Centrale Physique 2 PC 2016

L'actuelle définition de l'unité de température, le kelvin, est fondée sur la valeur du point triple de l'eau, fixé à la température .

Pour s'abstraire de la référence à une substance particulière, en l'occurrence l'eau, il serait préférable de relier la définition de l'unité de température à des constantes fondamentales. Ainsi, dans la future définition du système international d'unités, il est envisagé de fixer une valeur numérique exacte de la constante de Boltzmann . Le kelvin serait alors défini par

Le symbole désigne les chiffres qui entreront dans le choix de et qui seront fixés par l'incertitude atteinte dans plusieurs expériences en cours de développement. Par conséquent, la mesure d'une température ne portera plus sur seul, mais sur le produit , lui-même relié au mètre, à la seconde et au kilogramme. Pour que le choix de la valeur exacte de soit pertinent, il est essentiel que les mesures actuelles de soient réalisées à l'aide d'expériences faisant appel à des lois physiques différentes. Ce problème étudie plusieurs méthodes de mesure de cette constante.
La constante des gaz parfaits est liée à la constante de Boltzmann et à la constante d'Avogadro par 。
Les différentes parties de ce problème sont indépendantes. Une liste de données utiles et un formulaire figurent en fin d'énoncé.

I.A.1) On décrit le champ de pression d'une atmosphère isotherme de température dans un champ de pesanteur uniforme . Le modèle de fluide est celui du gaz parfait ; la masse molaire du gaz est . À l'altitude nulle , la pression est , la densité volumique de molécules est .
a) Établir, à partir de l'équilibre d'un domaine d'atmosphère, l'expression de la pression .
b) En déduire l'expression de la densité volumique en fonction de l'altitude, où est la masse d'une molécule. Que représente le terme pour une molécule ?
I.A.2) Déduire de la loi précédente une hauteur caractéristique de l'atmosphère, en fonction de et . Quelle vitesse atteindrait une molécule en chute libre tombant de la hauteur sans vitesse initiale ? Comparer à la vitesse quadratique moyenne donnée par de cette molécule dans un gaz à la température .
I.A.3) Les molécules de l'atmosphère gardent une agitation incessante. Pourtant, l'expérience de la vie courante montre qu'une balle qu'on lance finit par s'immobiliser, après éventuellement quelques rebonds.
Y a-t-il vraiment immobilisation absolue de la balle ?

I.B.1) Dans un métal à la température , les électrons libres forment un gaz circulant dans le réseau cristallin des cations. Peut-on utiliser la physique non relativiste pour décrire les électrons libres à température ambiante ?

L'agitation thermique des électrons libres est responsable de fluctuations de l'intensité électrique traversant un circuit, appelées bruit thermique. Ainsi, même en l'absence de générateur, il apparaît dans un circuit fermé comportant une résistance, à toute température non nulle, une intensité et une tension fluctuantes. Il s'agit ici d'établir l'expression, appelée formule de Nyquist, de la valeur efficace de cette tension d'origine thermique.
I.B.2) Soit le circuit formé d'un condensateur de capacité et d'une bobine idéale d'inductance (figure 2).

Établir deux relations indépendantes entre les grandeurs temporelles et leurs dérivées.
I.B.3) Pour étudier les fluctuations de tension et d'intensité liées au bruit thermique d'une résistance, on place à la suite de celle-ci une ligne électrique bifilaire constituée de deux fils parallèles. Cette ligne est repérée par l'axe . On considère dans cette question une portion de ligne de longueur infinitésimale et on note respectivement et les inductance et capacité linéiques de cette ligne (figure 3 ).

a) Établir deux équations aux dérivées partielles indépendantes reliant les fonctions et et .
b) En déduire l'équation de propagation pour la seule fonction . Donner l'expression de la célérité des ondes en fonction de et .
c) Soient et les solutions harmoniques en notation complexe. Établir l'équation de dispersion de la ligne. On appelle résistance caractéristique de la ligne le rapport . Exprimer et en fonction de la célérité et de .
I.B.4) La ligne précédente a pour longueur . Elle est fermée à ses deux extrémités par un court-circuit (figure 4) après avoir été alimentée par un générateur de tension.

a) On cherche les solutions pouvant exister sur la ligne fermée sous forme de modes propres

Établir l'équation différentielle régissant .

Montrer, en précisant les conditions aux limites, que les solutions s'écrivent

où est proportionnel à un entier appelé l'ordre du mode et une constante quelconque. En déduire les pulsations des modes propres en fonction de et .
b) Dans un intervalle de fréquence de largeur , quel est le nombre de modes propres ? On supposera que est suffisamment grand pour que soit grand devant .
c) Soit le mode propre d'ordre d'amplitude . Quelle est l'expression de l'intensité du mode d'ordre , en fonction de et ? On prendra l'intensité nulle pour .

a) Donner l'expression de l'énergie de emmagasinée dans le tronçon de ligne entre les abscisses et pour le mode d'ordre , en fonction de et . Exprimer sa moyenne temporelle . Commenter.
b) En déduire l'énergie moyenne du mode d'ordre dans la ligne entière en fonction de et .
I.B.6) Les modes propres sont générés par l'agitation thermique dans la résistance branchée à l'entrée de la ligne, qui est ensuite remplacée instantanément par un court-circuit. Le transfert d'énergie entre la résistance et la ligne est réalisé lorsque la résistance caractéristique de la ligne est égale à la résistance . Dans ce cas, on montre qu'en moyenne, l'énergie du mode d'ordre est .
a) En déduire l'expression du carré de la valeur efficace de la tension du mode d'ordre au point , en fonction de et . Montrer que où est une constante, appelée valeur efficace du mode , qu'on déterminera.
b) Les carrés des valeurs efficaces des différents modes s'ajoutent. En déduire que la valeur efficace correspondant aux modes dont les fréquences sont comprises dans l'intervalle de fréquence de largeur est donnée par la formule de Nyquist

I.B.7) Les modes propres générés par la résistance sont mesurés par une chaîne électronique schématisée ci-dessous (figure 5).

On trace (figure 6) la valeur efficace mesurée par le voltmètre en fonction de la résistance pour deux valeurs de la bande passante , pour et .

a) Montrer que ces courbes sont compatibles avec la formule de Nyquist. En déduire un ordre de grandeur de la constante de Boltzmann.
b) Pourquoi faut-il protéger le montage expérimental par une enceinte métallique ?

Une mesure précise nécessite plusieurs jours d'acquisition. Quels sont alors les facteurs qui peuvent en limiter la précision?

La méthode consiste à mesurer la vitesse des ondes acoustiques dans un gaz, l'argon, en utilisant un résonateur sphérique de rayon . Ces mesures sont effectuées à la température du point triple de l'eau, pour des pressions statiques allant de 0,5 à 7 bar.

On considère une onde acoustique plane, se propageant selon l'axe cartésien . Cette onde est décrite par le champ de surpression , le champ eulérien des vitesses et le champ de masse volumique . Le milieu de propagation est un fluide caractérisé par sa masse volumique statique , sa pression statique et sa compressibilité isentropique .
II.A.1) À la température , quel est l'ordre de grandeur de la pression en dessous de laquelle un gaz réel peut être décrit par le modèle du gaz parfait ? On considèrera que les interactions intermoléculaires ont une portée de l'ordre de 5 nm et qu'un gaz est parfait si les distances moyennes entre molécules sont supérieures à la portée de l'interaction.

a) Établir, dans le cadre de l'approximation acoustique, l'équation de d'Alembert vérifiée par la surpression . En déduire l'expression de la célérité des ondes acoustiques en fonction de et .
b) Exprimer la compressibilité isotherme d'un gaz parfait.

On montre que , où est le coefficient de Laplace. En déduire que

où est la masse molaire du gaz et la température absolue.
c) Pour un gaz réel, la célérité des ondes acoustiques est donnée, au premier ordre par rapport à la pression , par

où pour l'argon.
Pour quelles valeurs de la pression la célérité des ondes acoustiques dans l'argon ne s'écarte-t-elle pas de celle d'un gaz parfait de plus de en valeur relative?
II.A.3) L'incertitude relative sur doit être au plus égale à . Le tableau ci-dessous donne les valeurs et incertitudes relatives de diverses grandeurs, dont la masse molaire de l'argon ( ) et son coefficient de Laplace ( ).

0

Déterminer l'expression de l'incertitude relative en fonction des incertitudes relatives des autres grandeurs. Quelle est la valeur maximale admissible de l'incertitude relative de la célérité des ondes acoustiques dans l'argon à la température ?

En raison de la forme du résonateur, on étudie les ondes sonores qui possèdent la symétrie sphérique. En particulier, le champ de surpression s'écrit et le champ des vitesses où est la coordonnée sphérique radiale et le vecteur unitaire associé.

a) Montrer qu'on peut définir un potentiel des vitesses . Relier une dérivée partielle du potentiel au champ de surpression et à la masse volumique , en considérant le potentiel identiquement nul si quel que soit le temps .
b) La surpression obéit à l'équation de d'Alembert généralisée

Montrer que le potentiel des vitesses vérifie la même équation.
On cherche des solutions de la forme , appelées modes propres radiaux.
II.B.2) Les ondes sont confinées dans le résonateur (de rayon ).

Quelle en est la conséquence sur l'ensemble des pulsations admissibles?
Les parois du résonateur sont supposées ici indéformables. En déduire une condition aux limites que l'on exprimera sur ou ses dérivées.
II.B.3) Le vecteur densité de courant énergétique est défini par .

Exprimer en fonction de et .
Interpréter la valeur moyenne .
II.B.4) Montrer que la fonction vérifie une équation classique dont on donnera les solutions, en posant .
L'amplitude des ondes doit être définie en tout point du volume du résonateur ; en déduire l'expression du potentiel à une constante multiplicative près.
II.B.5) Donner l'expression de la fréquence de résonance des modes propres radiaux en fonction de la vitesse du son , du rayon du résonateur et de la -ième racine non nulle d'une fonction à préciser.
II.B.6) La précision exigée sur la valeur nécessite des incertitudes sur la mesure du rayon du résonateur et de la fréquence des modes suffisamment faibles. Les valeurs de ces grandeurs et leurs incertitudes relatives sont tabulées ci-dessous.

En déduire la valeur de la célérité et l'incertitude relative . L'incertitude est-elle acceptable?
II.B.7) Calculer la valeur de la constante de Boltzmann déterminée par cette mesure, ainsi que son incertitude relative et son incertitude absolue . Combien de chiffres significatifs peut-on fixer par cette mesure?

La mesure de est réalisée ici par une expérience de spectroscopie laser où une vapeur moléculaire, à l'équilibre thermodynamique, contenue dans une cellule, est en interaction avec une onde laser progressive de fréquence réglable. On enregistre le profil d'absorption autour d'une fréquence de résonance (figure 7).

La raie d'absorption moléculaire est élargie par effet Doppler-Fizeau en raison de l'agitation thermique des molécules. La mesure de cette largeur permet d'en déduire une valeur de . La molécule choisie est l'ammoniac .

La molécule d'ammoniac se présente sous la forme d'une pyramide symétrique, l'atome d'azote étant à son sommet. Les trois atomes d'hydrogène définissent le plan de référence. La position de l'atome d'azote est repérée par l'abscisse telle que soit la distance de l'atome au plan de référence (figure 8).

III.A.1) Interpréter la forme, la symétrie et les points particuliers de la courbe d'énergie potentielle .

La molécule d'ammoniac peut se trouver dans deux états de conformation, selon que l'atome se trouve du coté (conformation D , figure 9 ) ou du coté (conformation G ). Les deux états sont séparés par une barrière de potentiel . On appelle inversion le passage d'une conformation à l'autre, lorsque l'atome d'azote traverse la barrière d'énergie due aux trois atomes d'hydrogène.

III.A.2) L'énergie est-elle suffisante pour que la molécule puisse s'inverser si la température est celle du point triple de l'eau ?
À partir de quelle température cette inversion peut-elle s'effectuer? Commenter.

On se propose de montrer que l'inversion de la molécule d'ammoniac est possible du point de vue quantique, indépendamment de la température. La fonction d'onde décrivant le mouvement relatif de l'atome d'azote et des trois atomes d'hydrogène est notée ; elle vérifie l'équation de Schrödinger

où est la masse réduite du système composé de l'atome d'azote et des trois atomes d'hydrogène (on prendra ).
III.B.1) On s'intéresse aux états stationnaires d'énergie et on pose .

Montrer que vérifie l'équation III. 1

On considère dans un premier temps un modèle de potentiel à double puits infini symétrique rectangulaire (figure 10).

Les fonctions d'onde localisées dans le puits sont notées , celles localisées dans le puits . Les fonctions associées sont notées respectivement et .

a) Que veut dire qu'une fonction d'onde est localisée sur un domaine?
b) Pourquoi doit-on considérer les fonctions d'onde identiquement nulles pour et ?

Quelles sont les conditions aux limites de et ?
c) Donner, sous forme intégrale, sans les calculer, les conditions de normalisation pour et .

a) Résoudre l'équation III. 1 pour le potentiel dans l'intervalle correspondant au puits . On donnera les solutions normalisées indicées par un entier et les énergies associées.
b) Quelles sont, sans calculs, les solutions et les énergies ?
c) Soit une molécule d'ammoniac dans un état décrit par d'énergie à un instant donné. Quelle est la probabilité de trouver l'atome d'azote dans l'intervalle à l'instant ? Conclure.

On modélise cette fois le profil d'énergie potentielle par un double puits infini rectangulaire à saut fini, (figure 11).

On donne . On considère .
III.B.4) Justifier que dans le domaine , la solution de l'équation III. 1 s'écrit

où une constante que l'on ne cherchera pas à exprimer. En déduire une forme de solution dans le domaine .
III.B.5) Dans le domaine , les solutions de l'équation III. 1 s'écrivent

où et sont des constantes.
a) Exprimer en fonction de et .
b) Quelles conditions doivent être vérifiées par la fonction d'onde en tout point où le potentiel est borné ? En déduire deux relations entre et .
À partir de ces relations qui relient à , il est possible de déterminer l'énergie de l'état stationnaire , selon qu'il est symétrique (ou pair en , ce qui conduit à ) ou antisymétrique (ou impair en , donc ).
III.B.6) La première solution symétrique d'énergie et la première solution antisymétrique, impaire en d'énergie sont représentées figure 12. Dans le cas où les énergies de ces deux états sont très petites devant , leur différence est

À l'instant , la molécule d'ammoniac est dans une conformation G (figure 13), décrite par la fonction d'onde

a) Écrire l'expression de la fonction d'onde de la molécule d'ammoniac à un instant quelconque, en fonction de , des énergies et et de .
b) Pourquoi deux fonctions d'onde et telles que , où est un nombre complexe de module 1, décrivent-elles le même état physique?
c) En déduire que la fonction d'onde décrit une évolution périodique de l'état de la molécule d'ammoniac, dont on exprimera la période en fonction de et de . Calculer la fréquence correspondante si . Dans quel domaine spectral se situe une onde électromagnétique de fréquence ?
C'est sur cette transition que fonctionna le premier maser construit par C. Townes, J. Gordon et H. Ziegler en 1954.
d) Décrire l'état de la molécule d'ammoniac à l'instant . En quoi ce changement d'état entre les instants et permet-il d'illustrer l'effet tunnel?
e) Quelle est l'influence de la barrière de potentiel et de la largeur sur la fréquence d'oscillation ? Pour l'arsine, de formule , de même structure que , la hauteur de la barrière de potentiel est multipliée par six et sa largeur par cinq. Calculer la fréquence d'inversion de l'arsine ainsi que la période . Commenter.

Un faisceau lumineux monochromatique, dont le champ électrique est donné par en notation complexe, traverse, dans le sens des croissants, un milieu matériel homogène localement neutre, dont la conductivité électrique est . La célérité de la lumière dans le vide est notée .
III.C.1) Quelle est l'équation de propagation du champ électrique dans le milieu ? En déduire la relation de dispersion en fonction de et .

a) On note où et sont respectivement les parties réelle et imaginaire de . Montrer, sans chercher à expliciter , que . Que cela signifie-t-il pour l'onde?
L'onde traverse une cuve de longueur contenant le milieu puis se propage à nouveau dans le vide. On admet que les coefficients de transmission en amplitude sont égaux à 1 , en entrée et en sortie de cuve.
b) Rappeler la relation liant l'intensité de l'onde électromagnétique et le vecteur de Poynting . Montrer que l'intensité de l'onde après la cuve s'exprime en fonction de l'intensité avant la cuve selon la loi . Donner l'expression de en fonction de .
III.C.3) La transition choisie pour la mesure de l'absorption lumineuse est une raie de l'ammoniac de fréquence , fortement absorbante et située dans un domaine d'émission d'un laser à . Le spectre d'absorption représente l'intensité lumineuse ayant traversé le milieu, en fonction de la fréquence du rayonnement (figure 14).
a) Quelle longueur d'onde est associée à un rayonnement électromagnétique de fréquence ? À quel domaine électromagnétique appartient cette raie ? Exprimer, en eV , l'énergie d'un photon de cette fréquence.
b) Cette absorption correspond, pour la molécule d'ammoniac, à la transition entre deux états d'énergie et . Le niveau est supposé parfaitement défini alors que le niveau présente une largeur (figure 14). En quoi cette largeur explique-t-elle le spectre d'absorption? Estimer la valeur de la largeur dite naturelle pour .

Le faisceau laser traversant le milieu absorbant possède la fréquence dans le référentiel du laboratoire. En raison du mouvement des molécules d'ammoniac, la fréquence perçue par ces molécules n'est plus mais une fréquence dépendant de leur vitesse. Soient le référentiel du laboratoire, l'abscisse d'un point donné selon un axe ( ) lié à le référentiel lié à une molécule, en translation rectiligne uniforme de vitesse par rapport à , et l'abscisse de selon l'axe ( ) telle que coïncide avec à l'instant (figure 15).

La phase d'une onde est un invariant par changement de référentiel : elle possède la même valeur en un point et à un instant donnés pour deux observateurs placés dans deux référentiels différents.
a) Pour une onde monochromatique de fréquence , de célérité , se propageant dans le sens de dans le référentiel , écrire l'expression de la phase instantanée en fonction de et .
b) Établir l'expression de en fonction de , et dans le cadre de la mécanique newtonienne (si ). En déduire que, si , la fréquence de l'onde perçue par un observateur placé dans le référentiel est donnée par

Donner un exemple d'application de cet effet.
c) Le spectre d'absorption de la figure 14 est celui d'une molécule d'ammoniac au repos dans le laboratoire. Tracer le spectre d'absorption d'une molécule de vitesse telle que .

On considère dans la suite que les molécules d'ammoniac au repos absorbent uniquement les rayonnements dont la fréquence se situe dans l'intervalle de largeur autour de la fréquence , soit l'intervalle .
Dans l'ammoniac gazeux à la température , les molécules de masse sont animées de vitesses aléatoires, dont la répartition suit la loi de Maxwell-Boltzmann. Selon cette loi, la probabilité que la composante selon de la vitesse soit comprise entre et est donnée par

où est une constante de normalisation.
III.C.5) L'ammoniac gazeux est traversé par un faisceau laser de fréquence dirigé selon . Exprimer la probabilité qu'une molécule perçoive la fréquence à près, en fonction de , et . Si est le nombre de molécules éclairées par le faisceau laser, quel est le nombre de molécules pouvant absorber une partie de l'intensité du faisceau?

a) Expliquer pourquoi le spectre d'absorption d'une vapeur à la température diffère de celui d'une molécule au repos dans le référentiel du laboratoire.
b) En se référant aux propriétés de la courbe de Gauss (figure 16), donner l'expression de la largeur du spectre d'absorption, en fonction de et .

c) Calculer la largeur pour . Comparer à la largeur naturelle .

Peut-on négliger cette dernière si l'on exige une précision relative de sur la valeur de ?