Les candidats devront répondre aux questions de programmation en utilisant le langage Caml. Ils devront donner le type, ou la signature, de chaque fonction écrite, sauf lorsqu'il est indiqué par le sujet : dans ce cas la réponse doit être d'un type compatible avec la signature proposée. Par exemple, la fonction cons définie par
let cons
est du type 'a -> 'a list -> 'a list qui est compatible avec la signature int -> int list -> int list. L'énoncé indique la signature attendue, toute réponse de type compatible est acceptée.
I Graphes d'intervalles
On considère le problème concret suivant : des cours doivent avoir lieu dans un intervalle de temps précis (de 8 h à ) et on cherche à attribuer une salle à chaque cours. On souhaite qu'à tout moment une salle ne puisse être attribuée à deux cours différents et on aimerait utiliser le plus petit nombre de salles possibles.
Ce problème d'allocation de ressources (ici les salles) en fonction de besoins fixes (ici les horaires des cours) intervient dans de nombreuses situations très diverses (allocation de pistes d'atterrissage aux avions, répartition de la charge de travail sur plusieurs machines, ...).
I.A - Représentation du problème
On modélise le problème ainsi :
chaque besoin est représenté par un segment où et ;
deux besoins et sont en conflit quand .
La donnée du problème est une suite finie ( ) de segments où .
Figure 1 Deux exemples de problèmes
On représente un segment en Caml par un couple d'entiers, la donnée du problème est une valeur du type (int*int) vect. Le problème a de la figure 1 est représenté par le tableau
[I I]
I.A.1) Écrire une fonction ayant pour signature
conflit : int * int -> int * int -> bool
telle que conflit I J renvoie true si et seulement si et sont en conflit.
I.B - Graphe simple non orienté
On appelle graphe simple non orienté un couple où
est un ensemble fini dont les éléments sont appelés les sommets du graphe ;
est un ensemble de paires d'éléments distincts de . Lorsque on dit que et sont reliés dans et est appelée une arête de . Les sommets reliés à un sommet sont appelés les voisins de .
Étant donnée une énumération de sous la forme d'une suite finie ( ) on représente en Caml par un élément du type int list vect ainsi : pour , la liste A. (i) contient les tels que soit relié à dans .
On représente graphiquement le graphe par un diagramme où les arêtes sont représentées par des traits entre les sommets.
Les arêtes du graphe dont une représentation graphique est donnée figure 2 sont représentées en Caml par le tableau:
[| [1;2;3]; [0;2;3]; [0;1;3;4]; [0;1;2]; [2] |]
Figure 2
Une telle liste d'arêtes suffit pour déterminer un graphe lorsque l'énumération des sommets est connue car on peut alors identifier un sommet à son indice. Dans la suite de ce problème on identifiera ainsi un graphe à sa liste d'arêtes.
I.C - Graphe d'intervalles
Soit une suite finie de segments, on appelle graphe d'intervalles associé à le graphe
dont les sommets sont les segments
et où, pour , avec , les sommets et sont reliés si et seulement si ils sont en conflit.
Le graphe d'intervalles qui correspond au problème a de la figure 1 admet la représentation graphique de la figure 3.
Figure 3
I.C.1) Donner une représentation graphique du graphe d'intervalles associé au problème b de la figure 1 .
I.C.2) Écrire une fonction ayant pour signature
construit_graphe : (int * int) vect -> int list vect
qui étant donné le tableau des segments , énumérés dans cet ordre, renvoie la représentation des arêtes de .
I.D - Coloration
Soit un graphe simple non orienté dont les sommets sont . On appelle coloration de une suite finie d'entiers naturels ( ) telle que
L'entier est appelé la couleur du sommet et la condition se traduit ainsi: deux sommets reliés ont des couleurs distinctes. Dorénavant, le terme couleur sera synonyme d'entier naturel.
La suite finie ( ) est une coloration du graphe de la figure 2.
Lorsqu'une coloration utilise le plus petit nombre de couleurs distinctes possibles, on dit qu'elle est optimale. On note alors ce nombre minimum de couleurs, appelé le nombre chromatique de .
En associant une salle à chaque couleur, on peut répondre au problème initial à l'aide d'une coloration de son graphe d'intervalles associé.
I.D.1) Déterminer des colorations optimales pour les graphes d'intervalles associés aux deux problèmes de la figure 1. On attribuera à chaque fois la couleur 0 à l'intervalle .
I.D.2) Couleur disponible
a) Écrire une fonction de signature
appartient : int list -> int -> bool
telle que l'appel à appartient envoie true si et seulement si l'entier est présent dans la liste .
b) Écrire une fonction de signature
plus_petit_absent : int list -> int
telle que l'appel à plus_petit_absent 1 renvoie le plus petit entier naturel non présent dans 1 .
c) On considère ici une coloration progressive des sommets d'un graphe. Pour cela, une coloration partielle est un tableau couleurs: int vect tel que couleurs. (i) contient la couleur de s'il est coloré et -1 sinon, ce qui ne pose pas de problème car les couleurs sont toujours positives.
Écrire une fonction de signature
couleurs_voisins : int list vect -> int vect -> int -> int list
telle que l'appel à couleurs_voisins aretes couleurs i renvoie la liste des couleurs des voisins colorés du sommet d'indice dans le graphe décrit par aretes où le tableau couleurs décrit une coloration partielle.
d) En déduire, une fonction de signature
couleur_disponible : int list vect -> int vect -> int -> int
telle que l'appel à couleur_disponible aretes couleurs i renvoie la plus petite couleur pouvant être attribuée au sommet i afin qu'il n'ait la couleur d'aucun de ses voisins dans le graphe décrit par aretes.
I.E - Cliques
Soit un graphe.
Un sous-ensemble est appelé une clique de lorsqu'il vérifie
Le nombre d'éléments de est appelé sa taille. La taille de la plus grande (celle qui possède le plus grand nombre d'éléments) clique de est notée .
I.E.1) Déterminer et lorsque
a) ne possède pas d'arête (c'est à dire ).
b) est un graphe complet à sommets, c'est à dire et pour tous distincts, .
I.E.2) Comparer et pour un graphe quelconque.
I.E.3) Écrire une fonction de signature
est_clique : int list vect -> int list -> bool
telle que est_clique aretes xs renvoie true si et seulement si la liste xs est une liste d'indices de sommets formant une clique dans le graphe décrit par aretes.
II Algorithme glouton pour la coloration
Étant donnée une liste de segments de longueur , on se propose de déterminer une coloration optimale de son graphe d'intervalles associé. On appelle coloration de une suite finie d'entiers naturels ( ) telle que
On suppose dans cette partie que les segments , pour , sont énumérés dans l'ordre croissant de leur extrémités gauches, c'est-à-dire que
On propose l'algorithme suivant:
Pour variant de 0 à , colorer l'intervalle avec la plus petite couleur non encore utilisée dans la coloration des intervalles , avec , qui ont une intersection non vide avec .
Ainsi, l'intervalle est toujours coloré avec la couleur 0 , l'intervalle reçoit la couleur 0 si , et la couleur 1 sinon, etc.
II.A - L'algorithme sur un exemple
Déterminer la coloration renvoyée par l'algorithme pour le problème b décrit sur la figure 1 .
II.B - Coloration
Écrire une fonction de signature
coloration : (int * int) vect -> int list vect -> int vect
telle que l'appel coloration segments aretes, où segments est un tableau contenant des segments triés par ordre croissant de leurs extrémités gauches et où aretes représente les arêtes du graphe d'intervalles associé à ces segments, renvoie la coloration obtenue avec l'algorithme ci-dessus.
II.C - Preuve de l'algorithme
On se propose maintenant de démontrer que l'algorithme ci-dessus fournit une coloration optimale de l'ensemble de segments. Soit un entier entre 0 et . On suppose qu'à la -ième étape de l'algorithme, le segment reçoit la couleur .
II.C.1) L'extrémité gauche du segment appartient à un certain nombre de segments parmi . Combien au moins?
II.C.2) Prouver que l'ensemble constitué de et de ses voisins d'indice inférieur à constitue une clique de taille au moins dans le graphe d'intervalles associé.
II.C.3) En déduire que le nombre de couleurs nécessaires à une coloration de l'ensemble des segments est au moins égal à .
II.C.4) Conclure.
II.D - Complexité
Déterminer la complexité de la fonction coloration en fonction du nombre d'arêtes du graphe d'intervalles associé à la liste .
III Graphes munis d'un ordre d'élimination parfait
On introduit ici la notion d'ordre d'élimination parfait, dont on montre qu'il existe toujours pour un graphe d'intervalles, et qui permet de proposer un algorithme glouton pour le problème de la coloration d'un graphe. Soient un graphe et une énumération des sommets de . Pour tout on note où et
est ainsi le graphe déduit de en se restreignant aux sommets de à .
Une énumération des sommets de est appelée un ordre d'élimination parfait si pour tout les voisins de d'indices inférieurs à forment une clique.
III.A - Un exemple
Déterminer un ordre d'élimination parfait pour le graphe donné par la représentation de la figure 4 .
Figure 4
III.B - Vérification
III.B.1) Écrire une fonction de signature
voisins_inferieurs : int list vect -> int -> int list
telle que voisins_inferieurs aretes x renvoie la liste des voisins du sommet d'indice dont l'indice est strictement inférieur à .
III.B.2) Écrire une fonction de signature
est_ordre_parfait : int list vect -> bool
telle que est_ordre_parfait aretes renvoie true si et seulement si l'énumération associée au graphe représenté par aretes est un ordre d'élimination parfait.
III.C - Ordre d'élimination parfait pour un graphe d'intervalles
Montrer que l'énumération des segments ( ) obtenue en les triant par leurs extrémités gauches en ordre croissant est un ordre d'élimination parfait de leur graphe d'intervalles.
III.D - Coloration
On considère un graphe dont est une énumération des sommets.
On colore ce graphe à l'aide l'algorithme suivant :
pour allant de 0 à , on colore avec la plus petite couleur qui ne soit pas utilisée par un de ses voisins déjà colorés.
III.D.1) Appliquer cet algorithme de coloration au graphe de la figure 4 muni
a) de l'ordre ;
b) d'un ordre d'élimination parfait.
III.D.2) Écrire une fonction de signature
colore : int list vect -> int vect
telle que l'appel à colore aretes renvoie selon cet algorithme un tableau c représentant une coloration valide du graphe décrit par aretes où la couleur du -ème sommet est donnée par c.(i).
III.D.3) Soit la coloration obtenue par cet algorithme pour un graphe dont l'énumération des sommets est un ordre d'élimination parfait.
a) Montrer que pour tout on a .
b) En déduire que l'algorithme de coloration renvoie une coloration optimale.
IV Ordre d'élimination parfait pour un graphe cordal
On s'intéresse ici à une nouvelle condition suffisante pour qu'un graphe admette un ordre d'élimination parfait, qui s'exprime en considérant les cycles de longueur au moins égale à 4 du graphe considéré.
Un graphe est dit cordal lorsque pour tout cycle de de longueur , il existe distincts entre 0 et tels que les sommets et soient reliés dans le graphe mais non successifs dans le cycle. Une telle arête est appelée une corde du cycle . Autrement dit, le graphe est cordal lorsque tout cycle de de longueur supérieure ou égale à 4 possède une corde.
IV.A - Cycles de longueur 4 dans un graphe d'intervalles
Soit un graphe d'intervalles. Dans cette question, on se propose de démontrer par l'absurde que tout cycle de longueur 4 de possède une corde. On suppose à cet effet que contient un 4-cycle sans corde.
On dispose donc de 4 segments tels que , et . On supposera pour simplifier que les extrémités des segments sont toutes distinctes.
IV.A.1) Montrer qu'aucun des segments n'est inclus dans un autre de ces segments.
IV.A.2) On a donc par exemple min . Montrer que min et de même pour et .
IV.A.3) Conclure à une contradiction.
IV.B - Cordalité des graphes d'intervalles
Montrer plus généralement que tout graphe d'intervalles est cordal.
IV.C - Une enquête policière
Six personnes sont entrées dans la bibliothèque le jour où un livre rare y a été volé. Chacune d'entre elles est entrée une seule fois dans la bibliothèque, y est restée un certain temps, puis elle en est sortie. Si deux personnes étaient ensemble dans la bibliothèque à un instant donné, alors au moins l'une des deux a vu l'autre. À l'issue de l'enquête, les témoignages recueillis sont les suivants : Albert dit qu'il a vu Bernard et Édouard dans la bibliothèque. Bernard a vu Albert et Isabelle. Charlotte affirme avoir vu Didier et Isabelle. Didier dit qu'il a vu Albert et Isabelle. Édouard certifie avoir vu Bernard et Charlotte. Isabelle dit avoir vu Charlotte et Édouard. Seul le coupable a menti. Qui est-il ?
IV.D - Ordre d'élimination parfait
Un sommet d'un graphe est dit simplicial lorsque l'ensemble des voisins de dans est une clique.
Étant donnés un graphe et un ensemble de sommets de le sous-graphe de induit par est le graphe où est l'ensemble des arêtes de dont les extrémités appartiennent à . On représente en Caml un sous-graphe induit d'un graphe G possédant sommets par le couple (aretes, sg) de type int list vect * bool vect où aretes est une description du graphe et sg est un tableau de taille tel que sg. (i) vaut true si le sommet d'indice est un sommet du sous-graphe induit et false sinon.
IV.D.1) Écrire une fonction de signature
simplicial : (int list vect * bool vect) -> int -> bool
telle que l'appel à simplicial (aretes, sg) k , où le sommet d'indice est supposé appartenir au sous-graphe induit décrit par (aretes, sg), renvoie true si le sommet d'indice est simplicial dans et false sinon. Déterminer la complexité de la fonction simplicial.
IV.D.2) Écrire une fonction de signature
trouver_simplicial : (int list vect * bool vect) -> int
telle que l'appel à trouver_simplicial (aretes, sg) renvoie, s'il en existe, un sommet simplicial du sous-graphe induit décrit par (aretes, sg). Déterminer la complexité de la fonction trouver_simplicial.
IV.D.3) Écrire une fonction de signature
ordre_parfait : int list vect -> int list
telle que l'appel à ordre_parfait aretes renvoie un ordre d'élimination parfait du graphe décrit par aretes, s'il en existe un. Déterminer la complexité de la fonction ordre_parfait.
IV.E - Coupures minimales dans un graphe cordal
Étant donné un graphe on appelle coupure de tout ensemble de sommets de , de cardinal au moins égal à 2 , tel que certains sommets reliés par un chemin dans le graphe ne le sont plus dans le sous-graphe de induit par .
On se donne dans cette question un graphe cordal . Soit une coupure de de cardinal minimal (supérieur ou égal à 2). Soit le sous-graphe de induit par . Soient et deux sommets de déconnectés par la coupure, et soient et les composantes connexes de et dans le graphe . Soient enfin et deux sommets distincts de la coupure .
IV.E.1) Montrer que est voisin dans le graphe d'un sommet de et d'un sommet de , et de même pour .
IV.E.2) Montrer qu'il existe un chemin dont tous les sommets hormis et sont des sommets de et un chemin dont tous les sommets hormis et sont des sommets de .
IV.E.3) On prend deux tels chemins et de longueur minimale. En considérant un cycle formé à partir des chemins et , montrer que et sont reliés dans le graphe .
IV.E.4) Montrer que est une clique du graphe .
IV.F - Sommets simpliciaux dans un graphe cordal
On se propose de montrer que tout graphe cordal possède la propriété suivante, que l'on appellera la propriété : possède un sommet simplicial, et même deux sommets simpliciaux non voisins si n'est pas complet. On se donne dans toute la question un graphe cordal .
IV.F.1) Montrer que si est complet alors tous ses sommets sont simpliciaux.
IV.F.2) Montrer que la propriété est vérifiée si possède 1,2 ou 3 sommets.
IV.F.3) On suppose dans cette question que n'est pas complet, possède au moins trois sommets et que la propriété est vérifiée pour tous les graphes cordaux ayant strictement moins de sommets que . Soit une coupure de de cardinal minimal. Soient et deux sommets de déconnectés par la coupure , et et les composantes connexes de et dans le sous-graphe de induit par . Soit (resp : ) l'ensemble des sommets de (resp : ). Soit enfin (resp : ) le sous-graphe de induit par (resp .
a) Justifier que le graphe est cordal.
b) On suppose que est complet. Montrer que contient un sommet simplicial du graphe . Prouver que ce sommet est en fait un sommet simplicial de .
c) On suppose que n'est pas complet. Montrer que contient deux sommets simpliciaux non voisins du graphe . Montrer que au moins l'un de ces deux sommets est dans et que ce sommet est un sommet simplicial de .
d) Montrer que la propriété est vérifiée.
IV.G - Ordre d'élimination parfait dans un graphe cordal
Montrer que tout graphe cordal possède un ordre d'élimination parfait.
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