Centrale Physique 2 PC 2006

Ce problème étudie différentes manières de réaliser un variomètre, instrument de mesure de la vitesse verticale d'un engin volant. Cet appareil est indispensable aux pilotes des aéronefs sans moteur (planeurs, deltaplanes et parapentes) puisqu'il leur sert à détecter les courants d'air ascendants qui permettent à ces aéronefs de se maintenir en l'air ou de gagner de l'altitude.
Dans tout le problème les écoulements seront supposés isothermes et les gaz parfaits. Les différentes parties de ce problème sont largement indépendantes.

On pourra utiliser les formules suivantes, en coordonnées cylindriques :
étant un champ scalaire et
un champ vectoriel, on a :

On donne de plus l'identité :

et la décomposition en série de Fourier d'une fonction créneau impaire de période et d'amplitude crête à crête :

I.A.1) L'aéronef évolue dans une atmosphère supposée isotherme de température . On considère l'axe vertical ascendant et on suppose le champ de pesanteur uniforme de norme , soit: .
Dans les conditions de l'équilibre isotherme de l'atmosphère terrestre, établir l'expression de la pression qui règne à l'altitude en fonction de la pression qui règne au sol, de l'intensité du champ de pesanteur terrestre, de la masse molaire moyenne de l'air et de la constante des gaz parfaits. On suppose le référentiel terrestre galiléen.
I.A.2) L'aéronef n'évolue en fait que dans une zone d'altitude restreinte au voisinage de . Linéariser l'expression précédente (en posant par exemple avec ), c'est-à-dire mettre sous la forme

Exprimer et en fonction de et .
Calculer numériquement et avec

Dans la suite du problème on utilisera les valeurs approchées : et .

La plupart des variomètres utilisent un tube «capillaire» à l'intérieur duquel s'écoule l'air atmosphérique (l'appellation «capillaire» tient aux dimensions du tube, mais n'entraîne aucunement la prise en compte des effets de capillarité). On va établir ici quelques résultats utiles dans toute la suite du problème. On
considère un tube cylindrique de rayon , d'axe et de longueur à travers lequel s'écoule un fluide de masse volumique et de viscosité . L'écoulement est stationnaire et incompressible. On suppose que la pression à l'entrée du tube est supérieure à la pression à la sortie du tube et on note la différence . On admet que la densité volumique de forces de viscosité s'écrit et que les forces de pesanteur sont négligeables.
I.B.1) On suppose que l'écoulement est laminaire et à symétrie cylindrique ce qui conduit à chercher le champ des vitesses en coordonnées cylindriques sous la forme: et le champ des pressions sous la forme . Montrer que ne dépend en fait que de la variable .
I.B.2)
a) En appliquant l'équation d'Euler, établir les relations :

b) Justifier que varie linéairement avec .
c) On suppose que la vitesse est définie en tout point du tube. Donner la condition aux limites en . En déduire l'expression de cette vitesse en fonction de et , avec .
I.B.3) Montrer que le débit volumique peut se mettre sous la forme où est une constante que l'on exprimera en fonction de et . Calculer numériquement avec et . Dans toute la suite du problème on prendra .
I.B.4) À quelle condition l'écoulement est-il effectivement laminaire ? Exprimer cette condition en fonction de et . Quelle est la valeur maximale de qui respecte cette condition si ?

Un tel variomètre est constitué principalement d'un récipient de volume invariable mis en communication, par un tube capillaire identique à celui du I.B, avec l'atmosphère extérieure où règne la pression (cf. I.A.2). La pression à l'intérieur du récipient est notée (voir figure 1).

II.A.1) Que vaut la différence de pression quand l'aéronef qui porte le variomètre évolue horizontalement à l'altitude ?
II.A.2) On suppose maintenant que l'aéronef possède en permanence une vitesse verticale constante , non nulle. On admet que les écarts de pression et d'altitude restent suffisamment faibles pour que la masse volumique de l'air dans le tube puisse s'écrire

On appelle le nombre de moles d'air contenues dans le récipient de volume . Trouver l'équation différentielle reliant à , débit volumique sortant du récipient. Sachant que la différence de pression est indépendante du temps, déterminer son expression en fonction de et des constantes et définies dans le préliminaire. Ce variomètre permet-il effectivement la mesure de ?

Afin de mesurer la différence de pression précédente on relie le récipient de volume à une capsule manométrique modélisée par un cylindre de très faible volume (pour plus de clarté

cette condition n'est pas respectée sur la figure 2). À l'intérieur du cylindre est placé un piston de masse , de section , mobile en translation selon l'axe des , rappelé vers sa position d'équilibre ( , en l'absence de force de pression) par un ressort de constante de raideur . Le piston est soumis à une force de frottement de type fluide et est relié à une aiguille qui se déplace devant un cadran gradué sur lequel on peut lire la vitesse verticale.
II.B.1) Donner l'équation différentielle reliant la pression à l'altitude .
On admettra que les résultats du I.B restent valables même si le régime n'est plus stationnaire.
II.B.2) Dans le cas où l'aéronef, un planeur en vol horizontal à pour , pénètre à l'instant dans un courant ascendant qui lui communique une vitesse verticale constante, montrer que la pression est liée à l'altitude par la relation :

Déterminer la constante de temps en fonction de et . Exprimer . Donner la valeur numérique de et conclure.
II.B.3)
a) Écrire l'équation différentielle reliant le déplacement du piston à la différence de pression .
b) Déterminer l'équation différentielle à laquelle obéit quand l'évolution du planeur est celle décrite au II.B.2.
II.B.4) Une solution particulière de cette équation différentielle est :

a) En déduire l'expression de à deux constantes près quand l'évolution du planeur est celle du II.B.2, si on suppose dans un premier temps que .
b) Quelles sont les relations qui permettent de calculer ces constantes?
c) Donner l'allure de la courbe ainsi que la valeur numérique de la limite de quand tend vers l'infini si et .
d) Est-il légitime de supposer le volume du variomètre constant?
II.B.5) Le choix de est-il judicieux? Quelle valeur de serait-il préférable d'adopter?
Pour obtenir cette valeur, on choisit tout d'abord de ne modifier que la masse . Calculer la valeur qui satisfait la condition. Commenter.
Reprendre cette étude en ne modifiant que la constante de raideur . La nouvelle valeur est-elle acceptable?
Terminer en étudiant une modification du coefficient de frottement .
Sur quel paramètre vaut-il mieux agir pour obtenir le résultat souhaité ? Quelle serait alors l'allure de la courbe ?
II.B.6) Afin de tester le variomètre on le soumet, en laboratoire, à une pression extérieure variant sinusoïdalement autour de selon , simulant une oscillation sinusoïdale de pulsation de l'altitude de l'aéronef au voisinage de l'altitude soit . On pose et on associe à et à les variables complexes et .
On définit la fonction de transfert harmonique

a) Calculer cette fonction de transfert et la mettre sous la forme :

où et sont des constantes réelles que l'on exprimera en fonction de et .
b) La courbe de gain

et la courbe de phase du diagramme de Bode sont représentées ci-contre, avec les valeurs numériques du II.B.4. Commenter. En déduire dans quel domaine de fréquence il faut opérer pour que le variomètre fonctionne correctement. Que peut-on en penser?

Cette technologie est généralement utilisée pour des variomètres de faible taille où les déplacements du piston sont plus réduits que dans la partie II. Les déplacements du piston sont transmis à un système de condensateurs différentiels.

Ces condensateurs permettent, à l'aide d'une électronique adaptée, de déterminer le déplacement du piston qui, sous certaines conditions est une image de la vitesse verticale de l'aéronef. On supposera dans toute cette partie que ces conditions sont vérifiées. On a donc où est une constante positive. Le capteur à capacités différentielles comporte quatre condensateurs , et assimilables à des condensateurs plans. On négligera les effets de bord.
Au repos, défini par la position , les armatures des condensateurs sont toutes distantes de . Elles ont une surface en regard et baignent dans un liquide diélectrique de permittivité . Dans toute cette partie, on supposera « .

On rappelle que, si l'on néglige les effets de bord, la capacité d'un condensateur plan est donnée par , où est la surface des armatures en regard et la distance séparant ces armatures.

III.A.1) En négligeant les effets de bord, déterminer les expressions des capacités variables : et en fonction de et .
III.A.2) Application numérique :
.
Déterminer la valeur commune des capacités lorsque .

Dans toute cette partie, on supposera les amplificateurs opérationnels ( ) idéaux, fonctionnant en régime linéaire.
III.B.1) On considère le quadripôle figure 5.
a) Préciser le modèle de l'amplificateur idéal en régime linéaire. Déterminer la fonction de transfert en fonction de et quand l' fonctionne en régime linéaire. Préciser les limitations pratiques que l'on peut rencontrer.
b) Tracer la caractéristique , c'est-à-dire le graphe représentant en ordonnée en fonction de en abscisse.
III.B.2) Étude du filtre de Wien ci-contre (figure 6).
a) Déterminer la fonction de transfert

Préciser les paramètres caractéristiques du filtre (gain maximum, facteur de qualité, pulsation particulière).

b) Tracer le diagramme de Bode (gain et phase) associé à . On fera apparaître sur chacun des graphes le tracé asymptotique et le tracé réel. Quelle est la fonction de ce quadripôle?
III.B.3)
a) On couple le filtre de Wien avec le montage amplificateur du III.B. 1 figure 5. On ne tient aucun compte de la réponse fréquentielle de l'amplificateur et on suppose le régime linéaire toujours établi. À partir des expressions et , montrer qu'il peut théoriquement exister un signal sinusoïdal sans générateur basse fréquence pour une valeur et une fréquence particulière à déterminer.
b) En utilisant la relation imposée par l'amplificateur et l'équation différentielle du

filtre de Wien, établir l'équation différentielle vérifiée par . Montrer qu'il peut exister un signal sinusoïdal sans générateur B.F. Retrouver les conditions du III.B.3-a. Calculer numériquement si et . Peut-on légitimement ignorer la réponse fréquentielle de l' ?
c) En pratique, on ne sait pas réaliser exactement la condition . À partir de l'équation différentielle précédente, montrer qu'une condition d'apparition des oscillations est ( entier à définir). Si on choisit , les valeurs disponibles dans les catalogues étant , , quelle valeur doit-on prendre pour ?
d) Si l'on fait varier la valeur de à l'aide d'un potentiomètre on constate que le signal de sortie évolue entre une sinusoïdale légèrement écrêtée et un signal carré. En déduire un encadrement de l'amplitude maximale du signal en ne gardant que le terme fondamental du développement en série de Fourier. On
justifiera cette approximation. Faire l'application numérique si la tension de saturation de l' vaut 13 V .
III.B.4) Amélioration du montage. On donne la caractéristique d'une diode Zener idéale (voir figure 8 ci-contre).
Pour améliorer le comportement du montage, on remplace la résistance par le dipôle suivant, qui comporte deux résistances et deux diodes

Zener tête bêche.

a) Tracer la caractéristique du dipôle , c'est-à-dire le graphe représentant la tension en ordonnée en fonction du courant en abscisse. Préciser en fonction de et les différentes pentes et les coordonnées des points particuliers de cette caractéristique.
b) En quoi l'introduction du dipôle améliore la qualité de l'oscillateur?

Le capteur complet se compose du système de condensateurs et , de capacité et du système de condensateurs et de capacité . Ces condensateurs sont utilisés dans deux oscillateurs sinusoïdaux à pont de Wien qui oscillent respectivement aux pulsations et . Soit le signal issu du premier oscillateur et le signal issu du second oscillateur. Ces signaux sont traités par un montage électronique comportant un multiplieur qui fournit la tension et une cellule de filtrage , avec une constante multiplicative. La tension aux bornes du condensateur de la cellule est alors analysée par un fréquencemètre qui délivre une tension continue proportionnelle à la fréquence de . On posera .
Comment faut-il choisir le produit pour obtenir une tension proportionnelle à ?

Déterminer alors la relation entre et la vitesse verticale de l'aéronef.