J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

Centrale Mathématiques 2 PC 2019

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales à paramètresProbabilités finies, discrètes et dénombrementSéries entières (et Fourier)Polynômes et fractions
Logo centrale
🔗 Explorer
Banque
Centrale
Année
2019
Filière
PC
Matière
Maths
Centrale PCCentrale 2019PC MathsMaths 2019
2025_08_29_c7cd62aad879a2c2ad6eg
Le sujet est composée de trois parties.
Dans la partie I, on définit une suite d'entiers naturels via le développement en série entière d'une fonction auxiliaire et on s'intéresse en particulier à la suite extraite formée des termes de rang impair.
Dans la partie II, on détermine un équivalent, lorsque tend vers l'infini, de en faisant appel à des outils analytiques et notamment à la fonction zêta de Riemann.
Dans la partie III, on définit les permutations alternantes. On procède d'abord à leur dénombrement, avant de s'intéresser à des aspects probabilistes.
La partie II fait appel, très ponctuellement, à des résultats de la partie I. La partie III utilise des résultats des parties I et II.

I Introduction d'une fonction auxiliaire

Soit l'intervalle . On considère la fonction définie sur par
On note la dérivée d'ordre de et, par convention, .

I.A - Dérivées successives

Q 1. Exprimer les dérivées et à l'aide des fonctions usuelles.
Q 2. Montrer qu'il existe une suite de polynômes à coefficients réels telle que
On explicitera les polynômes et, pour tout entier naturel , on exprimera en fonction de et .
Q 3. Justifier que, pour tout entier , le polynôme est unitaire, de degré et que ses coefficients sont des entiers naturels.
Q 4. Montrer
Pour tout entier naturel , on pose .
Q 5. Montrer et

I.B - Développement en série entière

On note le rayon de convergence de la série entière et sa somme.
Q 6. À l'aide de la formule de Taylor avec reste intégral, montrer
Q 7. En déduire la minoration .
Q 8. Montrer
Q 9. Montrer
Considérer les fonctions et .
Q 10. En déduire que .
I. Partie paire et partie impaire du développement en série entière
Q 11. Justifier que toute fonction s'écrit de façon unique sous la forme avec une fonction paire et une fonction impaire.
Q 12. En déduire
On note la fonction définie sur par .
Q 13. Pour tout entier naturel , exprimer en fonction des réels .
Q 14. Rappeler, sans justification, l'expression de en fonction de .
Q 15. En déduire

II Équivalent de

II.A - La fonction zêta

Pour tout , on pose .
Q 16. Montrer que est continue sur .
Q 17. Encadrer par deux intégrales et en déduire .
Q 18. Déterminer tel que

II.B - Une formule pour la fonction cosinus

Pour tout entier naturel et tout réel , on pose .
Q 19. Montrer
Q 20. Montrer
Q 21. En déduire

II.C - Un autre développement de tangente

Dans toute cette sous-partie II.C, on pose et, pour tout entier naturel et tout réel de ,
Q 22. Montrer
Q 23. Justifier que, pour tout entier naturel , la fonction est définie sur .
Q 24. Montrer que la suite converge simplement sur vers la fonction nulle.
Q 25. En dérivant , montrer
Q 26. Montrer
Q 27. Montrer l'inégalité , pour tout de .
Q 28. En déduire
puis, pour , la limite .
Q 29. En déduire l'égalité

II.D - Un équivalent de

Q 30. Montrer
Q 31. En déduire un équivalent de lorsque tend vers l'infini.

III Permutations alternantes

Soit un entier supérieur ou égal à 2 et soit ( ) une liste de nombres réels. On dit que la liste est alternante montante si pour tout . On dit qu'elle est alternante descendante si pour tout .
Autrement dit, la liste est alternante montante si elle vérifie les inégalités . Elle est alternante descendante si elle vérifie les inégalités inverses.
Par exemple, ( ) est alternante montante car et ( ) est alternante descendante car .
On dit qu'une permutation de l'ensemble est alternante montante (respectivement alternante descendante) si la liste est alternante montante (respectivement alternante descendante).
Par exemple, avec et en représentant toute permutation par la liste des images , on constate que ( ) représente une permutation alternante montante et ( ) une permutation alternante descendante.

III.A - Dénombrement des permutations alternantes

Q 32. Déterminer les permutations alternantes montantes de pour .
Q 33. Montrer, pour tout , que le nombre de permutations alternantes montantes est égal au nombre de permutations alternantes descendantes.
Si , on note le nombre de permutations alternantes montantes de , et on convient que .
Q 34. Soient et deux entiers tels que et une partie à éléments de . On considère les listes constituées de éléments deux à deux distincts de . Montrer que le nombre de ces listes qui sont alternantes montantes est égal à .
Le nombre de celles qui sont alternantes descendantes est le même, mais on ne demande pas de le justifier.
Q 35. Montrer, pour tout entier .
Pour , dénombrer les permutations alternantes (montantes ou descendantes) de telles que .
Q 36. En déduire que pour tout .

III.B - Permutations aléatoires

Pour tout entier , on munit l'ensemble des permutations de de la probabilité uniforme. On note la probabilité qu'une permutation dans soit alternante montante. On convient de plus que .
Q 37. Montrer que la suite ( ) tend vers 0 . Donner un équivalent de quand tend vers l'infini.
On définit une variable aléatoire sur en associant à toute permutation l'entier tel que :
  • si ;
  • si ;
  • si ;
  • si est alternante montante.
En d'autres termes, , où est le plus grand entier tel que ( ) soit alternante montante.
On note l'espérance de .
Q 38. Pour tout , montrer .
Q 39. Exprimer en fonction de . En déduire .
Centrale Mathématiques 2 PC 2019 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa