Centrale Option Informatique MP 2004

L'épreuve est constituée de deux parties indépendantes. Le candidat peut les traiter dans l'ordre de son choix à condition de respecter les numérotations.

On appelle graphe un ensemble fini de points du plan (nommés nœuds). Certains de ces nœuds sont reliés par un arc orienté. Un graphe permet de représenter simplement une relation binaire définie sur un ensemble fini.

Dans cette partie, on s'intéresse au problème de l'affectation de candidats à des postes ouverts par des écoles. Chaque candidat classe les écoles dans lesquelles il souhaite obtenir un poste par ordre de préférence strictement décroissante. Chaque école offre un nombre connu de postes, et classe tous les candidats qui postulent par ordre de préférence strictement décroissante. Les choix des candidats et des écoles peuvent être représentés par un graphe dans lequel chaque nœud représente une candidature : les nœuds du graphe sont sur une grille à deux dimensions, les candidats étant placés en abscisses et les écoles en ordonnées; ainsi les arcs verticaux représentent la relation de préférence des candidats pour les écoles et les arcs horizontaux la relation de préférence des écoles pour les candidats. Ces relations sont des relations d'ordre : elle sont donc transitives.

On note la candidature du candidat à un poste ouvert par l'école . On note la relation de préférence des candidats pour les écoles, et la relation de préférence des écoles pour les candidats. Ainsi , indique que le candidat préfère l'école à l'école , et indique que l'école préfère le candidat au candidat . On note le nombre de postes ouverts par l'école .
Dans toute cette partie [ ] désigne l'ensemble .

Considérons le graphe ayant pour sommets :

pour arcs «verticaux»:

et pour arcs «horizontaux»:

avec, comme nombres de postes ouverts, et .
Ce graphe peut être représenté comme suit :
Ce graphe indique que le candidat postule pour les écoles et , et qu'il préfère à . De même, le candidat postule pour les 3 écoles et préfère à et à et donc, par transitivité, il préfère à . Le candidat postule pour et

, dans cet ordre de préférence décroissante, et postule pour et dans cet ordre. L'école ouvre un seul poste, et elle préfère la candidature de à celle de . L' école ouvre 2 postes, elle préfère à à et à ; par transitivité, elle préfère donc à à et à . Enfin n'ouvre qu'un poste et préfère à qu'elle préfère à .

Une affectation est un ensemble de nœuds tel que dans chaque colonne, au plus un nœud appartient à l'affectation (un candidat ne peut pas être affecté à plusieurs postes) et tel que sur chaque ligne, le nombre de nœuds appartenant à l'affectation est au plus égal au nombre de postes ouverts par l'école correspondante. Une affectation vérifie donc les propriétés suivantes :

Une affectation est dite «totale» si tous les postes ouverts sont attribués, ou si tous les candidats obtiennent un poste (le nombre de postes ouverts et le nombre de candidats ne sont pas forcément égaux). Une affectation est dite «méritoire» si et seulement si pour tout nœud du graphe l'une des propositions suivantes est vraie :

l'accolade dans M3 signifiant que les 3 propriétés sont vraies simultanément.
I.D.1) Que signifie en langage courant la définition d'une affectation méritoire?
I.D.2) Une affectation méritoire est-elle nécessairement totale?

Dans cette section on cherche un algorithme conduisant à une affectation méritoire privilégiant les vœux des candidats en donnant à chaque candidat son choix préféré.
On appelle «nœud inutile pour les écoles» tout nœud tel qu'il existe nœuds distincts , avec pour tout , qui vérifient les deux propriétés suivantes :

I.E.1) Montrer que les affectations méritoires d'un graphe sont exactement celles du graphe obtenu en supprimant les nœuds inutiles pour les écoles du graphe initial, à condition que, lors de la suppression des nœuds inutiles, on prenne garde de maintenir les chaînes des préférences concernant les noeuds restants.
I.E.2) Déduire de la question précédente un algorithme pour trouver une affectation méritoire.
I.E.3) Appliquer cet algorithme (pas à pas) au graphe donné en exemple.

On va maintenant s'intéresser à l'affectation qui privilégie les vœux des écoles.

I.F.1) Donner la définition d'un «nœud inutile pour les candidats».
I.F.2) Montrer que les nœuds inutiles pour les candidats peuvent eux-aussi être supprimés du graphe sans que cela change les affectations méritoires.
I.F.3) En déduire un algorithme pour obtenir l'affectation méritoire qui privilégie le choix des écoles.
I.F.4) Appliquer cet algorithme au graphe donné en exemple.

I.G.1) Donner un algorithme permettant de supprimer tous les nœuds inutiles (aussi bien pour les écoles que pour les candidats) d'un graphe.
I.G.2) Appliquer cet algorithme au graphe donné en exemple, et en déduire toutes les affectations méritoires de ce graphe.

Un nombre entier (avec ), représenté sur 4 chiffres binaires , est appliqué à l'entrée d'un circuit logique ( est le chiffre de fort poids). Ce circuit a deux sorties et qui représentent la partie entière de la racine carrée de ( est le chiffre de fort poids).
II.A.1) En utilisant les connecteurs NOT, AND, et OR, donner une expression de en fonction de et .
II.A.2) En utilisant les mêmes connecteurs, donner une expression de en fonction de et .

Soit une fonction booléenne des variables . On appelle résidu de par rapport à (noté ) la fonction des variables qui correspond à une expression logique de dans laquelle on a remplacé par 1:

De même, on appelle résidu de par rapport à (noté la fonction :

II.B.1) Démontrer que
II.B.2) Démontrer que

On définit la dérivée booléenne par rapport à d'une fonction booléenne

où le symbole désigne le ou exclusif (XOR).
II.B.3) Démontrer que la valeur de est indépendante de la valeur de si et que la valeur de dépend de la valeur de si .
II.B.4) Démontrer que .

Soient et deux fonctions booléennes des variables :
II.B.5) Démontrer que :

II.B.6) Démontrer que :