Centrale Physique 1 TSI 2011

Les résultats numériques seront donnés avec un nombre de chiffres significatifs compatible avec celui utilisé pour les données.

Ce problème, ayant pour thème l'atmosphère terrestre, est constitué de deux parties totalement indépendantes. La première est consacrée à l'étude de la propagation d'ondes électromagnétiques dans l'atmosphère et à une modélisation de leur amortissement. La seconde partie aborde quelques aspects thermodynamiques de l'atmosphère. Tout résultat fourni par l'énoncé peut être utilisé ultérieurement sans justification.

Cette partie est consacrée à l'étude des ondes électromagnétiques, appelées ondes de Schumann, susceptibles de se propager dans la cavité atmosphérique et de leur amortissement.
Toutes les valeurs numériques ou formules utiles dans cette partie, sont regroupées ci-après.

On considère le circuit RLC série représenté sur la figure 1. On définit les quantités suivantes : la pulsation propre et le facteur de qualité .

L'interrupteur est fermé à un instant choisi comme origine des temps. Le condensateur est initialement chargé : .
I.A.1) Établir l'équation différentielle vérifiée par pour . On y fera apparaître et . Préciser les différents régimes d'évolution possibles selon les valeurs de . On suppose dans la suite.
I.A.2) a) Établir l'expression de pour , compte tenu des conditions intiales que vous expliciterez et justifierez.
b) Définir la pseudo-pulsation des oscillations libres en fonction de et . Définir aussi le temps caractéristique d'amortissement des oscillations libres en fonction de et .
I.A.3) On souhaite visualiser la tension sur l'écran d'un oscilloscope dont l'entrée est modélisée par l'association en parallèle d'une résistance et d'une capacité .
a) Montrer que si l'on tient compte de l'oscilloscope, l'équation différentielle vérifiée par devient :

b) Quelles relations qualitatives doivent vérifier et pour que la mise en place de l'oscilloscope ait une influence négligeable sur les oscillations étudiées? Vérifier qu'avec les valeurs usuelles de et utilisées en travaux pratiques ces relations sont vérifiées.
c) On définit le décrément logarithmique comme étant la quantité où et est un entier strictement positif. Exprimer en fonction de et de .
d) On réalise un montage expérimental où le circuit RLC est excité par un générateur BF. Comment faut-il choisir le signal délivré par le générateur pour observer les oscillations libres du circuit? La tension aux bornes du condensateur est enregistrée grâce à un logiciel d'acquisition. Le signal obtenu est représenté sur la figure 2.

Estimer le facteur de qualité du circuit.
I.A.4) On suppose : la dissipation d'énergie par effet Joule est traitée comme une perturbation par rapport au cas du circuit non dissipatif ( ).
a) Dans le cas où , établir l'expression de la valeur moyenne temporelle de l'énergie électromagnétique stockée dans le circuit.
b) Dans le cas où , montrer qu'au premier ordre en , l'énergie dissipée par effet Joule dans le circuit RLC, pendant une période, vérifie la relation :

La surface terrestre et l'ionosphère, couche supérieure conductrice de l'atmosphère, forment les deux parois, supposées parfaitement conductrices dans un premier temps, d'une cavité sphérique. Afin de simplifier la géométrie du problème, on «déplie» la cavité étudiée de façon à assimiler localement la surface terrestre à son plan tangent ( ). On utilisera la base ( ) des coordonnées cartésiennes, conformément au schéma de la figure 3. L'intérieur de la cavité ( ) est supposé vide de charges et de courants, ses propriétés électromagnétiques sont identiques à celles du vide.
I.B.1) Justifier qualitativement l'approximation d'une cavité «dépliée».
I.B.2) Expérimentalement, on observe que le bruit de fond électromagnétique atmosphérique, dû aux orages, présente des résonances pour les valeurs suivantes (à près) de la fréquence, appelées fréquences propres par la suite :
On envisage la propagation, dans l'atmosphère, d'une onde électromagnétique plane, progressive et monochromatique. La longueur d'onde , la pulsation , la fréquence et le module du vecteur d'onde de cette onde sont indexés par l'entier strictement positif. Le champ magnétique de cette onde se met sous la forme :

Définir chacun des termes : «onde électromagnétique», «plane», «progressive» et «monochromatique».

I.B.3) On note le champ électrique de l'onde étudiée. Écrire les équations de Maxwell vérifiées par et à l'intérieur de la cavité et établir l'équation aux dérivées partielles vérifiée par . En déduire la relation liant et .
I.B.4) L'approximation d'une cavité «dépliée» exige aussi que la circonférence terrestre soit égale à un multiple entier de la longeur d'onde . Interpréter cette relation. Calculer numériquement les fréquences propres pour les trois premières valeurs de et les comparer aux fréquences propres mesurées expérimentalement.
I.B.5) Déterminer l'expression du champ électrique de l'onde étudiée pour .
I.B.6) En réalité, l'onde peut se propager dans la cavité dans le sens des croissants comme dans le sens opposé.
a) Donner l'expression du champ magnétique en tout point identique à mais se propageant dans le sens opposé.
b) On considère désormais que l'onde dans la cavité résulte de la superposition des deux ondes précédentes qui se propagent dans des sens opposés. En déduire les expressions suivantes du champ magnétique résultant et du champ électrique résultant :

Caractériser aussi précisément que possible l'onde résultante.
I.B.7) Rappeler les relations de passage pour le champ électromagnétique aux deux interfaces en et en . En déduire l'existence de courants et de charges électriques à la surface terrestre et à la surface de l'ionosphère. Établir les expressions des densités surfaciques de courant correspondantes et .

Comme la Terre et l'ionosphère ne sont pas des conducteurs parfaits, l'énergie des ondes électromagnétiques présentes dans l'atmosphère est dissipée par effet Joule dans les parois de la cavité atmosphérique. L'amortissement correspondant peut être caractérisé par un facteur de qualité, que l'on propose d'évaluer de la même manière que pour le circuit RLC dans la partie I.A.
On définit une tranche de la cavité atmosphérique comme étant le volume compris entre et , entre et et entre et .
I.C.1) En utilisant les résultats de la questions I.B.6, établir l'expression de la valeur moyenne temporelle de l'énergie électromagnétique de l'onde ( ), stockée dans la tranche considérée.
I.C.2) Les conductivités électriques respectives de la Terre et de l'ionosphère sont notées et . Pour calculer l'énergie dissipée par effet Joule, on modélise les courants circulant dans la Terre par une densité volumique de courant énergétiquement équivalente et circulant seulement sur une épaisseur , appelée «épaisseur de peau », à la surface de la Terre :

avec et où est la densité surfacique de courant déterminée à la question I.B.7.
a) Contrôler que est bien homogène à une longueur.
b) Rappeler l'expression de la puissance volumique dissipée par effet Joule en fonction de et de dans un conducteur ohmique de conductivité parcouru par des courants électriques de densité volumique .
c) En déduire l'expression de l'énergie dissipée par effet Joule dans la Terre, pendant une période , entre et et . Exprimer le résultat en fonction de et .
d) Sans calculs supplémentaires, donner l'expression de l'énergie dissipée par effet Joule dans l'ionosphère, pendant une période , entre et et . On fera intervenir la profondeur de peau dans l'ionosphère .
e) Exprimer l'énergie totale dissipée par effet Joule, pendant une période, dans les parois de la tranche considérée.
I.C.3) Définir le facteur de qualité de la cavité atmosphérique pour l'onde étudiée par une relation similaire à celle établie à la question I.A.4. Exprimer en fonction de et . Donner la valeur numérique de pour les deux premières valeurs de . Que pensez-vous de la précision de la méthode perturbative utilisée?
I.C.4) Déduire de la valeur de une estimation numérique de la durée caractéristique d'amortissement de l'onde pour . La comparer à la durée moyenne entre deux impacts de foudre sur la Terre, qui est de l'ordre de s.

La densité de l'air atmosphérique décroît fortement avec l'altitude, ce qui fait que l'essentiel de la masse de l'atmosphère est concentrée dans la troposphère. Dans les questions suivantes, nous étudierons uniquement cette région qui s'étend jusqu'à une dizaine de kilomètres d'altitude. Le champ de pesanteur terrestre y est supposé uniforme : où le vecteur unitaire est orienté selon la verticale ascendante. L'altitude correspond à la surface des mers et océans. L'étude est menée dans le référentiel terrestre, supposé galiléen.
Données :

On s'intéresse à l'équilibre hydrostatique de l'air dans l'atmosphère terrestre. Les valeurs de référence pour la température et la pression seront prises en à et .
II.A.1) On note la masse volumique de l'air.
a) En considérant les deux principaux constituants de l'air, justifier la valeur de .

Montrer que l'équation d'état des gaz parfaits s'écrit , où et sont la pression et la température absolue du gaz et est une constante qui dépend du gaz. Calculer cette constante en unités SI.
b) Écrire l'équilibre d'un volume infinitésimal d'atmosphère situé entre les altitudes et . En déduire que le gradient vertical de pression vaut .
II.A.2) Le modèle le plus simple d'atmosphère (atmosphère isotherme) consiste à supposer que la température est constante et égale à . En déduire . Définir une longueur caractéristique des variations de la pression et la calculer à 300 K . Donner aussi l'expression de .

On propose maintenant d'étudier la stabilité de l'atmosphère isotherme vis-à-vis des mouvements verticaux de l'air. On considère une parcelle d'air en équilibre mécanique et thermique à l'altitude . Cette parcelle d'air constitue un système fermé. Sa masse, son volume, sa pression, sa température et sa masse volumique sont notées respectivement et . On envisage un mouvement vertical de cette parcelle d'air qui la fait passer de l'altitude à l'altitude , avec . On fait l'hypothèse que la pression de la parcelle d'air reste égale à la pression environnante à toute altitude et que, vu la faible conductivité thermique de l'air, l'évolution considérée est adiabatique et réversible. Tous les calculs seront limités au premier ordre en .
II.B.1) Rappeler, pour un gaz parfait, les capacités thermiques molaires à volume constant et à pression constante , en fonction de leur rapport et de . En déduire l'expression de la capacité thermique massique de l'air à pression constante en fonction de et . Faire l'application numérique.
II.B.2) Traduire l'hypothèse d'équilibre thermique et mécanique de la parcelle d'air à l'altitude , en considérant ses paramètres intensifs.
II.B.3) Exprimer la variation de pression de la parcelle d'air lors de son déplacement vertical, en fonction de et . Exprimer aussi la variation de masse volumique de l'air environnant en fonction de , et .
II.B.4) Établir la relation liant la variation de volume de la parcelle d'air à et . En déduire l'expression de en fonction de et .
II.B.5) Donner l'expression de la poussée d'Archimède qui s'exerce sur la parcelle d'air à l'altitude (au premier ordre en ), puis l'expression de la résultante des forces.
II.B.6) Écrire l'équation du mouvement vertical de la parcelle d'air et montrer que vérifie l'équation différentielle suivante :

où l'on exprimera en fonction de et . Quelle est la dimension de ? Calculer la valeur numérique de .
L'atmosphère isotherme peut-elle être considérée comme stable? Le modèle de l'atmosphère isotherme vous semble-t-il réaliste?

Lorsque l'équilibre hydrostatique est rompu, les mouvements verticaux des masses d'air donnent naissance aux perturbations atmosphériques. Sous certaines conditions, certaines perturbations peuvent dégénérer en cyclones. Du point de vue thermodynamique, un cyclone peut être modélisé comme un moteur thermique, fonctionnant de façon cyclique, entre deux sources idéales : l'océan (source chaude de température ) et la haute troposphère (source froide de température ).
La figure 4 montre un cyclone tropical en coupe et illustre la circulation radiale cyclique des masses d'air en son sein. Les différents points du cycle sont définis sur la figure.

On note la norme de la vitesse d'écoulement de l'air en un point du cycle. L'altitude d'un point est notée . Toutes les transformations envisagées sont supposées réversibles.
II.C.1) On considère un système ouvert avec une entrée et une sortie. Rappler, sans démonstration, la formulation du premier principe de la thermodynamique adaptée à l'étude d'un écoulement permanent à travers ce système. On précisera ce qu'on appelle travail «utile» (ou «indiqué»), qui sera noté dans la suite.

De à , une parcelle d'air, constituée initialement d'une masse d'air se charge d'une masse d'eau au contact de l'océan. Le système masse d'air + masse d'eau est appelé dans la suite. Son évolution de à se fait à la température constante . Suite à son interaction avec l'océan, ( ) reçoit le transfert thermique et le travail utile .
Dans toute la suite du problème, on assimilera la phase gazeuse du système à un gaz parfait de masse et de mêmes caractéristiques thermodynamiques que l'air.
a) Donner l'expression des variations d'enthalpie et d'entropie de la masse d'air au cours de cette étape. On fera intervenir les pressions et aux points et .
b) Donner l'expression des variations d'enthalpie et d'entropie de la masse d'eau totalement vaporisée à la température au cours de cette étape.
c) Par application du second principe de la thermodynamique, déterminer l'expression du transfert thermique en fonction de et .
d) Par application du bilan énergétique de la question II.C.1, déterminer l'expression du travail utile en fonction de et des vitesses d'écoulement et .
e) On suppose . Simplifier l'expression de en conséquence.

Lors de la seconde étape, l'évolution du système est globalement adiabatique et se fait sans travail utile. La masse s'élève vers la haute troposphère; au point , sa température est égale à . La masse d'eau se liquéfie et retombe dans l'océan; son état thermodynamique reste invariant dans les étapes suivantes du cycle.
a) En utilisant le bilan du II.C.1, donner l'expression littérale de la variation d'altitude en fonction de et .
b) On suppose que . En déduire une expression simplifiée de .

Entre les points et , la masse évolue de façon isotherme à la température . Au cours de cette évolution, le système ( ) reçoit un travail utile et un transfert thermique .
a) La haute troposphère est supposée en équilibre hydrostatique isotherme à la température . En déduire l'expression de , où et désignent respectivement la pression en et en , en fonction de , et . On pourra s'aider des résultats du II.A.2.
b) Montrer, en utilisant le second principe de la thermodynamique, que .
c) Montrer ensuite que .

Comme et , on considère pour la suite que . Lors de la quatrième étape, de à , la masse d'air redescend vers la surface des océans dans une transformation adiabatique et sans travail utile.

a) On note , le travail utile total reçu par ( ) au cours d'un cycle. Montrer que , où s'exprime simplement en fonction de et . Interpréter cette relation. Expliquer pourquoi le cyclone «s'épuise» lorsqu'il se trouve au-dessus du continent.
b) Établir la relation : .

Pour le cyclone Katrina, le 28 août 2005 , on a mesuré et des vents soufflant jusqu'à . On donne par ailleurs et .
a) Donner une estimation numérique de et de . Que pensez-vous des résultats obtenus?
b) Calculer numériquement . Sachant que le gradient vertical de température dans la haute troposphère est en réalité de , évaluer la variation de température entre les points et . Est-il raisonnable de supposer que la troisième étape du cycle est isotherme?
c) Justifier que la puissance mécanique utile développée par le cyclone s'écrit :

où est le débit massique d'air. On estime que, pour un cyclone comme Katrina, est de l'ordre de . En déduire la valeur numérique du débit massique d'air correspondante. Quelle est l'ordre de grandeur de la masse d'eau prélevée dans l'océan par unité de temps? Commenter.