Centrale Physique Chimie 1 PSI 2019

Physique dans la salle de bain
Certaines questions peu ou pas guidées, demandent de l'initiative de la part du candidat. Leur énoncé est repéré par une barre en marge. Il est alors demandé d'expliciter clairement la démarche, les choix et de les illustrer, le cas échéant, par un schéma. Le barème valorise la prise d'initiative et tient compte du temps nécessaire à la résolution de ces questions.

Dans une salle de bain, l'eau est délivrée par deux types de robinets : le mitigeur mécanique pour les lavabos et le mitigeur thermostatique pour la douche ou la baignoire (figure 1).

Dans le mitigeur mécanique, l'eau froide et l'eau chaude sont mélangées dans des proportions réglables par une position angulaire de la poignée et le débit réglable indépendamment par l'inclinaison de la poignée. L'écoulement est étudié en régime stationnaire et on note et les débits massiques respectifs de l'eau chaude (température ) et de l'eau froide (température ) à l'entrée dans le mélangeur et le débit massique de l'eau en sortie (température ).
On suppose que la capacité thermique massique de l'eau est indépendante de sa température.
Q 1. Parmi les quatre valeurs proposées ci-dessous, quel débit en sortie du mitigeur correspond à un fonctionnement normal ? Argumenter.
a.
b.
c.
d.

Q 2. Relier à et .
Q 3. Pourquoi peut-on faire l'hypothèse que l'eau dans le corps du mélangeur ne reçoit aucune puissance thermique de la part de l'air environnant?
Q 4. Détailler le raisonnement qui aboutit à où et sont les enthalpies massiques respectives de l'eau en sortie, chaude et froide.
Q 5. En déduire l'expression de en fonction des deux températures d'entrée et des débits massiques.
La légionellose est une maladie infectieuse due à une bactérie qui se développe dans les réseaux d'eau douce dont la température est comprise entre 25 et . À , sa croissance est stoppée, mais la bactérie survit ; à , le temps de destruction est de plusieurs heures, à il est de 32 minutes, à de une minute (source : DRASS/DASS). Dans les logements où la production d'eau chaude est individuelle, il est donc recommandé de maintenir l'eau du ballon de stockage à une température de plus de et une fois par semaine de produire une eau à . La température d'eau chaude à l'arrivée au robinet doit être au moins de .
La gravité d'une brûlure est fonction de la température de l'eau et du temps de contact avec la peau. Une brûlure au troisième degré survient lors d'une exposition de la peau d'une seconde à secondes à pour l'adulte et 3 secondes pour l'enfant, 8 minutes à , pour l'adulte, 60 secondes pour l'enfant. (source : http ://www.porcher.com/normes_et_reglementation/risque_de_brulure.html).
Un mitigeur mécanique est réglé pour que la température de sortie soit de lorsque et . La manette est alors abaissée en position robinet fermé. Durant la nuit, l'eau chaude sanitaire est produite à une température de .
Q 6. Y a-t-il un risque de brûlure à l'ouverture du mitigeur le matin si on lève simplement la manette sans la tourner ni à gauche ni à droite ?

Un mitigeur thermostatique contient un élément dilatable, par exemple une cartouche de cire. Si la température de l'eau chaude augmente brusquement, la régulation de température de l'eau de sortie est alors effectuée sans agir sur le réglage de la manette.
Q 7. L'eau chaude arrive-t-elle sur l'entrée 1 ou l'entrée 2 du schéma de la figure 2 ? Justifier.

L'air renferme toujours une proportion d'eau sous forme vapeur. On le qualifie d'air humide et on le caractérise par

Q 8. Montrer que où .
Q 9. Calculer la valeur maximale de l'humidité absolue de l'air humide à la température .

On considère une chambre hermétiquement fermée de volume occupée par une personne qui se couche à 22 h . La température de la pièce est de et l'humidité relative est de . La chambre n'est pas chauffée et la température au lever à 8 h le lendemain matin est de . On trouvera en fin d'énoncé quelques exemples de sources d'eau vapeur, ainsi que leur débit de production.
Q 10. Au lever, l'occupant de la chambre constate-t-il une condensation de l'eau? La réponse doit s'appuyer sur un raisonnement quantitatif.
Le problème de la condensation peut être résolu en aérant les pièces du logement suffisamment et régulièrement. Certaines personnes sont réticentes à aérer lors des journées humides où l'air extérieur est froid et saturé en vapeur d'eau.
Considérons une pièce initialement à la température et saturée en vapeur d'eau. L'air extérieur est à la température et est aussi saturé en vapeur d'eau. On renouvelle entièrement l'air de la pièce avec courant d'air.
Q 11. Calculer l'humidité relative de l'air de la pièce après aération une fois que l'air est revenu à la température par contact avec les meubles, le plafond et les parois intérieures de la pièce. Conclure.

Un psychromètre est un instrument comportant deux thermomètres qui permet d'accéder à l'humidité relative de l'air ambiant. Ce dernier circule autour des réservoirs des deux thermomètres par aspiration ou par mouvement des thermomètres pour un psychromètre à fronde (figure 4). Le thermomètre dit «sec» indique la température de l'air ambiant étudié. Le thermomètre dit «humide» a son réservoir recouvert d'un tissu mouillé et indique la «température humide» .
L'humidité relative se déduit alors des mesures de et .

La figure 5 schématise le transport de l'air humide sur le thermomètre à bulbe humide. La température de sortie est déterminée à l'aide d'un bilan thermodynamique appliqué à la surface de contrôle ( ) représentée sur la figure 5 . À l'entrée, la température de l'air vaut et l'humidité absolue est . À la sortie, la température est et l'humidité absolue est . Le débit massique d'air sec dans l'écoulement est noté . La pression est uniforme et constante et vaut bar. On néglige tout transfert thermique à travers la surface de contrôle .

Q 12. À l'aide d'un bilan de masse d'eau réalisé entre deux instants et sur le système fermé ( ), délimité à l'instant par la surface de contrôle, montrer que la masse d'eau évaporée par unité de temps, notée , vérifie . Il est conseillé de faire un schéma du système ( ) aux instants et .
Q 13. À l'aide d'un bilan d'enthalpie réalisé sur le système fermé ( ) entre deux instants et , montrer que

où

où on exprimera en fonction des données.
On montre alors que l'humidité relative de l'air étudié est

où est la constante psychrométrique.
Q 15. Application numérique On mesure et . En déduire l'humidité relative de l'air étudié.
Q 16. Le diagramme psychrométrique donné figure A du document réponse confirme-t-il cette valeur ? Justifier en annotant cette figure à rendre avec la copie.

Certaines pièces d'un logement sont plus exposées à une humidité relative importante voire maximale. C'est le cas des salles de bain où les sources de vapeur d'eau sont multiples. On s'intéresse dans cette partie à la formation de buée sur les parois froides et à un dispositif antibuée placé au dos d'un miroir.
On considère une salle de bain séparée de l'air extérieur de température par un mur homogène d'épaisseur et de conductivité thermique . Ce mur a une largeur et une hauteur .
Q 17. La différence de température entre la paroi intérieure et la paroi extérieure du mur est notée . Déterminer, en fonction des données, la puissance thermique qui traverse le mur.
Q 18. En déduire que la résistance thermique de conduction du mur peut s'écrire où est une surface qui l'on explicitera.

Les transferts thermiques de nature conducto-convective sont régis pas la loi de Newton : la puissance thermique surfacique cédée par une paroi de température au fluide environnant dont la température, loin de la paroi, vaut est où est le coefficient de transfert thermique conducto-convectif.
À l'interface mur-air intérieur à la salle de bain : .
À l'interface mur-air extérieur à la salle de bain : .
Q 19. Expliquer qualitativement pourquoi le coefficient de transfert thermique conducto-convectif entre le mur et l'air est plus grand à l'extérieur qu'à l'intérieur.
Q 20. Exprimer les résistances thermiques de nature conducto-convectives à chaque interface en fonction de et .
Q 21. Montrer, qu'en régime stationnaire, la température de surface de la paroi intérieure du mur de salle de bain s'écrit , où l'on exprimera en fonction des paramètres du problème.
Q 22. Application numérique En prenant , calculer pour .
Le point de rosée ou température de rosée est la température la plus basse à laquelle une masse d'air peut être soumise, à pression et humidité données, sans qu'il se produise une formation d'eau liquide par saturation. La figure 6 donne le point de rosée en fonction de la température de l'air pour différents niveaux d'humidité relative.

Un miroir carré de 50 cm de côté, de surface , de conductivité thermique et d'épaisseur est collé au mur séparant la salle de bain de l'extérieur. En plus des données fournies en fin d'énoncé, on précise que le volume intérieur de la salle de bain est et que l'humidité relative initiale est de .
Q 23. Y a-t-il de la buée sur le miroir avant que l'occupant ne prenne une douche ? On prendra les mêmes valeurs de et qu'à la question précédente et on admettra que les coefficients conducto-convectifs mur-air et miroir-air sont identiques.
Q 24. À partir de quelle durée de douche de la buée apparaît-elle inévitablement sur le miroir ?
Pour éviter la formation de buée sur le miroir même lorsque l'humidité relative est de , on peut placer au dos du miroir, un film antibuée adhésif. Ce film est alimenté par la tension du secteur (alternatif, 230 V efficace) et apporte une puissance thermique sur la face arrière du miroir.
Q 25. La figure 7 propose quatre schémas électriques équivalents au schéma thermique de la situation étudiée où est la température de la face visible du miroir. Recopier le bon schéma en justifiant le choix. Donner également les expressions des trois résistances thermiques présentes dans le schéma en fonction de , et . Les coefficients de transfert conducto-convectifs miroir-air et mur-air sont supposés identiques.
Q 26. Quelle puissance minimale le film antibuée doit-il apporter pour éviter la formation de buée quelle que soit l'humidité relative?
Le film antibuée utilisé (environ ) est composé de 38 bandes noires d'encre conductrices à base de poudre de carbone (figure 8). Il est alimenté par la tension du réseau électrique local, sinusoïdale de valeur efficace 230 V . Trois bandes de cuivre assurent la fermeture du circuit électrique (une bande de longueur 50 cm environ et deux bandes de 25 cm ). Un zoom des connexions des fils d'alimentation du film est fourni par la figure 8. Les bandes noire d'encre conductrice sont chacune de longueur , de largeur et d'épaisseur . Le constructeur annonce une puissance de 50 W .
Q 27. Les caractéristiques du film permettent-elle d'éviter la formation de buée sur le miroir ?

Q 28. Estimer la conductivité électrique de l'encre conductrice et comparer à celle du cuivre.
Q 29. Quel serait l'inconvénient d'utiliser des matériaux meilleurs conducteurs électriques que l'encre, comme du cuivre?

La figure 9 présente une station de charge par induction d'une brosse à dents électrique. Le modèle testé bénéficie d'un indice de protection IP67 le protégeant des effets de l'immersion jusqu'à un mètre. Il n'est pas démontable, le circuit électrique alimentant la bobine primaire (1) est totalement inclus dans une résine blanche empêchant d'accéder à ses caractéristiques. Les seules mesures possibles sont réalisées aux bornes du bobinage secondaire (2) situé à la base de la brosse à dents.

La station de charge est raccordée au réseau électrique local (le «secteur») basse tension qui délivre une tension alternative sinusoïdale de valeur efficace 230 V à la fréquence 50 Hz . On applique cette tension
à l'entrée d'un pont redresseur à quatre diodes qu'on supposera idéales (figure B du document réponse). Cette sous-partie IV.A propose l'étude d'un circuit électrique pouvant alimenter le bobinage primaire.
Q 30. Calculer .
Q 31. Représenter les quatre diodes à sur la figure B du document réponse afin que le signal soit un redressement double alternance du signal .
La figure C du document réponse représente le spectre du signal auquel il manque sa valeur moyenne.
Q 32. Ajouter cette composante moyenne sur le spectre de la figure en justifiant votre réponse.
Q 33. Quelle est la valeur de la fréquence de la composante fondamentale du signal ?
Afin d'obtenir une tension quasiment constante, on peut placer une cellule en sortie du pont de diodes (figure B). Le taux d'ondulation du signal de sortie est défini par où est la valeur moyenne temporelle de et la tension crête à crête.
Q 34. En prenant , comment doit-on choisir afin que le taux d'ondulation de soit inférieur à ?

La tension continue générée précédemment peut être convertie en un signal alternatif de haute fréquence à l'aide d'un onduleur. La structure la plus simple est celle d'un onduleur de tension monophasé «pleine onde» (figure D du document réponse). Les commutateurs commandés à sont considérés idéaux et fonctionnent de manière périodique à la fréquence .
Q 35. Remplir le tableau de la figure E avec l'état de fonctionnement de chaque commutateur et écrire la valeur de sur chaque demi-période.
Q 36. Écrire l'équation différentielle vérifiée par sur chaque demi-période.
Q 37. Déterminer la valeur maximale de en fonction de et du paramètre .
Q 38. Sur un même graphe, tracer les chronogrammes de la tension et du courant traversant la charge inductive dans le cas où .
Q 39. Comment, en ordre de grandeur, doit-on choisir le rapport afin d'avoir un courant le plus proche possible d'un courant sinusoïdal sans trop perdre en amplitude ?

L'accumulateur de la brosse à dents est de type nickel-hydrure métallique . Ses caractéristiques sont « ». Pour une meilleure longévité de l'accumulateur, le fabricant préconise un courant de charge de 200 mA .
Q 40. Sachant que le rendement de charge est d'environ , combien de temps dure une charge complète d'un accumulateur initialement totalement déchargé ?
Une bobine test est placée sur la station de charge. Elle est constituée d'un enroulement de 50 spires de fil de cuivre de de diamètre sur un cylindre de 20 mm de diamètre. On visualise à l'oscilloscope la tension aux bornes de cette bobine (figure 10).

Q 41. Déterminer numériquement la fréquence du signal alternatif généré lors de la conversion continualternatif HF ? Pourquoi est-il important que cette fréquence soit plus élevée que celle délivrée par le secteur ?

Q 42. Expliquer pourquoi il n'est pas intéressant de travailler à très haute fréquence (au voisinage du MHz par exemple). La conductivité du métal dont est faite la bobine est de l'ordre de .

Sources de l'humidité de l'air dans une pièce habitée (débit massique d'eau vapeur en )

Épaisseur de peau dans un métal
L'épaisseur de peau , définie par la relation ci-dessous, détermine, en première approximation, l'épaisseur de la couche où se concentre le courant dans un conducteur :

où désigne la conductivité du métal considéré et la fréquence du courant.

Épreuve : Phusique-chimie 1 PSI