est diagonalisable. Déterminer une base de formée de vecteurs propres de .

Partie III - Étude d'un second exemple

Dans cette partie uniquement, on suppose que et que . Comme est un élément de l'espace vectoriel , il existe tel que .
Q6. Montrer que la matrice de l'endomorphisme de dans la base ( ) est :
Q7. Montrer que l'endomorphisme est diagonalisable si et seulement si le polynôme est constant.

Partie IV - Étude du cas où est scindé à racines simples

Dans cette partie, on ne suppose plus que : le nombre est un entier quelconque de . Jusqu'à la fin de l'exercice, on suppose que est un polynôme scindé à racines simples. On note les racines de qui sont donc des nombres complexes distincts.
On définit les polynômes de Lagrange associés aux points par :
En particulier, les relations suivantes sont vérifiées:

IV. 1 - Décomposition avec les polynômes de Lagrange

Q8. Soit . Montrer que sont des racines du polynôme .
Q9. Déduire de la question précédente que pour tout , on a .
Q10. Montrer que est une base de .

IV. 2 - Réduction de l'endomorphisme

Pour tout entier , on désigne respectivement par et le quotient et le reste dans la division euclidienne de par .
Q11. Soit . Montrer que si et que .
Q12. En utilisant Q9, en déduire pour tout que .
Q13. Justifier que l'endomorphisme est diagonalisable et préciser ses valeurs propres.

EXERCICE 2

Étude de séries de pile ou de face

Présentation générale

On considère un espace probabilisé ( ) modélisant une succession infinie de lancers indépendants d'une pièce équilibrée (c'est-à-dire donnant pile avec la probabilité et face avec la probabilité ). Pour tout entier , on désigne par l'évènement [le -ième lancer de la pièce donne pile] et par l'évènement [le -ième lancer de la pièce donne face].
On appelle série une succession de lancers amenant le même côté de la pièce. La série commence au premier lancer et se poursuit jusqu'à ce qu'un des lancers suivants donne un résultat différent du premier lancer. De même, la série commence au lancer suivant la fin la série et se termine au lancer précédant un changement de côté. On définit de même les séries suivantes.
Voici deux exemples pour illustrer la définition des séries donnée ci-dessus :
éééééé

Partie I- Étude de la longueur de la première série

Dans cette partie, nous allons étudier la longueur de la première série. On définit la variable aléatoire de la manière suivante :
  • si la série ne se termine pas (ce qui arrive si et seulement si on obtient que des piles ou que des faces), on pose ;
  • sinon, on désigne par la longueur de la série .
Ainsi, si l'évènement donné dans l'exemple 1 est réalisé, alors on a tandis que si l'événement donné dans l'exemple 2 est réalisé, alors on a .

I. 1 - Calcul de la somme d'une série entière

Q14. Rappeler (sans le démontrer) le rayon de convergence et la somme de la série entière :
Q15. En déduire que pour tout [, la série converge et que .

I. 2 - Étude de

Dans cette partie, on considère un entier .
Q16. Exprimer l'évènement ( ) en fonction des évènements et pour .
Q17. Montrer que .
Q18. En déduire la valeur de .
Q19. Démontrer que la variable aléatoire admet une espérance, puis déterminer sa valeur. Que représente ce nombre par rapport au problème étudié dans cet exercice?

Partie II - Étude du nombre de séries

Pour tout entier , on note le nombre de séries apparues lors des premiers lancers. Par exemple, si l'évènement de l'exemple 1 dans la présentation est réalisé, alors on a:
Jusqu'à la fin de l'exercice, on considère un entier .

II. 1 - Généralités

Q20. Déterminer les lois de et .
Q21. Quel est l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire ?

II. 2 - Relation de récurrence pour la loi

Dans cette sous-partie, on détermine une relation de récurrence entre la loi de et la loi de .
Q22. Soit . Justifier que l'on a l'égalité d'évènements :
puis en déduire que :
Dans la suite, on admet que l'on a pour tout les relations :
Q23. En utilisant la formule des probabilités totales avec le système complet d'évènements :
et les relations précédentes, montrer que l'on a pour tout la relation :

II. 3 - Fonction génératrice, loi et espérance de

Pour tout , on note la fonction génératrice de la variable aléatoire , dont on rappelle la définition :
En particulier, on déduit des résultats précédents (on ne demande pas de le vérifier) que :
Q24. Déduire de que pour tout , on a la relation :
Q25. Déterminer une expression explicite de pour tout et tout .
Q26. Rappeler l'expression de l'espérance de en fonction de sa fonction génératrice . En déduire l'espérance de la variable aléatoire .
Q27. Déterminer la loi de la variable aléatoire à partir de l'expression de .

EXERCICE 3

La constante d'Euler

Présentation générale

Dans cet exercice, on commence dans la première partie par démontrer la convergence d'une suite afin de définir la constante d'Euler comme sa limite. Dans la seconde partie, on détermine une expression de cette constante sous la forme d'une intégrale.

Partie I- Construction de la constante d'Euler

On définit la suite par :
et on considère la suite définie par :
Q28. Déterminer un nombre tel que .
Q29. Montrer que la série est convergente.
Q30. En déduire que la suite est convergente.

Partie II - Expression intégrale de la constante d'Euler

Dans Q30, on a montré que la suite converge vers un un nombre réel que l'on note dans la suite de l'exercice. Ce dernier est appelé constante d'Euler. Dans cette partie, on détermine une expression de sous la forme d'une intégrale.
Pour tout , on considère la fonction définie par :

II. 1 - Propriétés de la suite

Dans cette sous-partie, on pourra utiliser librement l'inégalité valable pour tout .
Q31. Soit . Justifier qu'il existe tel que pour tout vérifiant , on a :
Q32. Déduire de la question précédente que la suite de fonctions converge simplement vers la fonction sur l'intervalle .
Q33. Soit . Montrer que pour tout , on a .
Q34. Montrer que la fonction est intégrable sur .

II. 2 - Convergence d'une suite d'intégrales

Pour tout , on considère les intégrales :
On considère un entier .
Q35. Montrer que l'intégrale est convergente.
Q36. Déduire des résultats de la sous-partie II. 1 que la suite est convergente et que :
Q37. Montrer que l'intégrale est convergente si et seulement si l'intégrale :
est convergente. En déduire que l'intégrale est convergente et que l'on a les égalités :
Q38. Montrer que l'on a la relation :
Q39. Déduire des questions précédentes que:

FIN

FIN
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