Centrale Physique 1 TSI 2009

Calculatrices autorisées.
Cette épreuve comporte deux problèmes indépendants.

La mesure de la masse volumique de fluides est nécessaire dans de nombreux domaines industriels (industries agro-alimentaires, pétrolières...). Cette partie étudie le principe d'un dispositif de mesures continues et permanentes de masses volumiques.

Soit un corps creux de volume intérieur et de masse , rempli d'un fluide homogène de masse volumique (l'ensemble constitue le système ) inconnue et à déterminer. est suspendu à l'extrémité d'un ressort de cœefficient de raideur . Le ressort est suspendu à une paroi fixe du référentiel du laboratoire, supposé galiléen. Le dispositif est représenté figure 1. Le champ de pesanteur est uniforme. On note la position à l'instant du barycentre de par rapport à sa position d'équilibre.
I.A.1) À , le ressort est écarté de sa position d'équilibre, sans vitesse initiale, de .
a) Déterminer l'équation différentielle du mouvement de . On introduira la pulsation propre de .

b) En déduire l'expression de .
c) Montrer que la masse volumique peut se mettre sous la forme

où est la période d'oscillation de . On exprimera les constantes et en fonction de et .
d) Donner les unités de et .
I.A.2) En réalité, le dispositif est soumis à des forces supplémentaires de frottements fluides de résultante .
a) Établir la nouvelle équation différentielle vérifiée par en l'écrivant sous forme canonique : on exprimera pour cela les coefficients de l'équation différen-

tielle en fonction des seuls paramètres et , où est la pulsation propre du système et le facteur de qualité vérifiant

b) Dans l'application envisagée, la solution peut se mettre sous la forme

i)Quelle est la nature du mouvement de ? À quelle condition sur cette solution est-elle envisageable?
ii)Établir les expressions analytiques de et en fonction de et puis en fonction de et .
iii)Expliciter et en fonction de et .
iv)On souhaite approximer par , avec une erreur relative

Établir l'inégalité numérique que doit satisfaire (relation (2)).
c) On enregistre (cf. figure 2) l'évolution temporelle suivante pour :

i)Déduire de l'enregistrement les valeurs numériques de et .
ii)Calculer . Conclusion ?

Filière TSI

La mesure en continu des masses volumiques est réalisée à l'aide du dispositif expérimental (simplifié) représenté figure 3. L'oscillateur est constitué d'un tube de volume intérieur de quelques millilitres, en forme de , ouvert à ses extrémités où il est maintenu rigidement. Il est parcouru par le fluide dont on veut mesurer la masse volumique.
Il est mis en mouvement suivant l'axe par une excitation électromagnétique créée par la bobine excitatrice , ce qui le fait vibrer à sa fréquence propre suivant l'équation (1) (l'oscillateur est conçu pour vérifier la relation (2)). Un capteur électromagnétique (repré-

senté schématiquement en ( ) et détaillé figure 4), constitué d'un aimant annulaire fixé sur le tube et d'une bobine fixe et un calculateur électronique permettent la mesure de . L'ensemble du dispositif est placé dans une enceinte thermostatée, de température .

Il est tout d'abord nécessaire d'étalonner l'appareil, c'est-à-dire de déterminer avec précision ses constantes et dans les conditions de température et de pression de fonctionnement. On utilise pour cela deux fluides de référence, l'air sec et l'eau. On réalise l'étalonnage à la température et à la pression bar. La masse volumique de l'eau vaut alors .
a) L'air sec se comporte comme un gaz parfait de masse molaire . On donne , constante des gaz parfaits et , température du zéro absolu.
i)Déterminer en fonction de et l'expression littérale de la masse volumique de l'air.
ii)Déterminer l'expression littérale de l'incertitude relative
de la masse volumique de l'air en fonction des incertitudes relatives de et (voir annexe en fin d'énoncé). Faire l'application numérique, les incertitudes de et étant respectivement de et .
iii)En déduire la valeur numérique de avec le nombre adéquat de chiffres significatifs.
b) On mesure les fréquences d'oscillations et .
i)Associer à chaque fluide de référence sa fréquence d'oscillation. Justifier votre réponse.
ii)Déterminer les valeurs numériques de et sachant que les incertitudes relatives de et sont de .
c) On donne à les masses volumiques de quelques dérivés pétroliers :

Identifier le produit circulant dans le tube sachant que l'on mesure une période d'oscillations .

Le capteur (représenté figure 4) est constitué d'un aimant permanent annulaire, fixé au tube vibrant et d'une bobine de même axe, fixe dans le référentiel d'étude, composée de spires, de rayon et de longueur totale . Le champ magnétique régnant dans l'entrefer de l'aimant est

radial, de norme constante au niveau des spires. Lorsque le tube vibre, on relève une tension variable aux bornes des spires. Le déplacement de l'aimant est suffisamment faible pour que l'ensemble des spires soit toujours soumis au champ magnétique.
a) Expliquer qualitativement l'origine de .
b) Exprimer en fonction de et .
c) Comment le calculateur électronique procède-t-il au calcul de ?
d) À quelle condition le dispositif de mesure n'influe pas sur le mouvement du tube vibrant? Proposer un montage électronique avec un amplificateur opérationnel entre la bobine et le calculateur permettant de réaliser cette condition.

Filière TSI

Les masses volumiques de produits de type pétrolier dépendant fortement de la température (une variation de entraîne une variation de l'ordre de sur la masse volumique), il faut effectuer les mesures à température constante afin de garantir une précision satisfaisante.
La conduite cylindrique, de rayons intérieur et extérieur respectifs et est représentée figure 5 ; elle est réalisée

en acier. On suppose le problème unidimensionnel de sorte que la température du fluide dans la conduite ne dépend que de . On ne prend pas en compte le comportement thermique de l'acier ce qui revient à négliger l'épaisseur de la conduite pour l'étude des échanges thermiques fluide-extérieur.

On se place en régime permanent. Le fluide, supposé parfait, de capacité thermique massique à pression constante indépendante de la température, de masse volumique supposée constante, pénètre dans la conduite en à la température . On mesure en une température inférieure à la température d'entrée. Le débit massique est . On note la puissance thermique linéique cédée en par le fluide à l'extérieur. Elle dépend linéairement de la température du fluide en selon où est la température de l'air, constante avec . Le coefficient positif traduit la qualité du transfert thermique fluide-acier-air.
a) Établir l'équation différentielle satisfaite par .
b) En déduire la loi de décroissance de .
c) Le fluide entre dans la conduite à la température et ressort à la température . On donne . Déterminer la valeur numérique de .

On souhaite maintenir constante la température du fluide dans la conduite. On propose pour cela le dispositif suivant : sur la conduite de longueur on bobine spires, supposées jointives, d'un fil métallique (recouvert à sa surface d'un isolant). L'ensemble forme un solénoïde d'axe . On néglige les effets de bords. Le solénoïde est alimenté par un générateur de courant sinusoïdal délivrant .

L'acier utilisé a une conductivité électrique .
a) Donner l'expression du champ magnétique créé par le solénoïde en tout point intérieur au solénoїde. Pour l'expression du champ magnétique dans
l'acier, on admettra qu'il suffit de remplacer la perméabilité du vide par la perméabilité du métal.
b) On observe des courants électriques volumiques induits dans la conduite, à l'origine d'une dissipation d'énergie par effet Joule.
i)Quelle est l'origine de ces courants induits ?
ii)Par des considérations de symétrie, déterminer la direction .
iii)De quelle(s) variable(s) spatiale(s) dépend effectivement ?
iv)Montrer que peut s'écrire sous la forme et déterminer en fonction de et .
c)
i)En déduire l'expression de la puissance volumique dissipée par effet Joule dans la conduite.
ii)Déterminer la puissance totale par unité de longueur dissipée par effet Joule dans la conduite.
iii)Calculer la valeur moyenne temporelle de .
d) On alimente le solénoïde de façon à compenser exactement les pertes thermiques avec l'air et garder la température du fluide constante dans la conduite.
i)Quelle autre relation vérifie ?
ii)Calculer numériquement la valeur de permettant de maintenir le fluide à une température .
On donne : , et .
Pour le fluide considéré, .

On considère une masse de gaz parfait qui décrit le cycle moteur de Carnot, constitué de deux isothermes et de deux adiabatiques réversibles. On appelle la température de la source chaude et la température de la source froide. On prendra et .
II.A.1)
a) Représenter le cycle de Carnot dans un diagramme ( ) et un diagramme ( ). Justifier brièvement vos tracés.
b) Dans quel sens les cycles sont-ils parcourus? Justifier votre réponse.
II.A.2)
a) Représenter sur deux schémas le sens algébrique et le sens effectif des échanges d'énergie. Expliquer brièvement le principe de fonctionnement d'un moteur.
b) Exprimer l'efficacité de ce cycle en fonction de et de et la calculer numériquement.

II.B.1) Soit un système ouvert constitué par le fluide contenu dans un des composants d'un cycle (compresseur ou générateur de vapeur ou pompe...). Le fluide reçoit par unité de masse un travail indiqué et un transfert thermique . On raisonnera sur un système fermé convenablement défini. On se place dans l'hypothèse du régime permanent et on néglige les variations d'énergie potentielle et d'énergie cinétique. Montrer que la variation d'enthalpie massique entre l'entrée et la sortie vaut: .
II.B.2) Le cycle de Rankine (figure 6) est le cycle de base des centrales nucléaires. La pompe d'alimentation porte l'eau liquide saturante (état 0 ) de la basse pression du condenseur à la pression du générateur de vapeur ( ) de façon adiabatique réversible (état 1 ).

L'eau liquide comprimée entre ensuite dans le générateur de vapeur, isobare, où elle est chauffée jusqu'à la température du changement d'état (état 1'), puis totalement vaporisée (état 2 ). La vapeur saturante produite subit ensuite une détente adiabatique réversible ( ) dans une turbine. Le fluide pénètre ensuite dans le condenseur isobare pour y être totalement condensé (état 0 ) à la température . On appelle la température critique de l'eau. On négligera le travail consommé par la pompe devant les autres termes énergétiques de l'installation. On donne: ; et .
a) désignant le volume massique du fluide, représenter dans le diagramme la courbe de saturation ainsi que les isothermes et . Comment s'appelle le diagramme ( ) ? Préciser les domaines du liquide et de la vapeur. Donner le nom des différentes courbes. Définir et situer le point critique.
b) Représenter l'allure du cycle décrit par le fluide dans le diagramme ( ).

On supposera dans cette question l'eau liquide incompressible de capacité thermique massique constante. On note la chaleur latente massique de vaporisation à la température .
On donne : et .
a) Exprimer l'efficacité du cycle en fonction des transferts thermiques massiques et échangés respectivement dans le condenseur et le générateur de vapeur.
b) Exprimer en fonction de et .
c)
i)Exprimer en fonction de et .
ii)Montrer que et .
iii)En déduire en fonction de et .
d) Exprimer l'efficacité de Rankine en fonction de et . Calculer numériquement .
e) Comparer à l'efficacité de Carnot.

On donne ci-dessous des extraits de tables thermodynamiques pour l'eau : est exprimé en est exprimé en désigne la pression de vapeur saturante exprimée en bar.
On admet que .

a) Déterminer le titre massique et l'enthalpie massique de la vapeur à la sortie de la turbine.
b) Calculer l'efficacité du cycle. Conclure sur les deux valeurs de l'efficacité calculées.
c) Dans quel état se trouve le fluide à la fin de la détente dans la turbine ? Pourquoi est-ce un inconvénient pour les parties mobiles de la machine?

II.C.1) Par rapport au cycle de Rankine, on ajoute un surchauffeur (2-2') qui fonctionne lui aussi de façon isobare.
On donne : ; et .

a) Représenter l'allure du cycle de Hirn (figure 7) décrit par le fluide dans le diagramme . On supposera que l'eau à la sortie de la turbine est sur le palier d'équilibre liquide-vapeur à .
b) Expliquer qualitativement l'effet du surchauffeur sur les parties mobiles de la machine.
II.C.2) Calcul de l'efficacité avec des tables complètes

On donne ci-dessous des extraits de tables thermodynamiques pour l'eau : est exprimé en est exprimé en .

Vapeur sèche à et 85,9 bar : .
On admet que .

a) Déterminer le titre massique et l'enthalpie massique de la vapeur à la sortie de la turbine.
b) Calculer l'efficacité du cycle. Conclure sur les deux valeurs de l'efficacité calculées.
c) Donner deux avantages du cycle de Hirn par rapport au cycle de Rankine.

Expression de l'incertitude relative sur la mesure d'une grandeur , déterminée par la mesure de plusieurs grandeurs indépendantes :
Si

alors

ou bien :