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Centrale Mathématiques 1 TSI 2019

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesProbabilités finies, discrètes et dénombrementSuites et séries de fonctionsSéries et familles sommables
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Centrale
Année
2019
Filière
TSI
Matière
Maths
Centrale TSICentrale 2019TSI MathsMaths 2019
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Mathématiques 1

CONCOURS CENTRRLE•SUPÉLEC

4 heures
Calculatrice autorisée

Nombres de Fibonacci

Notations

Dans tout le problème on note (nombre d'or) et .
La suite de Fibonacci est la suite de nombres réels définie par

Objectifs

L'objectif de ce problème est d'étudier certaines propriétés de la suite de Fibonacci et d'en donner des applications en théorie des nombres, en informatique et en probabilités.
Les parties IV et V utilisent des résultats démontrés dans les parties I et II. La partie III est grandement indépendante des autres, mais fait appel aux notations données en introduction.

I Préliminaires

I.A -

Q 1. À l'aide de la calculatrice, donner les valeurs de pour .
Q 2. Montrer que la suite est une suite d'entiers strictement croissante.
Q 3. La suite est-elle convergente ?

I.B -

Q 4. Montrer que l'équation admet comme solutions les nombres et .
Q 5. Vérifier les égalités et .
Q 6. Démontrer l'égalité

II Séries génératrices de Fibonacci

On s'intéresse dans cette partie aux séries entières de la variable réelle et .
On note respectivement et leurs sommes lorsqu'elles sont définies.
On pourra utiliser les résultats de la partie I.

II.A -

Q 7. Donner un équivalent de lorsque tend vers .
Q 8. En déduire les rayons de convergence des séries entières et .
II.B -
Q 9. En utilisant la relation de récurrence définissant la suite , démontrer que, pour tout réel appartenant à ,
Q 10. Pour tout nombre réel différent de et , vérifier que
Q 11. Décomposer en série entière au voisinage de 0 les deux fonctions et ; on précisera les rayons de convergence de chacune de ces séries.
Q 12. Retrouver le résultat de la question 6.

II. C -

Q 13. Montrer que, pour tout nombre réel .
Q 14. À l'aide du résultat précédent et des égalités de la question 5 , démontrer que
Q 15. En calculant la dérivée -ième en zéro de chacun des deux membre de l'égalité précédente, démontrer que

III Représentation intégrale de la suite de Fibonacci

Dans cette partie, on étudie une fonction dont la décomposition de Fourier fait intervenir le nombre défini dans les notations et on signale une formule récente donnant une expression intégrale des termes de la suite de Fibonacci.
On note la fonction de dans définie par .
La fonction étant -périodique, ses coefficients de Fourier sont définis par

III.A -

Q 16. Justifier que pour tout . En déduire la valeur de .
Q17. Montrer que .
Q 18. À l'aide du changement de variable montrer que .
On admettra dans la suite que .
III.B -
Q 19. Démontrer que, pour tout ,
Q 20. Exprimer l'intégrale comme somme d'une série géométrique et en déduire sa valeur.
Dans la poursuite de ce type de calculs, il a été démontré en 2015 que, pour tout entier naturel n

IV Temps d'attente de (Pile, Pile) dans un jeu de pile ou face infini

On modélise un jeu de Pile ou Face par une suite de variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé ( ), mutuellement indépendantes et de même loi de Bernoulli de paramètre :
On convient que l'événement ( ) modélise la situation «obtenir Pile au -ième lancer ».
On admet qu'on définit une variable aléatoire par
  • si on n'obtient jamais deux Pile consécutifs;
  • sinon, est égale au plus petit entier naturel non nul tel que .
On pourra utiliser les résultats des parties I et II.

IV.A -

Q 21. Calculer et .

IV.B -

Pour , on note l'évènement «la liste ( ) ne comporte pas deux 1 consécutifs » et on pose .
Q 22. Pour tout , montrer que .
Q 23. Justifier, pour tout entier , l'égalité des deux événements
Q 24. Démontrer que, pour tout entier .
Q 25. Donner alors une relation simple entre et , valable tout .
Q 26. Démontrer que, pour tout entier naturel non nul, .

IV.C -

Q 27. En utilisant le résultat de la question 9, calculer la valeur de .
Q 28. Interpréter ce résultat.
Q 29. Montrer que admet une espérance et calculer sa valeur.

V Décomposition d'un entier

Le but de cette partie est de montrer que tout nombre entier naturel non nul peut s'écrire, de manière unique, comme une somme de certains termes de la suite de Fibonacci et d'en déduire un codage binaire des nombres entiers naturels. Ce codage et son décodage sont ensuite implantés en langage Python.
On pourra utiliser les résultats de la partie I.
Si est un entier naturel non nul, on dit que admet une F -décomposition s'il existe un entier et des entiers naturels supérieurs ou égal à 2 et tels que
i. , ce qui traduit que les nombres et ne sont pas des termes consécutifs de la suite de Fibonacci ;
ii. .
Si , on adopte la convention que la proposition i est vérifiée.
L'écriture , si elle existe, est alors appelée une F -décomposition de l'entier naturel .

Q 30. Les égalités et sont-elles des F-décompositions de 100 ?
Q 31. Utiliser la calculatrice pour donner une F -décomposition de 32, puis une F -décomposition de 272.

Q 32. On suppose qu'un entier admet une F -décomposition de la forme . Montrer, par récurrence sur , que .
Q 33. En déduire que, sous réserve d'existence, la F-décomposition de est unique.
Q 34. Montrer que tout entier naturel non nul admet une unique F -décomposition.

Q 35. Écrire une fonction Python fibonacci qui prend en paramètre un entier naturel et renvoie la liste des premiers termes de la suite de Fibonacci. Par exemple fibonacci(5) doit renvoyer [0, 1, 1, 2, 3, 5].
Q 36. Écrire une fonction Python recherche qui prend en paramètre un entier naturel et renvoie le plus grand entier naturel tel que . Par exemple, recherche(7) doit renvoyer 5.
Q 37. Écrire une fonction Python Fdecomposition qui prend en paramètre un entier naturel non nul et renvoie sa F -décomposition sous forme d'une liste croissante d'entiers. Par exemple, Fdecomposition(100) doit renvoyer [3, 8, 89].
- Une fois qu'on dispose de la F-décomposition d'un entier naturel non nul, on lui associe une liste composée de 0 et de 1 de la manière suivante :
  • on écrit en ligne la liste de tous les termes de la suite de Fibonacci inférieurs ou égaux à , en commençant à partir de ;
  • en-dessous de chaque terme de cette liste, on inscrit 1 si ce terme figure dans la F-décomposition de et 0 s'il n'y figure pas ;
  • on obtient une liste formée de 0 et de 1 qu'on «normalise» en ajoutant un 1 en dernière position.
Ce principe est appelé codage de Fibonacci.
Q 38. Vérifier que 100 est codé par la liste .
Q 39. Écrire une fonction Python codage qui prend en paramètre un entier naturel non nul et renvoie son codage de Fibonacci sous forme d'une liste de zéros et de uns. Par exemple, codage(100) doit renvoyer la liste .
Q 40. Écrire une fonction Python decodage qui prend en paramètre une liste non vide constituée de 0 et de 1 et qui renvoie l'entier naturel qu'elle code. Par exemple, decodage ( ) doit renvoyer l'entier 100.
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