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Centrale Mathématiques 2 PC 2009

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Algèbre linéaireGéométrieAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variables
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Centrale
Année
2009
Filière
PC
Matière
Maths
Centrale PCCentrale 2009PC MathsMaths 2009
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Épreuve: MATHÉMATIQUES II

Les calculatrices sont autorisées

Notations et objet du problème

  • La notation désigne indifféremment l'ensemble des nombres réels ou l'ensemble des nombres complexes.
  • désigne un entier supérieur ou égal à 1 .
  • On note l'ensemble des matrices carrées d'ordre à coefficients dans . La matrice identité de est notée .
  • Dans tout le problème, on identifie les deux espaces vectoriels et , c'est-à-dire qu'on identifie un vecteur de avec le vecteur colonne de ses composantes dans la base canonique de . De la sorte, si et , on peut former le produit , ce qui permet de définir l'endomorphisme canoniquement associé à par :
L'image de sera notée et le noyau de sera noté .
Pour toute matrice de , on note le spectre de , c'est-à-dire l'ensemble de ses valeurs propres complexes. On note le rayon spectral de , c'est-à-dire le plus grand module des valeurs propres de .
  • On dira qu'une suite de (respectivement de ) converge, ou est convergente, si elle converge pour une norme particulière de (respectivement de ). On sait qu'elle converge alors pour toute norme de (respectivement de ) puisque ces espaces sont de dimension finie.
  • L'espace vectoriel est muni de son produit scalaire canonique, noté , . La norme euclidienne associée est notée || ||.
    Un endomorphisme symétrique de est dit positif si, pour tout de , .
    Un endomorphisme symétrique est dit défini positif si, pour tout de non nul, .
    On dit de même qu'une matrice symétrique est positive si l'endomorphisme de canoniquement associé à est positif, et qu'elle est définie positive si ce même endomorphisme est défini positif.
    Dans tout le problème, est une matrice symétrique, est un vecteur fixé, et l'on étudie des méthodes itératives pour approcher la ou les solutions du système .

Partie I - La fonctionnelle J

I.A - Question préliminaire

I.A.1) Montrer qu'une matrice symétrique de est positive si et seulement si son spectre est inclus dans , et qu'elle est définie positive si et seulement si son spectre est inclus dans .
I.B - Cas particulier :
Dans cette question, on pose et . On définit la fonction sur à valeurs dans de la façon suivante :
a) Justifier que la fonction est de classe sur .
La fonction gradient de est notée .
b) Prouver que :
c) En déduire que la fonction admet un unique point critique sur .
d) Déterminer la nature géométrique de la surface de d'équation .
e) Déduire de la question précédente que la fonction admet un minimum global sur , que l'on précisera.
I.C - On suppose dans cette question que la matrice de est symétrique positive et on définit l'application de dans :
appelée la fonctionnelle associée à .
I.C.1) Prouver que, pour tout couple ( ) de vecteurs de , on a :
On pose pour tout .
I.C.2)
a) Expliciter la fonction telle que
Quel est le signe de ?
b) On suppose qu'un vecteur est tel que pour tout .
En observant que pour tout et tout , montrer que:
I.C.3) On suppose que la matrice est symétrique définie positive.
a) Montrer qu'il existe un unique tel que , et le déterminer en fonction de et .
b) Soit et non nul.
Montrer qu'il existe un unique tel que .
Exprimer en fonction de et .
I.C.4) On suppose encore que la matrice est définie positive. Déterminer deux constantes et en fonction du spectre de telles que:
pour tout couple ( ) de vecteurs de .
I.C.5) On suppose que la matrice est symétrique positive, mais non inversible, et que appartient à . On note un élément de tel que . Déterminer l'ensemble des vecteurs tels que et préciser sa nature géométrique.

Partie II - Méthode du gradient à pas constant

II.A - Normes matricielles et rayon spectral

Une norme sur est dite subordonnée s'il existe une norme sur telle que, pour tout ,
On dit que est subordonnée à .
II.A.1) On définit sur la norme par:
On note la norme sur subordonnée à .
Montrer que, pour toute matrice .
II.A.2) Soit une norme subordonnée sur .
a) Montrer que: .
En déduire que: .
b) Montrer que, pour tout .
II.A.3) Soit une matrice triangulaire supérieure de ( c'est-à-dire si ).
Soit un nombre réel strictement positif, et la matrice diagonale , est-à-dire dont le -ème coefficient diagonal est .
a) Calculer .
b) En déduire que, pour tout , il existe tel que .
II.A.4) Soit une matrice de et fixé.
a) Prouver l'existence d'une matrice inversible et d'un réel tel que :
b) En déduire qu'il existe une norme subordonnée sur telle que :
II.A.5) Soit et . On définit l'application de dans par :
Montrer l'équivalence des assertions (i) et (ii) ci-dessous :
(i) Pour tout , la suite , définie par , est convergente, et sa limite est indépendante de .
(ii) est inversible et .
Il pourra être utile d'introduire un réel et de choisir une norme subordonnée sur telle qu'on ait l'inégalité pour la matrice considérée.

II.B - Méthode du gradient à pas constant

Soit une matrice symétrique positive, mais pas nécessairement inversible, un vecteur appartenant à l'espace , et la fonctionnelle associée à .
On note un élément de tel que On désigne par une matrice symétrique définie positive donnée.
II.B.1) Montrer que l'application définie par , pour tout couple ( ) de vecteurs de , fournit un produit scalaire sur l'espace .
II.B.2) Montrer que les sous-espaces et sont orthogonaux pour le produit scalaire défini à la question précédente.
En déduire qu'ils sont supplémentaires.
II.B.3) Montrer que, dans , le système linéaire possède une unique solution notée . Décrire l'ensemble des solutions dans .
II.B.4) Étant donné un nombre réel , on définit la suite récurrente
pour tout étant arbitrairement choisi.
a) Montrer que la composante du vecteur sur le sous-espace , dans la décomposition , est indépendante de ; on la note .
b) Pour tout s'écrit donc avec . Préciser l'application telle que pour tout .
c) Montrer que les valeurs propres complexes de la matrice sont toutes réelles positives ou nulles.
Il pourra être utile de montrer que pour toute matrice de .
d) Montrer qu'on définit un automorphisme linéaire de en posant pour tout .
On note la plus grande valeur propre de , et l'on suppose, jusqu'à la fin de cette partie, que .
e) Dans cette question, on note id l'endomorphisme identité de l'espace . Montrer que le polynôme caractéristique de est scindé sur , et que le rayon spectral de est strictement inférieur à 1 .
f) En déduire que la suite est convergente dans le sous-espace . On note sa limite. On peut donc écrire :
g) Quelle relation le vecteur vérifie -t-il?

Partie III - Méthode du gradient à pas optimal

Dans cette partie, est symétrique définie positive. On note le vecteur tel que .
On construit une suite par récurrence :
  • on choisit et l'on pose ;
  • en supposant déjà construit, on définit en fonction de de la façon suivante :
    on pose et on détermine tel que (cf. I.C.3.b).
    On pose alors . La suite est donc bien définie, ainsi que la suite .
    III.A -
    III.A.1) Montrer que, pour tout entier .
    III.A.2) Montrer qu'il existe dépendant du spectre de tel que :
III.A.3) Prouver que la suite est convergente.
Montrer alors que .
III.A.4) Montrer que , puis que .
III.A.5) Montrer que . Prouver finalement que .
III.B - Un exemple : est différent de est la matrice , et . On suppose que n'a aucune composante nulle. On construit la suite ( ) par la méthode décrite dans cette partie. On note
III.B.1) Expliciter les composantes de en fonction de celles de et de . En déduire que pour tout , les deux composantes de sont différentes de 0 .
III.B.2) Montrer que le produit des coefficients directeurs de et est une constante indépendante de , que l'on déterminera. On rappelle que le coefficient directeur de est .
III.B.3) Montrer que et sont colinéaires, et calculer le coefficient de colinéarité. Illustrer géométriquement le comportement de la suite ( ) pour .
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