Centrale Mathématiques 1 PSI 2004

Si est un intervalle, une application de dans un élément de , on pose o o (composé de fois ); on convient que . Si et sont deux intervalles de et une application de dans , on dit que est un -difféomorphisme de sur si et seulement si est une bijection de classe de sur dont la réciproque est elle aussi de classe . On rappelle que, pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que soit de classe , que la dérivée de ne s'annule pas sur , et que .
On désignera par l'ensemble des couples ( ) où est un intervalle de de la forme avec et une application de classe de dans lui-même vérifiant :
i) ,
ii) ,
iii) .

Si et sont dans , on dit que et sont conjugués si, et seulement si, existent deux réels et dans tels que et un -difféomorphisme croissant de sur tel que :

Enfin, si est dans désigne l'ensemble des couples ( ) éléments de tels que .

Le but du problème est de prouver que si est dans , alors deux éléments quelconques de sont conjugués puis d'étudier le problème de la conjugaison dans .

Le résultat du I.D est utilisé dans les parties II et III. Les parties II et III sont formellement indépendantes, mais certaines questions de la partie III se traitent sur le modèle de questions de la partie II ; elles sont explicitement signalées dans l'énoncé.

I.A - Soit et deux éléments conjugués de . Montrer que .
I.B - Soit une application de dans lui-même telle que ( ) appartienne à .
I.B.1) Montrer que est dans .
I.B.2) Montrer que la suite de fonctions converge simplement vers 0 sur .
I.B.3) Montrer que cette convergence est uniforme.
I.C - Soit une suite de réels strictement positifs. On suppose que la série de terme général converge absolument et on pose, si :

En considérant la série de terme général ( ), montrer que la suite converge vers un réel strictement positif.
I.D - Soit un intervalle de et une suite de fonctions de dans . On suppose que la série de fonctions de terme général converge normalement sur . On pose, si :

Montrer que la suite de fonctions converge uniformément sur vers une fonction à valeurs dans .

Soient dans et une application de dans lui-même telle que appartienne à . Soit, pour :

Soit enfin l'application de [ 0,1 ] dans [ 0,1 ] définie par :

II.A - Si , calculer .

II.B.1) Montrer qu'il existe tel que et .
II.B.2) Montrer qu'il existe dans tel que:

II.C.1) Montrer qu'il existe tel que:

II.C.2) Montrer qu'il existe tel que :

II.C.3) Pour et , majorer et prouver que la suite de fonctions converge uniformément sur [0,1]. Sa limite sera notée .

II.D.1) Montrer que la série de fonctions de terme général

II.D.2) En déduire que est un -difféomorphisme de [ 0,1 ] sur son image.
II.E - Conclure que ( ) et ( ) sont conjugués.

On note l'ensemble des éléments ( ) de tels que l'ensemble soit non vide. Pour ( ) dans , on note . La formule de Taylor-Young donne alors :

III.A.1) Pour dans , soit la fonction définie sur [0,1] par:

Montrer que ( ) est dans , préciser .
Dans la suite de III.A, on considère une fonction de dans telle que ( ) appartienne à et on pose puis :

III.A.2)
a) Vérifier que est strictement positif.
b) appartient à et est conjugué à ( ), vérifier que ( ) est aussi dans avec .
III.A.3) Dans ce III.A.3, on suppose qu'il existe dans et dans tels que

Soit un nombre réel et la fonction définie sur par:

a) Montrer qu'il existe et dans tels que induise un -difféomorphisme de sur .
Dans la suite de III.A.3, les réels et sont ainsi choisis et on note le difféomorphisme réciproque de la restriction de à .
b) Établir :quand .
c) Déterminer les développements limités à l'ordre en 0 de puis de .
III.A.4) De ce qui précède déduire l'existence d'un réel et d'un couple ( ) de conjugué à et tels que :

III.B - Dans cette section III.B, est un entier strictement positif, est un nombre réel et une application de dans lui-même telle que ( ) appartienne à et que:

On définit une application sur par :

Donc est un -difféomorphisme de sur ; on ne demande pas de le vérifier. Soit enfin .
III.B.1)
a) Identifier .
b) Quelles propriétés de déduit-on des propriétés ii) et iii) du début de l'énoncé?
c) Déterminer un nombre réel tel que:

III.B.2)
a) Montrer qu'il existe un entier naturel tel que :

Pour tous entier naturel et réel supérieur ou égal à 1 , on pose :

b) Montrer qu'il existe tel que:

En déduire que pour tout il existe un réel strictement positif tel que :

c) Pour tous entier naturel strictement positif et réel supérieur ou égal à 1, on pose: , où est la constante définie au III.B.1-c). Démontrer, en procédant comme au II.C.3), que la suite de fonctions converge vers une fonction et que cette convergence est uniforme sur tout segment inclus dans .
d) Si , vérifier que .
III.B.3)
a) Montrer que :

b) Montrer que et, en procédant comme en II.D.1), prouver que est un -difféomorphisme de sur son image.
III.B.4)
a) Montrer que quand .
b) Conclure, si est une fonction de dans lui-même telle que ( ) soit dans et , que ( ) est conjugué à ( ).
III.C - Soit la suite définie par :

III.C.1)
a) Utiliser ce qui précède pour montrer que admet un équivalent du type avec et réels. Déterminer .
b) Montrer qu'il existe des nombres réels et tels que :

III.C.2) Établir un programme permettant de calculer (on utilisera le langage de programmation associé au logiciel de calcul formel).