Centrale Mathématiques 1 PC 2022

Dans tout le problème， désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 ．
On utilisera les notations matricielles classiques：
－ désigne l＇ensemble des matrices à lignes et colonnes à coefficients réels et l＇ensemble des matrices carrées réelles à lignes ；
－ désigne la matrice de dont tous les coefficients sont nuls；
－ désigne le sous－espace vectoriel de formé par les matrices symétriques；
－ désigne la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont dans cet ordre ；
－ désigne la transposée de la matrice ；
－ désigne le spectre réel de la matrice ，c＇est－à－dire l＇ensemble des valeurs propres réelles de ．
Les éléments de sont assimilés à des réels．
Avec ces notations，le produit scalaire canonique de est donné par ．
On note la norme euclidienne canonique de ．
Les variables aléatoires considérées sont définies sur un espace probabilisé（ ）．On suppose que，pour tout ，il existe une suite de variables aléatoires de Bernoulli de paramètre mutuellement indépendantes définies sur ．
Si et sont deux variables aléatoires réelles discrètes définies sur ，on note et respectivement l＇espérance de ，la variance de et la covariance de et ，lorsqu＇elles sont définies．
On rappelle la formule

Une matrice de est dite orthodiagonalisable s＇il existe une matrice diagonale et une matrice ortho－ gonale telles que ．
Orthodiagonaliser revient à déterminer un couple de telles matrices（ ）．

Q 1．Démontrer qu＇une matrice est orthodiagonalisable si et seulement si elle est symétrique．

On pose ．
Q 2．En observant la première et la dernière colonne de ，déterminer un vecteur propre de et la valeur propre associée．
Q 3．Déterminer le sous－espace propre de associé à la valeur propre et en déduire le spectre de ．
Q 4．Orthodiagonaliser ．

Q 5．Montrer que l＇application définit un produit scalaire sur .
Q 6．Écrire la matrice de ce produit scalaire dans la base canonique de ，c＇est－à－dire la matrice de terme général où les indices et varient entre 0 et ．
Q 7．Soit ．Exprimer le produit à l＇aide de et des coefficients de ．
Q 8．Montrer que appartient à et que ses valeurs propres sont strictement positives．

Pour toute matrice de spectre non vide, le rayon spectral de , noté , est défini par

Q 9. Montrer que, si est nilpotente, c'est-à-dire qu'il existe tel que , alors le rayon spectral de est nul.
Q 10. On note . Démontrer que est une partie fermée de .
Q 11. En déduire que l'application : admet un maximum sur .
Q 12. Montrer que .

Soit .
Q 13. Démontrer que .
On suppose de plus que les valeurs propres de sont toutes positives.
Q 14. Montrer alors que .
Q 15. Démontrer que l'application définit une norme sur .

Dans la suite du problème, on considère variables aléatoires discrètes définies sur ( ) à valeurs réelles et on définit la fonction de dans en posant

Un tel vecteur aléatoire est dit constant si la fonction est constante.
Si chacune des variables aléatoires discrètes admet une espérance finie, on définit le vecteur espérance de en posant

Si toutes les covariances existent, la matrice de covariance de est la matrice de , notée , de terme général .
La variance totale de est définie par .
Dans la suite du problème, on suppose que et sont bien définies.

On admet que est une variable aléatoire discrète sur ( ) à valeurs dans .
On admet aussi que est une variable aléatoire discrète, à valeurs dans , dont l'espérance, par définition, est également calculée terme à terme.
Q 16. Vérifier que est une matrice symétrique, que

et que, si est un vecteur constant dans , alors

Q 17. Soient et . On définit la variable aléatoire discrète , à valeurs dans . Justifier que admet une espérance et exprimer en fonction de . Montrer que admet une matrice de covariance et que

On note la matrice de passage de la base canonique de à une base orthonormée formée de vecteurs propres de .
On définit la variable aléatoire discrète .
Q 18. Démontrer que est une matrice diagonale.
Q 19. En déduire que les valeurs propres de sont toutes positives.
Q 20. Démontrer que la variance totale de est égale à celle de .

Soit une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont tous positifs.
Q 21. Démontrer l'existence d'une variable aléatoire discrète à valeurs dans telle que . Soit une matrice symétrique dont les valeurs propres sont positives.
Q 22. Démontrer l'existence d'une variable aléatoire discrète à valeurs dans telle que .
- Soit dans . On définit la variable aléatoire discrète .
Q 23. Montrer que admet une variance et que

L'objectif de cette sous-partie est de montrer que

On note le rang de la matrice de covariance de .
Q 24. Traiter le cas où .
On suppose maintenant .
Q 25. Démontrer que le noyau et l'image de sont supplémentaires orthogonaux dans . On note et on considère une base orthonormée de ker .
Q 26. Démontrer que

Q 27. En déduire que .
Q 28. Conclure.

Les notations sont celles de la partie II. On cherche un vecteur unitaire tel que la variance de soit maximale.
Comme en I.C, on note .
On note l'application de dans définie par .
III.A - Un exemple dans

On pose .
Q 29. Justifier l'existence d'un vecteur aléatoire dont est la matrice de covariance.
Q 30. Dans cette question uniquement, on suppose que une variable aléatoire à valeurs dans telle que . Déterminer le maximum de sur .

Q 31. Dans le cas général, démontrer que la fonction admet un maximum sur . Préciser la valeur de ce maximum ainsi qu'un vecteur tel que

On suppose, dans cette sous-partie III.C uniquement, que vérifie

où et sont deux réels strictement positifs.
On note la matrice dont tous les coefficients sont égaux à 1 .
Q 32. Démontrer que et exprimer en fonction de .
Q 33. Déterminer les valeurs propres de et la dimension de chaque sous-espace propre associé. Déterminer également un vecteur propre associé à sa valeur propre de module maximal.
Q 34. Préciser un vecteur unitaire tel que la variance de soit maximale.
Q 35. Calculer le pourcentage de la variance totale représenté par , c'est-à-dire le rapport .
III. - On suppose, dans cette dernière sous-partie, que présente valeurs propres distinctes qu'on classe par ordre strictement décroissant .
On se munit d'un vecteur tel que .
On note

Q 36. Justifier que admet un maximum sur .
Q 37. Déterminer la valeur de ce maximum et préciser un vecteur tel que

Q 38. Calculer la covariance des variables aléatoires discrètes et (pour simplifier l'écriture, on pourra supposer centrée, c'est-à-dire ).

Ces questions de maximisation de la variance sont à la base de la méthode statistique d'analyse en composantes principales. Il s'agit de déterminer, à partir d'un certain nombre de variables aléatoires, des combinaisons linéaires (composantes principales) concentrant le maximum d'information et décorrélées entre elles.