Dans la plupart des expériences, la mesure de la présence d'un photon se fait par absorption, c'est-à-dire par destruction du photon: un œil ou une caméra CCD détruisent les photons incidents en les absorbant. De nombreux travaux ont toutefois permis de réaliser des mesures quantiques non destructives (QND, quantum non-demolition measurement). Ainsi, à la fin du siècle, la présence d'un photon a pu être détectée sans que celui-ci ne soit détruit, ouvrant la porte à des mesures successives de l'état du même photon.
L'équipe de Serge Haroche de l'École Normale Supérieure de Paris a en particulier utilisé ses connaissances en électrodynamique quantique en cavité (CQED, cavity quantum electrodynamics) pour mesurer sans le détruire l'état d'un seul photon piégé. Pour la première fois, l'apparition et la disparition du même photon ont pu être observées en direct.

Dans cette expérience, le photon est piégé dans une cavité constituée de deux miroirs en vis-à-vis (figure 1). Le photon effectue des allers-retours entre les deux miroirs jusqu'à sa disparition (absorption par l'un des miroirs ou fuite hors de la cavité).
Pour sonder la présence du photon, on utilise un atome de Rubidium sortant du four dont la vitesse est sélectionnée grâce aux lasers et . L'atome est ensuite excité dans un état dit de Rydberg circulaire au niveau de . L'atome subit ensuite une impulsion micro-onde au niveau de ce qui le place dans une superposition de deux états. En traversant la cavité , les deux états acquièrent un déphasage relatif dépendant de la présence ou non d'un photon. L'atome subit une deuxième impulsion micro-onde au niveau de et son état final est mesuré par le détecteur . Cet état final dépend du déphasage relatif et donc de la présence ou non du photon. Celui-ci n'a pas été absorbé par l'atome, mais a seulement induit un déphasage dans la structure électronique de l'atome.
L'équipe de Serge Haroche a par la suite généralisé la mesure non destructive à un nombre de photons supérieur à un et a utilisé cette technique pour réaliser une expérience de chat de Schrödinger, ce qui a entre autres valu à Serge Haroche l'obtention du prix Nobel de physique en 2012. Dans le cadre de ce sujet, nous ne nous intéresserons toutefois qu'à certains aspects de l'expérience décrite sur la figure 1.
La partie I étudie quelques propriétés des atomes de Rubidium excités dans l'état de Rydberg (on parle alors d'atomes de Rydberg) ainsi que leur détection. La partie II s'intéresse aux propriétés de la cavité permettant de piéger un photon pendant une durée suffisante. La partie III étudie le couplage entre un atome de Rydberg et un photon de la cavité. Les trois parties sont indépendantes, même si le contexte reste celui de l'expérience de la figure 1.
Des données numériques, un formulaire et une annexe sont présents en fin de sujet.

Certaines questions peu ou pas guidées, demandent de l'initiative de la part du candidat. Leur énoncé est repéré par une barre en marge. Il est alors demandé d'expliciter clairement la démarche, les choix et de les illustrer, le cas échéant, par un schéma. Le barème valorise la prise d'initiative et tient compte du temps nécessaire à la résolution de ces questions.

Les atomes utilisés dans l'expérience sont des atomes de Rubidium dont l'électron situé sur la couche électronique la plus énergétique est excité dans un état de nombre quantique principal très élevé. Des atomes ainsi excités sont appelés atomes de Rydberg. Si de plus le nombre quantique secondaire de l'électron excité est maximum, alors on parle d'atomes de Rydberg circulaires.

Q 1. Donner la structure électronique du Rubidium dans son état fondamental. Entourer le ou les électron(s) de valence. À quelle famille cet élément appartient-il ?
Considérons un atome polyélectronique contenant électrons. Le noyau sera considéré comme ponctuel et fixe en . On s'intéresse à l'électron de la couche électronique la plus énergétique que l'on repère en coordonnées sphériques. L'énergie potentielle électrostatique de cet électron est de la forme

où l'on a posé avec la permittivité diélectrique du vide. La fonction est positive et vérifie et .
Q 2. Justifier le signe de .
Q 3. Interpréter physiquement les valeurs limites de la fonction en et .
Q 4. On cherche un ordre de grandeur de la taille typique de l'atome. On estime que est de la forme où est la masse de l'électron. Établir soigneusement que et . La grandeur est appelée rayon de l'atome de Bohr, calculer sa valeur numérique.

L'électron le plus énergétique de l'atome précédent est excité dans un niveau de nombre quantique (typiquement ), le reste de l'atome étant inchangé. On étudie par la suite le comportement de cet électron dont la masse est toujours notée . L'atome est isolé de son environnement extérieur.

Q 5. Justifier que l'énergie potentielle de l'électron est alors : .
Q 6. Démontrer que le moment cinétique de cet électron est constant et en déduire que le mouvement de l'électron est plan. On introduit le repère sphérique tel que avec . Le noyau est toujours à l'origine du repère. Montrer que le mouvement de l'électron est alors situé dans le plan Oxy et donner l'expression de la constante en fonction de et .
Q 7. Que peut-on dire de l'énergie mécanique de l'électron? Montrer que l'on peut mettre cette énergie mécanique sous la forme

où l'on exprimera en fonction de et .
Q 8. Justifier que, pour une trajectoire circulaire, est minimale. En déduire la valeur du rayon de l'électron lorsqu'il est sur une trajectoire circulaire. On exprimera en fonction de et , puis on vérifiera que .

En physique quantique, l'état de l'électron excité dans le niveau est décrit par la fonction d'onde . Celle-ci vérifie l'équation de Schrödinger

où est l'opérateur laplacien.
On cherche sous la forme d'un état stationnaire : .

Q 9. Justifier que est de la forme avec et deux constantes.
Q 10. Justifier sans calcul le signe de pour l'électron étudié.
On met sous la forme et on admet que vérifie l'équation

où est le nombre quantique secondaire.
Q 11. Rappeler les valeurs permises pour le nombre quantique .
Q 12. En utilisant notamment la question 7 et en procédant par identification, justifier qu'en physique quantique les valeurs possibles de sont . Quelle est en particulier la valeur maximale que peut prendre pour l'électron étudié ?
Q 13. Que vaut alors le rayon de la trajectoire circulaire obtenue en question 8 ? On donnera le résultat en fonction de et de pour un atome de Rydberg.
Q 14. On cherche à adimensionner l'équation (I.1). Montrer que cette équation peut se mettre sous la forme

en posant et , avec une constante que l'on exprimera en fonction de et de . Quelle est la valeur numérique de en électron-volts ?

L'électron le plus énergétique est maintenant placé dans un état de nombre quantique principal et de nombre quantique secondaire maximum. Sa fonction d'onde spatiale est

avec une constante réelle positive de normalisation.
Q 15. Exprimer la probabilité de trouver l'électron entre et , quels que soient et . On ne cherchera pas à calculer les éventuelles intégrales.
Q 16. Montrer que la densité de probabilité est maximale pour le rayon . Commenter ce résultat.
Q 17. Faire l'application numérique pour . Pourquoi qualifie-t-on les atomes de Rydberg circulaires d'atomes géants?
L'expression de la fonction d'onde (non demandée) permettrait en outre de montrer que la probabilité de présence est maximale dans la direction . On admet également que la dispersion relative de et la dispersion de sont de l'ordre de .
Q 18. Pourquoi peut-on dire que le comportement de l'électron excité de l'atome de Rydberg circulaire est «classique»?
Q 19. Donner, à partir de la forme de la fonction d'onde (I.3), l'expression de pour l'électron le plus énergétique dans un atome de Rydberg circulaire, à un facteur multiplicatif constant près. En déduire l'expression de puis de pour l'électron dans un tel état. Commenter ce résultat.
Q 20. Calculer la fréquence du photon correspondant à la transition entre les états et . Dans quel domaine des ondes électromagnétiques se situe-t-il ?

On se reportera aux différents documents de l'annexe pour traiter cette sous-partie qui est indépendante des résultats précédents.
Q 21. Considérons tout d'abord un atome d'hydrogène dans son état fondamental. L'électron est à une distance moyenne du noyau de l'ordre de . Donner l'ordre de grandeur de la norme du champ électrique créé par le proton au niveau de l'électron. Justifier pourquoi on peut, en ordre de grandeur, assimiler la valeur de ce champ électrique à celle du champ d'ionisation de l'atome d'hydrogène.
Q 22. On assimile l'état de Rydberg circulaire à un atome d'hydrogène dont l'électron est excité dans le niveau . On s'intéresse aux trois états de Rydberg circulaires et . Une approche théorique non détaillée ici permet de calculer les champs d'ionisation des trois états précédents. Ces champs sont dans le désordre, en unités du système international, et . Attribuer à chaque son champ d'ionisation en justifiant succinctement.

Q 23. Classer les potentiels et des différentes électrodes de la figure 11 dans l'ordre croissant en justifiant.
Q 24. Estimer la vitesse des atomes de Rydberg dans la zone d'ionisation à l'aide du protocole 1.
Q 25. Dans le protocole 2 , la variation de suit une loi affine : avec le potentiel de l'électrode l'instant initial de déclenchement de la variation de et une constante. Déterminer l'instant de déclenchement de la rampe et sa pente permettant d'observer les deux signaux d'ionisations sélectives de la figure 13 de l'annexe.
Q 26. Quel problème pourrait-on rencontrer si l'on choisissait une variation de plus rapide ? Et plus lente?
Q 27. Quelle valeur faut-il prendre pour , défini dans le paragraphe «Principe de la détection» à la fin de l'annexe? Quelle(s) cause(s) expérimentale(s) pourraient fausser l'attribution de l'électron détecté au bon état de Rydberg ?

La cavité micro-ondes est constituée de deux miroirs métalliques en vis-à-vis entre lesquels un photon de longueur d'onde est piégé. Dans un premier temps (sous-partie II.A) nous allons nous intéresser aux propriétés d'une cavité composée de miroirs métalliques plans avant d'aborder le cas des miroirs sphériques (sous-partie II.B).

Considérons une cavité constituée de deux miroirs plans métalliques (figure 2) séparés par le vide d'une distance . Le coefficient de réflexion en amplitude pour le champ électrique est identique pour les deux miroirs. est un réel négatif à la longueur d'onde considérée : et .

On se place dans l'approximation scalaire. L'intensité est définie comme où est l'amplitude complexe de la vibration. Une onde se propage dans la cavité ( est un réel positif). Elle subit des réflexions multiples dans la cavité. On note l'onde réfléchie sur le miroir de droite, l'onde réfléchie sur le miroir de gauche et de manière générale l'onde ayant subi réflexions.
Q 28. On se place en un point d'abscisse à l'intérieur de la cavité. Exprimer en fonction de .
Q 29. Exprimer en fonction de ainsi que en fonction de . On fera intervenir la grandeur .
Q 30. Simplifier alors l'expression de la somme cohérente des amplitudes complexes des ondes se propageant dans le sens des croissants : . De même pour la somme cohérente des amplitudes complexes des ondes se propageant dans le sens des décroissants : .
On admet que l'intensité maximale de l'onde totale au niveau d'un de ses ventres dépend de selon l'expression

avec une constante et , où . La dépendance en de est tracée en figure 3 .

Q 31. Pour quelles fréquences cette intensité est-elle maximale ?
Q 32. On s'intéresse à la largeur à mi-hauteur des pics de définie par . Dans l'hypothèse où , donner l'expression de en fonction de . En déduire la largeur en fréquence des pics de résonance de la cavité.
Q 33. Associer à cette largeur de fréquence une durée typique de l'onde dans la cavité en fonction de et , toujours dans l'hypothèse où .

Nous cherchons maintenant à retrouver l'ordre de grandeur de cette durée en adoptant un point de vue corpusculaire. À chaque réflexion, la probabilité que le photon franchisse le miroir et sorte de la cavité est .
Q 34. Déterminer la durée de vie moyenne du photon dans la cavité en fonction de et .
Q 35. Que doit valoir pour avoir une durée de vie du photon de 100 ms ? Commenter.
Q 36. On recouvre en pratique les miroirs d'un supraconducteur de résistance électrique nulle. Pourquoi?

Les miroirs ont en réalité une dimension finie. Considérons la situation où l'on aurait des disques plans de rayon . Comme indiqué en figure 4, l'onde électromagnétique parvenant sur un miroir (ici le miroir de droite) est ainsi diffractée. Une partie de l'onde diffractée n'est pas captée par le miroir en vis-à-vis (ici le miroir de gauche).

Q 37. Estimer la durée au bout de laquelle l'intensité restant dans la cavité est divisée d'un facteur 1000 par rapport à l'intensité initiale pour un photon de fréquence . Commenter ce résultat.

Afin de palier le problème lié à la diffraction, on prend des miroirs en forme de portion de sphère de rayon de courbure . Le rayon des miroirs est toujours , mais la distance entre les deux est désormais . La cavité est présentée en figure 5 . On se place dorénavant en coordonnées cylindriques avec l'origine du repère au centre de la cavité et l'axe selon son axe de révolution. L'intérieur de la cavité est dans le vide. On admet que la diffraction est ainsi limitée et on s'intéresse à l'étude de l'onde électromagnétique dans cette cavité.
Pour une longueur d'onde , l'onde stationnaire pouvant exister dans la cavité est de la forme

où est le rayon typique du faisceau au niveau de l'abscisse dans le plan perpendiculaire à est une constante appelée col du faisceau (waist en anglais), est le rayon de courbure des surfaces d'onde : et est une phase constante. On admet que .
Q 38. Calculer pour une fréquence de .
Q 39. Au niveau de l'axe , on souhaite que la structure d'onde stationnaire présente un nœud au niveau de chaque miroir et ventres avec en particulier un ventre au niveau de . En déduire, en fonction de , la variation en valeur absolue de entre et . Que vaut pour une fréquence de l'onde de ?
Q 40. En faisant l'analogie avec la corde de Melde, estimer l'ordre de grandeur de la taille d'un fuseau. Faire l'application numérique et commenter sachant que le jet atomique traverse la cavité en son centre et a un diamètre de .

Les deux parties précédentes ont permis de mettre en évidence qu'un atome de Rydberg et une cavité sont deux systèmes dans lesquels il est possible de stocker de l'énergie : une énergie pour l'atome (entre les deux niveaux d'énergie et que l'on supposera isolés des niveaux inférieurs) et une énergie pour un photon piégé dans la cavité. Nous allons maintenant voir comment ces deux systèmes peuvent interagir, échanger éventuellement de l'énergie et comment on peut utiliser cette interaction pour détecter la présence d'un photon dans la cavité sans le détruire.
Le traitement de ces interactions est quantique, mais il est possible de faire des analogies avec des systèmes classiques usuels.

On admet que le couplage entre l'atome et un photon de la cavité peut être assimilé à la présence d'une inductance mutuelle entre deux circuits (figure 6). Le circuit de gauche représente la cavité tandis que le circuit de droite est analogue à l'atome. On note et les pulsations propres de chacun des deux circuits en l'absence de couplage.

Q 41. Déterminer les expressions de et en fonction de et .
Q 42. Les deux circuits sont considérés sans résistance. Quels phénomènes physiques sont ainsi négligés au niveau de l'atome et au niveau de la cavité ?
On pose le désaccord entre les deux pulsations. On considèrera dans toute la suite que . Par ailleurs, on note : .

Q 43. Montrer que les deux intensités et vérifient le système d'équations couplées suivant :

où l'on exprimera et en fonction de et .
On cherche la possibilité pour que l'ensemble du circuit oscille à la même pulsation (on parle de mode propre). On cherche ainsi et sous la forme complexe et .
Q 44. Déterminer l'équation vérifiée par , équation que l'on écrira sous la forme d'un polynôme en qui s'annule, mais que l'on ne cherchera pas à résoudre.
On admet que peut prendre deux valeurs dans le cas où , situation dans laquelle on se place désormais :

Revenons à l'expérience d'électrodynamique quantique. On considère maintenant le système {atome + cavité}. En l'absence de couplage entre l'atome et la cavité, les niveaux d'énergie de ce système sont représentés en figure figure 7.

En présence de couplage entre l'atome et la cavité, le niveau photon dans la cavité garde la même énergie. Il est pris comme niveau de référence des énergies.
En présence de couplage, l'état {atome photon dans la cavité} a une énergie tandis que l'état {atome aucun photon dans la cavité } une énergie . L'état {atome photon dans la cavité} voit quant à lui son énergie augmentée de .
Q 45. Reproduire la figure 7 sur votre copie et dessiner en pointillés la position des quatre états considérés en présence de couplage.
Q 46. En l'absence de couplage entre la cavité et l'atome, la différence d'énergie entre les niveaux et est . Que vaut la différence d'énergie entre les niveaux et en présence d'un couplage cavité-atome dans le cas où la cavité ne contient pas de photon ? En déduire la variation de la pulsation de l'atome correspondante.
Q 47. Déterminer de même l'expression de dans le cas où la cavité contient 1 photon.

Afin de détecter la présence ou non d'un photon dans la cavité, on crée un atome de Rydberg initialement dans l'état , comme indiqué en introduction de ce sujet et illustré dans la figure 1 . Une impulsion micro-onde place l'atome dans une superposition des états et . Les deux états quantiques acquièrent un déphasage où est la durée d'interaction entre l'atome et la cavité. Comme nous venons de le voir, ce déphasage dépend de la présence ou non d'un photon dans la cavité. Une deuxième impulsion micro-onde en sortie de cavité fait interférer ces deux états quantiques. On règle les impulsions micro-ondes de manière à ce que l'atome se retrouve dans l'état en l'absence de photon dans la cavité et dans l'état en présence d'un photon dans la cavité. On détecte alors l'état de l'atome à l'aide du dispositif étudié en sous-partie I.D. L'état de l'atome renseigne sur la présence d'un photon dans la cavité sans pour autant avoir détruit celui-ci.

Il est alors possible d'envoyer plusieurs atomes à la suite comme indiqué sur la figure 8 : une détection dans est représentée par un trait bleu vers le bas, une détection dans par un trait rouge vers le haut. Dans cette mesure, un photon (d'origine thermique) est apparu dans la cavité à et a disparu à . Il a ainsi été capturé pendant . Pendant cette durée, il a parcouru une distance de , soit l'équivalent de 4 fois la circonférence de la Terre!

Masse de l'électron
Charge élémentaire
Permittivité diélectrique du vide
Constante de Planck

Célérité de la lumière dans le vide

Volume infinitésimal en coordonnées sphériques

Opérateur gradient en coordonnées sphériques

Opérateur laplacien d'un scalaire en coordonnées sphériques

«L'ionisation d'un atome désigne l'émission vers le continuum d'un électron initialement dans un état lié. Elle peut advenir par interaction de l'atome avec une onde lumineuse (photo-ionisation) ou, comme dans notre cas, avec un champ électrique quasi statique. »
Prenons une assemblée de atomes identiques que l'on place dans un champ électrique extérieur que l'on augmente linéairement au cours du temps. L'augmentation est lente si bien que le champ peut être considéré comme quasi statique. On relève le nombre d'atomes ionisés par unité de temps . La dépendance en de est représentée sur la figure 10 .

Le champ critique, ou champ d'ionisation, , est la valeur du champ électrique pour laquelle le signal d'ionisation est le plus élevé.

On cherche à déterminer si l'atome de Rydberg étudié est dans l'état ou .
Un des deux détecteurs utilisés dans l'expérience est présenté en figure 11. Les atomes de Rydberg pénètrent dans la zone d'ionisation, entre les électrodes parallélépipédiques et . L'électron arraché à l'atome traverse alors l'électrode qui est percée d'un diaphragme de 6 mm de diamètre. Il entre dans la zone de focalisation, constituée d'une succession d'électrodes (électrodes à ), avant de parvenir au multiplicateur d'électrons (ME) situé juste derrière l'électrode . Le multiplicateur d'électrons permet, à partir d'un électron incident, d'obtenir un courant électrique mesurable. On peut ainsi relever l'instant où l'électron parvient au multiplicateur d'électrons. On négligera la durée mise par l'électron pour franchir la zone de focalisation.
La zone d'ionisation (figure 11) pourra être assimilée à un condensateur plan (l'effet du trou dans l'électrode sur le champ électrostatique sera négligé, de même que l'influence de la zone de focalisation). L'électrode est portée à un potentiel fixe. L'électrode est portée à un potentiel ajustable.
Tout électron arraché à un atome se trouvant devant le diaphragme parvient au multiplicateur d'électrons.

On prend comme origine des temps l'instant où l'atome est excité dans l'état de Rydberg circulaire, au niveau de la boîte de la figure 1 .

«On prépare un atome de vitesse fixée et on commence par repérer à quel instant précis l'atome ainsi préparé est au centre du diaphragme. Pour cela on applique [à ] une rampe d'ionisation très raide qui permet d'ioniser instantanément tous les niveaux dans lesquels pourrait se trouver l'atome. Lorsqu'on balaye le déclenchement de cette rampe dans le temps, on obtient un électron si l'atome se trouve dans le diaphragme et rien sinon. » Pour chaque instant de déclenchement de la rampe, on réitère l'expérience avec le même nombre d'atomes. On relève pour chaque instant le nombre d'atomes ionisés. Le résultat est présenté en figure 12 .

Une fois connu on peut faire varier de manière affine et plus lente que dans le protocole 1 , en partant de la valeur . La variation est choisie de manière à ce que les champs d'ionisation et des états de Rydberg circulaires et soient balayés pendant que l'atome se trouve dans la zone devant le diaphragme. On réitère l'expérience pour un grand nombre d'atomes de même vitesse, la moitié étant préparés dans l'état , l'autre moitié dans l'état . On relève pour chaque instant le nombre d'atomes ionisés. Le résultat de l'expérience est donné en figure 13.
La rampe est choisie de manière à ce que l'ionisation soit sélective : chaque courbe en cloche correspond à un état de Rydberg ( ou 51 ) défini.
On ajuste les deux signaux 1 et 2 par une fonction gaussienne de la forme avec ou 2 (figure 13). Les ajustements donnent : ; .

À l'aide de l'étalonnage effectué dans le procotole 2 , on se fixe un instant qui délimite la frontière entre les 2 états de Rydberg: un électron qui parviendra au multiplicateur d'électrons avant sera attribué à l'un des deux états de Rydberg, un électron qui parviendra au multiplicateur d'électrons après sera attribué à l'autre état de Rydberg.