CCINP Physique 2 PC 2001

DURÉE: 4 heures
L'utilisation des calculatrices est autorisée - Les deux problèmes sont indépendants

Le transformateur étudié sert à déclencher la conduction des thyristors dans les montages d'électronique de puissance.

Le primaire et le secondaire ont chacun le même nombre de spires N. Les caractéristiques de chaque enroulement, inductance propre et résistance, sont et .

Pour deux bobines couplées, si les courants et ont le même sens par rapport aux bornes marquées (bornes homologues - figure 1), l'inductance mutuelle est positive.

On note .

Le couplage entre les enroulements est parfait, c'est-à-dire (M étant l'inductance mutuelle).
Le noyau du transformateur est en ferrite dont on idéalisera la caractéristique d'aimantation par la courbe donnée sur la figure 2.

représente le flux magnétique à travers une section droite du circuit magnétique.
Les inductances propres et mutuelle ne sont définies qu'en dehors de la zone de saturation.

Les notations sont définies sur la figure 3.

V est une tension positive fixe et l'interrupteur k est réalisé par un transistor bipolaire.
I.1.1 A l'instant , on ferme l'interrupteur k . Exprimer la tension et le courant , en déduire le flux et la tension secondaire en fonction de V et des caractéristiques du transformateur. On négligera pour cette étude la résistance de l'enroulement et on considérera qu'à (conditions initiales).
I.1.2 Le flux croît alors jusqu'à saturation du circuit magnétique.

Exprimer le produit (V. ) en fonction de . Le fabricant donne V. . En déduire la valeur de pour et calculer la valeur de qui correspond à .
I.1.3 On veut prévoir ce qui se passerait si l'interrupteur k restait fermé au-delà de . Quelle serait alors la valeur de ?
Montrer qu'il est nécessaire de tenir compte de r pour calculer ; quelle est la valeur de ?
I.1.4 A l'instant , on ouvre l'interrupteur k . La diode D a une tension de seuil et une résistance interne négligeable (figure 4).

Donner le schéma équivalent du circuit qui permet de calculer pour (on prend en considération la résistance de l'enroulement).
I.1.5. Ecrire la loi des mailles dans ce circuit. En déduire l'expression de pour .
I.1.6 A l'instant le courant s'annule. Donner l'expression de . Calculer la valeur numérique de .
I.1.7 On ajoute une diode zener en série avec D , ce qui a pour effet d'augmenter le seuil de conduction à la valeur . Calculer pour . Conclure.
I.1.8 Dans ce cas, calculer et représenter pour l'allure des courbes et .

Le montage à étudier est donné dans la figure 5 .

est une diode de commutation idéale. A , on ferme l'interrupteur k .
I.2.1 Ecrire la loi des mailles pour le primaire et le secondaire du transformateur avec
I.2.2 Le flux magnétique étant une fonction continue de t , montrer que . Déterminer en utilisant les équations de I.2.1.
I.2.3 Ecrire l'équation différentielle satisfaite par .
I.2.4 On note . En déduire et .
I.2.5 Exprimer . Calculer pour s. Conclure.
I.2.6 L'interrupteur k est ouvert à l'instant ; expliquer le rôle de la diode pour , en s'appuyant sur le résultat de la question I.1.8 concernant .

Le développement des communications avec des fibres optiques confère aux guides diélectriques une importance croissante.

Le guide d'onde diélectrique plan est beaucoup utilisé en optoélectronique pour réaliser des coupleurs, des circuits résonants, etc.

Les guides diélectriques sont des guides ouverts, pour lesquels la propagation des ondes électromagnétiques monochromatiques a lieu pour une fréquence supérieure à une fréquence de seuil.

A l'extérieur du guide plan a lieu la propagation d'une onde de surface, à distribution exponentielle dans une section transversale, onde qui se concentre à la surface de séparation des milieux au fur et à mesure que la fréquence augmente.

Les nombres d'onde critiques sont fonction de la fréquence de travail.
Toutes ces propriétés seront illustrées dans ce qui suit.
On considère une plaque diélectrique dans l'espace vide (figure 1).

La composante du champ électrique d'une onde électromagnétique monochromatique de pulsation se propageant dans la direction s'écrit généralement sous la forme

On note avec et
constante de propagation
constante d'atténuation
constante de phase
et est l'image complexe de
Pour une onde non atténuée .
II. 1 A partir des équations de Maxwell, déterminer l'équation aux dérivées partielles satisfaite par le champ électrique et montrer que l'équation différentielle satisfaite par dans le domaine (1) s'écrit
nombre d'onde critique
Expliciter en fonction de .
II. 2 Déterminer en fonction de deux constantes et en considérant .
II. 3 Justifier sans calcul que et satisfont chacune à une équation différentielle analogue à où est remplacé respectivement par et par .
On choisit avec .
Déterminer les expressions de pour (domaine 2 ) en fonction d'une constante et de pour (domaine 3 ) en fonction d'une constante .
Justifier le choix de et .
II. 4 En considérant les expressions de et , avec , déterminer ; , images complexes des composantes du champ électrique et du champ magnétique . On considère les ondes non atténuées suivant , donc . On conservera et K comme paramètres de l'onde de pulsation .
II. 5 Ecrire les conditions de passage en et pour les composantes et du champ électrique.
II. 6 De la question II.5, déduire le système linéaire vérifié par et . Montrer que pour obtenir des valeurs non nulles pour et , il est nécessaire que les nombres critiques satisfassent la relation :

on posera
II. 7 On note

Montrer que q et r doivent satisfaire le système :

où avec
longueur d'onde dans le vide d'une onde plane monochromatique de fréquence f .
II. 8 Pour (entier impair ), déterminer la valeur de r et en déduire la plus petite fréquence et la plus grande longueur d'onde pouvant encore se propager dans le guide, en précisant pour quelle valeur de elles sont obtenues.
II. 9 Si on note , montrer que la longueur d'onde d'une onde non atténuée se propageant dans le guide, pour , s'écrit :

II. 10 Utilisant les questions antérieures (II.5, II.6, II.7), déterminer les composantes de et de dans les trois domaines, en fonction de la constante que multiplie sin dans l'expression de , de .
II. 11 Que deviennent ces composantes pour et ? Quels types d'ondes se forment dans les domaines (2) et (3) ?