N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet est composé de trois parties partiellement indépendantes.

Modélisation du mouvement d'une plateforme en mer

On s'intéresse à la résolution d'équations du mouvement dans une approche classique de la mécanique afin d'étudier le mouvement d'une plateforme en mer. Le modèle envisagé est un système à un degré de liberté considéré comme oscillateur harmonique : une masse est reliée à un ressort, avec ou sans amortissement, et peut être soumise à une excitation externe.

La résolution est tout d'abord abordée de façon analytique puis de façon numérique, avant enfin de comparer les résultats obtenus.

Les résolutions analytiques et numériques sont largement indépendantes.
Dans la suite de l'énoncé, toutes les grandeurs vectorielles sont indiquées en gras.
Un aide-mémoire sur numpy est donné en Annexe.

On considère le mouvement d'une plateforme en mer soumise à un courant marin. Sa partie supérieure de masse

tonnes est considérée comme rigide et le mouvement principal de la plateforme a lieu suivant

(figure 1(a)).

Afin d'étudier le mouvement de cette plateforme, on la représente par une masse

, liée à un ressort de constante de raideur

et à un amortisseur de constante d'amortissement

, pouvant subir une excitation externe de force

, et se déplaçant sur un support (figure 1(b)). Le ressort représente la rigidité de l'ensemble du support de la plateforme. L'amortisseur permet de prendre en compte l'effet de l'eau environnante et la force d'excitation externe celui des vagues qui frappent périodiquement la plateforme. La masse est supposée se déplacer selon une seule direction parallèle à l'axe Ox en fonction du temps

Figure 1 - (a) Plateforme en mer soumise aux vagues marines, (b) système masse (

), ressort (

), amortisseur (

) et excitation externe (

)

Les projections sur l'axe Ox de la position, de la vitesse et de l'accélération de la masse en fonction du temps sont notées respectivement

. La force totale

agissant sur la masse correspond à la réaction normale

de la base horizontale, à la force de frottement

, à la force de rappel

du ressort, au poids

de la masse et à la force

d'excitation externe. La position d'équilibre de la masse sera choisie à

. En l'absence d'action de l'amortisseur, la masse se déplace sur la base horizontale sans frottements.

Partie I - Résolution analytique et détermination des paramètres pour la modélisation

Q1. En effectuant une projection sur l'axe Ox , montrer que

n'interviennent pas dans le bilan des forces.

I. 1 - Ressort sans amortissement et sans excitation

Q2. Démontrer que l'équation du mouvement de la masse correspond à l'équation différentielle du second ordre suivante :

Q3. La solution de cette équation prend la forme générale suivante

avec

deux coefficients réels. Exprimer

en fonction des grandeurs caractéristiques du système et donner sa signification physique. De plus, en remarquant qu'à

, déterminer les expressions de

et de

en fonction de

et de

Q4. On cherche à reformuler l'équation précédente sous une forme plus compacte du type :

Donner les expressions de

et de

en fonction de

et de

.
Q5. Représenter qualitativement

en fonction de

et indiquer sur le tracé

.
Q6. En utilisant les expressions des énergies cinétique

et potentielle

du système, montrer que l'énergie totale

du système est alors :

Justifier le résultat obtenu.
Q7. Représenter qualitativement

en fonction de

I. 2 - Ressort avec amortissement et sans excitation

Q8. La force de frottement que l'amortisseur exerce sur la masse est considérée comme linéaire, c'est-à-dire proportionnelle au vecteur vitesse

de celle-ci :

, avec

constante d'amortissement (

). En considérant une projection sur l'axe Ox , démontrer que la position de la masse en fonction du temps suit l'équation du mouvement ci-après

avec

défini en question

à exprimer en fonction de

Q9. Dans le cas où

prend la forme suivante :

Déterminer les deux coefficients réels

en fonction de

. On utilisera pour cela les mêmes conditions initiales que celles utilisées en question Q3.

Q10. Montrer alors que l'on peut obtenir une forme du type

à préciser.
Q11. Représenter qualitativement

en fonction de

et indiquer sur le tracé

.
Q12. Donner l'expression de

et commenter les cas où

.
Q13. Montrer de façon simple que

est une fonction décroissante de

. À quoi cela est-il dû ?
Q14. On envisage deux temps successifs

pour lesquels les déplacements sont

, tels que

, avec

: période des oscillations amorties. En utilisant l'équation (7) et en considérant que

, montrer que :

Q15. Le relevé du déplacement horizontal de la plateforme en fonction du temps est représenté en figure 2.
En utilisant les deux points qui sont indiqués sur la figure, déterminer

.
Comment ce tracé serait modifié en fonction de la valeur de

Figure 2 - Relevé du déplacement horizontal

(en m ) de la plateforme de masse

tonnes en fonction du temps

(en s). Les deux temps

mentionnés en question

sont indiqués

I. 3 - Ressort avec amortissement et avec excitation

On envisage enfin le cas où le système est soumis à la fois aux effets d'amortissement et d'excitation. On se limite ici à la réponse à une excitation harmonique sinusoïdale de fréquence

produite par une force extérieure au système

avec

vecteur unitaire sur l'axe Ox et on se place dans le cas traité précédemment pour l'étude de l'amortisseur, c'est-à-dire

(I.2).
On admet de plus dans ce qui suit que la réponse du système dans le cas où amortisseur et excitation sont pris en compte peut s'écrire comme somme de la solution donnée par l'équation (6) et de la contribution due à l'excitation :

Q16. Montrer que l'équation différentielle caractérisant le système devient alors :

Q17. En utilisant l'équation (10) et en privilégiant une représentation complexe, vérifier que :

Q18. Exprimer la grandeur

en fonction de

et expliciter le sens physique de

.
Q19. Trouver la condition sur

puis sur

pour laquelle

est maximale.
Q20. Si l'on considère une période moyenne des vagues en mer de 8 s , que peut-on conclure sur le mouvement de la plateforme?

Partie II - Modélisation : codage

On souhaite maintenant obtenir

de façon numérique et comparer les résultats obtenus à ceux fournis par les solutions analytiques précédentes pour

. On rappelle que

représentent respectivement la position de la masse et l'énergie mécanique totale en fonction du temps.

Pour cela, le temps est discrétisé en

points

avec un pas de temps constant

. Les

pas sont effectués pendant la simulation de durée totale

. On note respectivement

les valeurs de

.
À chaque pas, les équations du mouvement reliant

sont utilisées afin d'obtenir les valeurs de

. Les conditions initiales

sont connues et permettent de démarrer le processus d'intégration numérique. Deux algorithmes distincts (Euler et Leapfrog) vont être utilisés dans la suite.

Pour l'écriture du code, on se place dans le cas le plus général, c'est-à-dire avec amortissement et excitation harmonique externe. Les variables et tableaux suivants sont notamment choisis :

N nombre de points sur l'axe des temps utilisés pendant toute la simulation
t[] tableau des temps (s), de dimension N
x[] tableau des positions (m), de dimension N
v[] tableau des vitesses (m.s }\mp@subsup{}{}{-1}\mathrm{ ), de dimension }
E[] tableau des énergies totales (J), de dimension N
F[] tableau des forces d'excitation (N), de dimension N
dt pas de temps (s)
tmax temps total de la simulation (s)
k constante de raideur du ressort (N.m -1)
m masse du système (kg)
om0 }\quad\mp@subsup{\omega}{0}{}(\mp@subsup{s}{}{-1}
zeta \zeta(sans unité)

Tableau 1 - Principaux tableaux et principales variables utilisés pour la résolution numérique

On rappelle qu'un aide-mémoire sur numpy est fourni en Annexe, page 10.

Q21. Écrire les lignes de code permettant de définir l'entier

. On suppose

connus et fixés par l'utilisateur en début de code.

Q22. Écrire alors l'instruction permettant de définir le tableau t qui contient toutes les valeurs de

telles que :

. On rappelle que le temps est discrétisé en

points

avec un pas de temps constant

et que

pas sont effectués.

Q23. En effectuant des développements de Taylor de

tronqués à l'ordre 1 , on obtient l'algorithme d'Euler, où

sont évalués au même temps

selon le schéma donné figure 3, page 7 :

Donner les expressions de

en fonction de

Figure 3 - Discrétisation en temps utilisée dans le cas de l'algorithme d'Euler. Les conditions initiales correspondent à (

)

Q24. Écrire la boucle en

permettant d'obtenir toutes les valeurs de

où i correspond à un point sur l'axe des temps. On précisera les variables éventuellement introduites en supposant qu'elles ont été définies dans le code.

Q25. Dans l'algorithme de Leapfrog, les

sont évalués aux temps entiers, c'est-à-dire à

, alors que les

sont évalués à

selon le schéma donné figure 4. Ainsi, pour cet algorithme,

représente de façon approchée la position à l'instant

, et

représente de façon approchée la vitesse à l'instant

Figure 4 - Discrétisation en temps utilisée dans le cas de l'algorithme de Leapfrog. Les conditions initiales correspondent à (

)

Pour le système considéré, montrer alors que

prennent les formes suivantes:

Q26. Quel problème pose l'évaluation de

?
Dans la suite, on préfèrera ainsi évaluer

Q27. Comment obtenir

à partir de

Q28. En introduisant deux variables fac1 et fac2 correspondant respectivement à

, écrire la boucle en i permettant d'obtenir toutes les valeurs de

Q29. Compléter la boucle de la question Q28 avec le calcul du terme d'énergie totale.

Q30. Écrire une fonction integration(F) qui prend en argument le tableau

des forces d'excitation et renvoie les tableaux x[]

et E[] complétés.
On introduira pour cela une variable algo supposée définie en global, permettant d'appliquer l'algorithme d'Euler si algo0 ou de Leapfrog si algo1.
On considèrera également le cas

.
Q31. Écrire une fonction force(

) qui prend en argument

, et

de l'équation (9) et retourne la valeur de

pour un temps t donné.

Q32. Écrire une fonction force_exc() qui complète et retourne le tableau F[] des forces d'excitation en fonction du booléen exc défini globalement valant True si une excitation est appliquée au système, False sinon.
Dans le cas où excTrue, on appellera la fonction force définie précédemment en question Q31. Dans le cas où excFalse, on prendra alors :

Q33. Donner alors les lignes de code permettant de réaliser la simulation numérique à partir des fonctions précédentes.

Q34. On souhaite désormais estimer la qualité des résultats numériques par rapport aux données analytiques de référence. Écrire une fonction ema(d, dref) qui calcule l'erreur maximale absolue entre un jeu de données numériques dn et analytiques da. On supposera que les tableaux dn et da sont de même dimension

Q35. Pour le problème particulier qui nous intéresse, si l'on souhaite appliquer cette fonction aux tableaux contenant les données numériques et analytiques pour

, quel est l'indice maximal de ces tableaux à considérer?
Réécrire alors la fonction ema pour qu'elle soit applicable aux deux algorithmes considérés.

Partie III - Modélisation : analyse des résultats d'un cas simple

Toutes les données numériques suivantes ont été obtenues avec :

tonnes,

et la valeur de

obtenue en question

, dans le cas d'un système sans amortissement et sans excitation externe. Le tableau 2 en page 9 présente les erreurs maximales absolues (EMA) calculées avec la fonction ema des énergies obtenues numériquement par rapport à celles obtenues analytiquement, pour les deux algorithmes envisagés et divers pas de temps.

Q36. Justifier l'ordre de grandeur des

considérés du tableau 2 pour la discrétisation en temps utilisée.

Q37. En utilisant les données numériques du tableau 2 donner l'ordre approximatif de l'erreur globale sur

des deux algorithmes considérés. Justifier votre réponse.

Q38. Dans le cas simple de l'algorithme d'Euler, comment augmente

lorsqu' on passe de

? Relier alors ce résultat aux données du tableau 2.

	EMA
	Euler	Leapfrog
0,050	128,0203160	0,0837314
0,010	15,1373529	0,0033484
0,005	7,1159053	0,0008371
0,001	1,3556230	0,0000335

Tableau 2 - EMA obtenues pour

(en J) par rapport à la valeur analytique, pour différents pas de temps

, dans le cas où il n'y a pas d'amortissement et d'excitation externe

Une propriété importante que devrait vérifier un algorithme d'intégration est la réversibilité dans le temps : en partant des positions et vitesses d'un temps

et en appliquant un pas de temps

, un algorithme réversible en temps devrait redonner les positions et vitesses du temps

.
En pratique, en partant d'un couple (

), on applique donc tout d'abord un pas

pour déterminer (

), puis on applique un pas

afin d'obtenir (

). Si (

) = (

), alors l'algorithme est dit réversible en temps.

Q39. Pourquoi s'agit-il d'une propriété importante à vérifier pour le problème considéré ?

Q40. Donner l'expression de

en fonction de

pour les deux algorithmes considérés. Peut-on déjà conclure sur la réversibilité en temps de chacun de ces algorithmes?

Q41. Donner alors l'expression de

en fonction de

lorsque nécessaire et conclure sur la réversibilité en temps.

Q42. On s'intéresse enfin à une simulation de plus grande durée (

). La figure

donne l'évolution de l'erreur absolue sur

entre données numériques et analytiques (

) pour les deux algorithmes choisis. Que peut-on mettre en évidence sur cette figure ?

Figure 5 - Erreurs absolues calculées sur la position de la masse à

, pour les deux algorithmes considérés

Q43. Conclure sur les avantages et les inconvénients de chacun de ces algorithmes et sur leur adéquation pour le traitement numérique de ce problème dans le cas où on envisage une simulation de plusieurs heures.

ANNEXE

Aide-mémoire sur numpy

Les bibliothèques sont importées de la façon suivante :

from math import *
import numpy as np

La création d'un tableau numpy tab à une dimension possédant

éléments, tous initialisés à 0 , est réalisée à l'aide de l'instruction :

>>> tab=np.zeros(n)

Celle d'un tableau numpy tab à une dimension possédant

éléments, uniformément répartis entre deux valeurs debut et fin, se fait avec :

>>> debut=0; fin=10; n=5
>>> tab=np.linspace(debut,fin,n)
>>> print tab
array([ 0.0 2.5 5.0 7.5 10.0 ])

L'accès à un élément du tableau tab (en lecture ou en écriture) se fait par tab[i], la numérotation des indices se faisant à partir de 0 :

>>> tab=np.zeros(4)
[ 0.0 0.0 0.0 0.0 ]
>>> tab[1]=2; tab[2]=6; print tab
[ 0.0 2.0 6.0 0.0 ]

La sélection de l'ensemble des j premiers éléments du tableau tab est possible avec :

>>> print tab [:3]
[ 0.0 2.0 6.0 ]

Le maximum des éléments d'un tableau tab s'obtient avec :

>>> np.max( t ab )