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CCINP Mathématiques TSI 2017

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GéométrieFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Nombres complexes et trigonométrie, calculs, outilsPolynômes et fractionsProbabilités finies, discrètes et dénombrement
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CCINP
Année
2017
Filière
TSI
Matière
Maths
CCINP TSICCINP 2017TSI MathsMaths 2017
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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TSI

MATHEMATIQUES

Mardi 2 mai : -

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé de 2 problèmes indépendants.
Le problème 1 nécessite l'usage du document-réponse (feuille de papier millimétré), qui est à rendre avec la copie.

PROBLÈME 1 Étude d'une courbe

On considère les deux fonctions et de la variable réelle définies par :
Dans le plan rapporté au repère orthonormé direct ( ), on considère le point de coordonnées .
On note la courbe paramétrée .

Partie I - Deux fonctions

Q1. Déterminer les ensembles de définition des fonctions et .
Q2. Calculer et .
Q3. Justifier que est une fonction paire et une fonction impaire. Que peut-on en déduire pour le point de par rapport au point ?
Q4. Déterminer des fonctions équivalentes aux fonctions et en . En déduire les limites et .
Q5. Déterminer les quatre limites et .
Q6. Justifier que les fonctions et sont dérivables sur avec pour dérivées respectives
Les calculs seront détaillés.
Q7. Déduire des questions précédentes les tableaux de variations des fonctions et sur dans lesquels figureront les limites ainsi que les valeurs de et .

Partie II - Tangente à l'origine et au point

Q8. Rappeler sans justification le développement limité en 0 à l'ordre 1 de .
Q9. Déterminer les développements limités des fonctions et en 0 à l'ordre 3 .
Q10. Sans calculer les dérivées secondes et des fonctions et , montrer que et . Le théorème utilisé sera mentionné.
Q11. En déduire les coordonnées d'un vecteur tangent à la courbe en l'origine du repère.
Q12. Déterminer les coordonnées d'un vecteur tangent à la courbe au point .

Partie III - Asymptotes

On note la droite du plan d'équation et, pour appartenant à l'ensemble de définition de le point de d'abscisse .
Q13. Sachant que et , donner une interprétation graphique de la courbe vis-à-vis de la droite d'équation au voisinage de .
Dessiner sur la copie l'allure de la courbe et la droite d'équation au voisinage de .
Q14. Déterminer l'ordonnée de en fonction de .
On se propose dans la suite de cette partie d'examiner la quantité qui représente la distance algébrique entre les points et .
Q15. Factoriser le trinôme .
Q16. On considère dans la fonction .
Montrer que, pour tout de .
Q17. Quel est le signe de lorsque est dans un voisinage de 1 ?
Q18. Combien vaut la limite ? Dessiner sur la copie l'allure de la courbe au voisinage de .

Partie IV - Tracé de la courbe

Q19. En tenant compte des informations issues des questions précédentes et en utilisant le document-réponse (à rendre avec la copie), tracer la courbe suivante :
On utilisera l'échelle suivante : 2 cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses et 2 cm pour 1 unité sur l'axe des ordonnées. On considèrera par ailleurs que .
On fera apparaître :
  • la droite ;
  • les vecteurs tangents à l'origine du repère et au point ;
  • la droite d'équation .
Q20. En utilisant une couleur différente ou en pointillés, compléter le tracé précédent en traçant la courbe suivante :

PROBLÈME 2
Marche aléatoire sur le net

Internet peut être modélisé par un graphe dont les sommets sont les pages internet (ou sites) et les arêtes les liens entre les pages. L'idée de l'algorithme du «PageRank» est de surfer au hasard sur Internet et de compter combien de fois on passe sur chaque page. Une page peut être considérée plus populaire que d'autres pages elles-mêmes populaires lorsque ces dernières ont un lien vers la page .
Dans ce problème, nous étudions deux exemples avec quatre pages puis trois pages. La partie I traduit le premier exemple sous une forme matricielle. Dans les parties II et III, on s'intéresse à l'étude du second exemple. La partie IV classe les trois pages du second exemple par ordre de popularité.

Partie I - Un premier exemple

Dans le schéma suivant, on considère un internet simplifié constitué de quatre pages internet. Par exemple, la page 1 possède un lien vers la page 2 , un vers la page 3 et un vers la page 4 , etc. La page 3 ne possède qu'un seul lien vers la page 1 .
Figure 1 - Exemple
  • et sont des indices de l'ensemble et est un entier naturel de .
  • est la probabilité que l'internaute soit sur la page à l'instant .
  • On note la probabilité de se trouver à la page à l'instant sachant qu'on était sur la page à l'instant . On fait l'hypothèse qu'il y a équiprobabilité entre les liens d'une page. Comme la page 1 pointe sur trois autres pages, la probabilité d'aller de la page 1 vers la page 3 est .
  • On fait également l'hypothèse qu'une page a une probabilité nulle de pointer sur elle-même, donc pour tout de .
  • On note l'événement " être sur la page à l'instant " et on supposera que ces événements sont de probabilité non nulle.
  • On note la matrice . Cette matrice s'appelle matrice de transition dont le schéma présenté sur la figure 1 s'appelle graphe.
Q21. Compléter la matrice correspondante à l'exemple en remplaçant les par leurs valeurs:
Q22. Pour de , calculer les sommes . Justifier soigneusement le résultat.
Q23. En précisant le théorème utilisé, montrer que :
Q24. Donner sans justification l'expression de et en fonction des .
Q25. On note le vecteur colonne :
Montrer que pour tout de .
Q26. En déduire que pour tout de .

Partie II - Étude d'un polynôme et de trois suites

On note l'ensemble des polynômes à coefficients réels.
On définit dans le polynôme .
Q27. Vérifier que est une racine simple et est une racine double de .
Q28. Soit un entier naturel. Justifier l'existence d'un triplet ( ) de et d'un polynôme de tel que :
On ne cherchera pas à déterminer le triplet ( ).
Q29. En remplaçant par successivement et dans l'égalité (1), en déduire deux équations vérifiées par le triplet .
Q30. En dérivant l'égalité (1) puis en remplaçant par , en déduire une troisième équation vérifiée par le triplet .
Q31. Après résolution des équations précédemment obtenues, on admet que pour tout de :
Déterminer puis montrer que les trois suites et convergent vers des limites qu'on déterminera.

Partie III - Un deuxième exemple

On considère dans cette partie la matrice :
Q32. En s'inspirant de l'exemple de la partie , dessiner le graphe dont la matrice de transition est la matrice .
Q33. Montrer que le polynôme caractéristique de est égal à .
Q34. Déterminer les valeurs propres de .
Q35. Pour chaque valeur propre, déterminer une base et la dimension du sous-espace propre associé.
Q36. En précisant le théorème utilisé, montrer que la matrice n'est pas diagonalisable.
Q37. Si désigne un polynôme de , on note la matrice telle que avec :
Calculer et puis montrer que où désigne la matrice nulle carrée d'ordre 3 .
Q38. Comme dans la partie , on pose pour tout de :
Pour simplifier, on note :
Que vaut la somme ?
Q39. On admet, comme dans la partie , que pour tout de .
On admet également qu'en remplaçant dans l'égalité (1) de la question Q28, la variable par la matrice , on obtient, pour tout de , l'égalité matricielle:
En déduire que :
Q40. Déterminer alors, pour tout de , une expression du vecteur en fonction du triplet ( ) et du triplet .
Q41. Montrer que les trois suites et convergent vers des limites qui seront déterminées.
On note, pour .
Quelle interprétation peut-on donner aux limites et ?

Partie IV - Popularité d'une page

Un moteur de recherche consiste à classer les pages par pertinence. Un des algorithmes possible repose sur l'hypothèse qu'une page est considérée plus populaire que d'autres pages elles-mêmes populaires lorsque ces dernières ont un lien vers la page .
Q42. Parmi les 3 sites de l'exemple donné dans la partie II, quel(s) site(s) vous semble(nt) le(s) plus populaire(s)? Vous devez justifier votre opinion.
Dans la suite de cette partie, on reprend le deuxième exemple donné dans la partie III.
On mesure la popularité du site par le réel de l'intervalle . Le site est plus populaire que le site si .
Un site qui émet par exemple deux liens ne transmet que pour moitié sa popularité aux sites vers lesquels il pointe.
On admet que le triplet vérifie le système :
Q43. On pose .
Réécrire le système (2) à l'aide de la matrice et du vecteur colonne .
Lorsque n'est pas le vecteur nul, comment s' appelle vis-à-vis de la matrice ?
Q44. On pose .
Déterminer un vecteur avec puis calculer .
Q45. Déterminer les coordonnées du vecteur .
Justifier sans calcul que est encore solution du système (2).
Q46. Déduire de l'ordre des sites du plus populaire au moins populaire.

FIN

DOCUMENT RÉPONSE (à rendre avec la copie)


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