Centrale Physique Chimie 1 TSI 2015

Depuis 1995, des milliers d'exoplanètes ont été découvertes et l'étude des mécanismes de formation d'une ou de plusieurs planètes autour d'une étoile est devenue une partie extrêmement prolifique de l'astrophysique. Le scénario actuellement retenu met en jeu un disque protoplanétaire, une couche fine de poussières en rotation autour de l'étoile naissante. À l'intérieur de ce disque, des phénomènes de sédimentation, d'agrégation, d'accrétion et de collision aboutissent à la formation d'un système planétaire en orbite autour de son étoile. Ce sujet présente quelques aspects de l'étude de ces disques protoplanétaires.
Dans tout le sujet, la notation signifie «proportionnel à».
Quelques données numériques sont fournies ci-dessous.

L'observation des disques protoplanétaires est grandement compliquée par la très grande différence de luminosité entre l'étoile centrale et le disque. Cependant, en utilisant plusieurs télescopes du VLT (Very Large Telescope), la méthode de l'interférométrie annulante permet de pallier cette difficulté.

I.A.1) L'image d'un point situé à l'infini, rayonnant à une longueur d'onde , par un des télescopes du VLT est une tache de diffraction de taille . On admet ici que l'on peut modéliser ce télescope par un diaphragme circulaire de diamètre suivi d'une lentille convergente équivalente au télescope de distance focale .
a) Estimer la valeur de l'angle d'évasement du faisceau lumineux après la traversée du diaphragme circulaire de diamètre .
b) Préciser la position de l'image géométrique d'une étoile située sur l'axe optique du télescope.
c) Déterminer l'ordre de grandeur de la distance focale équivalente du VLT.
I.A.2) Soit un disque protoplanétaire tel que celui de l'étoile Pictoris, imagé par le VLT. Cette étoile est située à 63,4 années-lumière du système solaire et est 1,75 fois plus massive que le Soleil. En 2008, les astrophysiciens ont annoncé avoir détecté une planète, baptisée Pictoris b , dont l'orbite autour de cette étoile a un rayon égal à 8 à 9 unités astronomiques et dont la période orbitale est de 17 à 21 ans. Cette planète est visible sur l'image de la figure 1 où la ligne en pointillés est la trace de l'intersection du plan moyen du disque avec le plan de l'image. Par ailleurs, cette figure indique la taille de l'orbite de Saturne autour du Soleil afin d'illustrer les ordres de grandeur des distances.
À l'aide de l'image et des données précédentes, déterminer le diamètre typique du disque protoplanétaire autour de Pictoris, puis en déduire la taille angulaire sous laquelle le disque est vu depuis la Terre. Déterminer également la distance angulaire séparant l'étoile et la planète vues depuis la Terre. Commenter sachant que la résolution du VLT est de l'ordre de quelques millisecondes d'arc.

Le physicien français Antoine Labeyrie est parvenu, dans les années 1970, à mettre en place le premier couple de télescopes interférométriques. L'australien Bracewell a ensuite repris ce concept et a proposé d'utiliser l'interférométrie pour éteindre artificiellement des sources intenses au voisinage de sources peu intenses. Cette technique d'interférométrie annulante est utilisée pour l'observation des disques protoplanétaires.

taille de l'orbite de Saturne autour du Soleil
le disque dans le plan de l'image autour de l'étoile n'a pas de réalité physique, il est lié au système d'imagerie
le disque protoplanétaire se situe dans un plan perpendiculaire au plan de l'image

On modélise le couple de télescopes et par deux trous d'Young et de même rayon, séparés d'une distance , éclairant un écran situé dans le plan focal image d'une lentille convergente de distance focale , dont l'axe optique est perpendiculaire au plan des deux ouvertures situées en avant de la lentille et passe par le milieu du segment . On pointe le dispositif d'observation vers l'étoile Pictoris, située au centre du disque protoplanétaire étudié. Cet objet céleste est considéré à l'infini sur l'axe optique de la lentille équivalente au télescope. On s'intéresse dans un premier temps au rayonnement issu de l'étoile centrale.
a) Faire un schéma du dispositif modèle en y reportant les grandeurs pertinentes. Tracer les rayons lumineux pertinents issus de l'étoile centrale et interférant en un point du plan focal image de la lentille équivalente.
b) On notera l'abscisse de repérée par rapport au foyer principal image , le long d'un axe parallèle à . On place en entrée du système un filtre qui sélectionne uniquement le rayonnement associé à la longueur d'onde . Ainsi, dans toute la suite de cette partie, on considère un rayonnement monochromatique à cette longueur d'onde. Exprimer, au niveau du point , la différence de marche géométrique entre les rayons passant par et , si on fait les approximations et .
c) Lors de la traversée de l'ouverture , la vibration lumineuse est déphasée de à l'aide d'un dispositif annexe qui n'introduit aucune différence de marche géométrique entre les deux voies de l'interféromètre. En déduire la différence de marche totale

entre les deux rayons interférant en .
d) On suppose uniforme l'éclairement obtenu, au niveau de la zone utile du plan d'observation, à l'aide d'un seul des télescopes. On note son intensité. On suppose de plus que cette intensité est la même pour les deux télescopes. En déduire l'éclairement . Tracer son allure. Que constate-t-on si on place un détecteur quasi ponctuel en ? Ce résultat dépend-il de ? Commenter.

On s'intéresse maintenant uniquement au rayonnement issu d'un point du disque (sauf à la question c), situé à une distance angulaire de l'étoile définie sur la figure 2. Le dispositif pointe toujours vers l'étoile Pictoris. On cherche à contraindre le choix de .
a) Exprimer la différence de marche totale entre les deux rayons issus de interférant en après être passés par et . Là encore, on suppose que les intensités issues des deux télescopes sont égales et que la vibration lumineuse est déphasée de lors du passage par . En déduire l'éclairement si on note l'intensité au niveau du plan d'observation du rayonnement issu du point et obtenue à l'aide d'un seul des deux télescopes.
b) Le point constitue-t-il une source cohérente avec l'étoile centrale Pictoris ? Donner l'expression de l'éclairement total au point .
c) On note l'éclairement total au niveau du centre du détecteur au point d'abscisse en considérant l'étoile centrale et la source située au point . Expliciter et donner l'expression des diverses valeurs de (indicées par l'entier ) qui permettent de rendre cette intensité maximale. Commenter l'expression «interférométrie annulante».
La reconstruction de l'image entière du disque utilise le principe précédent : un système informatisé pilote l'ensemble des télescopes pour imager les différents points du disque et reconstitue ensuite l'image en couleurs composites, à l'aide de calculs de transformées de Fourier.

Un disque protoplanétaire est essentiellement constitué de poussière et de gaz. Sa forme est contrainte par le champ de gravité de l'étoile ainsi que par le champ propre du disque.

a) On considère l'étoile comme une répartition de masse à symétrie sphérique, de centre , de rayon et de masse volumique . On repère la position d'un point dans un système de coordonnées sphériques, d'origine , confondue avec le centre de l'étoile. On note la distance de ce point au centre et le vecteur unitaire radial de la base sphérique.
Rappeler le théorème de Gauss pour la gravitation. En déduire le champ gravitationnel créé par cette distribution en un point extérieur à l'étoile, i.e. pour , en fonction de la constante de gravitation , de et d'une masse que l'on exprimera en fonction de et uniquement.
b) Soit le système de coordonnées cylindriques ( ), associé aux vecteurs ( ), tel que le plan soit le plan moyen du disque protoplanétaire, passant par le centre de l'étoile Pictoris. Montrer que, dans ce système de coordonnées, le champ gravitationnel de l'étoile s'écrit .

Pour estimer , champ gravitationnel propre du disque, on modélise le disque comme une couche cylindrique de masse volumique uniforme , d'épaisseur et de rayon . Cette dernière hypothèse permet de négliger les effets de bords. La norme de ne peut dépendre que de et de la constante de la gravitation . Établir par analyse dimensionelle l'expression la plus simple possible donnant en fonction de ces paramètres.

On cherche à comparer et afin de déterminer s'ils interviennent tous deux sur la répartition de matière dans le disque.
a) Montrer que l'on peut négliger le champ du disque devant le champ de l'étoile pour des rayons inférieurs à un rayon à expliciter en fonction de et .
b) Dans le système solaire, de la masse est concentrée dans le Soleil. Si on suppose que la répartition étoile-disque est à peu près identique dans le disque de Pictoris, sans chercher à déterminer , valider
l'hypothèse qui consiste à négliger le champ du disque devant le champ de l'étoile. Cette hypothèse sera conservée par la suite.

On traite le gaz du disque comme un fluide de masse volumique , soumis à un champ de gravité local et dans lequel règne une pression . On admet que le champ de pression à l'intérieur du disque est régi par le principe fondamental de la statique des fluides. Pour déterminer la masse volumique en un point quelconque du disque protoplanétaire, on procède par analogie avec le modèle de l'atmosphère isotherme dans un champ de pesanteur uniforme.

a) Rappeler l'expression scalaire du principe fondamental de la statique des fluides dans un champ de pesanteur uniforme vertical.
b) En assimilant l'air à un gaz parfait à la température , exprimer la masse volumique de l'air en fonction de la pression et d'autres paramètres adéquats. En déduire l'équation différentielle liant la pression et l'altitude en se plaçant dans le modèle isotherme.
c) En déduire la pression puis la masse volumique de ce fluide en fonction de la température , de la masse molaire du fluide et de la constante des gaz parfaits.
d) Rappeler l'expression de l'énergie potentielle d'une entité de masse placée dans le champ de pesanteur uniforme terrestre. En déduire que où désigne la constante de Boltzmann. Préciser la signification de dans ce cas.

On traite le disque comme un gaz formé de grains élémentaires de masse placés dans le champ gravitationnel déterminé en II.A.1.
a) Montrer que l'énergie potentielle gravitationnelle d'un grain de masse situé à une distance de l'étoile s'écrit . Exprimer en fonction des variables et . On rappelle que Pictoris est centrée sur l'origine du repère d'espace.
b) En utilisant l'analogie avec l'atmosphère isotherme vue en II.B.1, montrer que la masse volumique au point générique se met sous la forme où est la température du gaz ; on exprimera la fonction .
c) Le disque protoplanétaire est supposé de faible épaisseur, ce qui revient à considérer . De plus, la température du gaz ne dépend que de et on la note désormais . On admettra qu'il est possible d'utiliser l'expression de la question précédente dans le cas où la température du gaz dépend de . Montrer que peut se mettre sous la forme approchée , où on donnera l'expression de , qui s'interprète comme l'épaisseur locale du disque, en fonction de et de la température locale . Discuter de la distribution spatiale, suivant l'axe , des grains de poussière en fonction de leur masse.

De nombreux disques ont une structure évasée qu'on peut prédire à l'aide d'un calcul mené par Kenyon et Hartmann (1987).
a) Ces chercheurs ont montré que la température locale peut se mettre sous la forme . En déduire la forme de dans ce modèle.
b) On cherche à confronter le modèle simple précédent avec un modèle numérique, imagé figure 4 .
Comparer l'allure du disque prévue précédemment avec la forme du disque simulé numériquement, à l'aide d'une représentation graphique adaptée. Ces deux modèles sont-ils compatibles?

On étudie dans cette partie quelques étapes-clés de la formation d'une planète, en détaillant successivement le phénomène de sédimentation verticale dans le disque, puis le phénomène d'accrétion lui-même.

Une particule de poussière située dans le disque protoplanétaire suit une orbite dans le champ gravitationnel de l'étoile centrale avec des traversées périodiques du plan médian. On se limite au cas d'un disque fin tel que .

III.A.1) On cherche à étudier le mouvement vertical d'un grain de poussière, pour un rayon axial fixé. On rappelle l'expression analysée en II.A.1.
Montrer que, toujours pour un disque fin, l'équation du mouvement vertical à fixé peut se mettre sous la forme approchée : où est une pulsation typique des oscillations verticales que l'on exprimera uniquement en fonction de et .
III.A.2) Un modèle numérique permet d'obtenir la courbe donnée figure 6, qui simule la trajectoire suivant l'axe d'un grain de 10 m de rayon, initialement lâché à un rayon d'une unité astronomique et à une hauteur de 0,01 unité astronomique par rapport au plan médian.

Cette courbe permet-elle de valider le modèle précédent ? Déterminer l'échelle de temps utilisée pour ce graphe pour un rayon fixé à une unité astronomique. On prendra .
III.A.3) Pour des grains de plus petites tailles et de masse , l'interaction avec le gaz du disque est plus importante. On rajoute à l'équation précédente un terme de frottement fluide de la forme , où est une fonction simple de la taille du grain et de la densité particulaire du nuage. On obtient alors les trajectoires données figure 7.

Analyser qualitativement les résultats présentés figure 7 et en déduire le sens de variation de avec la taille des particules. Commenter physiquement le comportement des très petits grains.
III.A.4) Pour des grains de 1 m , estimer le facteur de qualité. En déduire la valeur de correspondante. Comparer avec la valeur de tirée de la force de Stokes, , où est la viscosité du gaz et le rayon d'un grain, en utilisant un ordre de grandeur typique pour une viscosité de gaz sous la pression atmosphérique et sachant qu'après une étude statistique, C . Pinte propose dans sa thèse de prendre une masse volumique moyenne des grains égale à . Commenter la vraisemblance de la modélisation.
On montre ainsi l'inévitable sédimentation verticale des particules et la constitution d'un disque fin de poussière dans lequel les phénomènes de collision et d'accrétion vont avoir lieu.

Après la sédimentation verticale commence une phase d'accrétion (succession de collisions entre les poussières, les astéroïdes et les planétésimaux) qui aboutit à la formation d'une planète. On étudie ici un modèle simple d'accrétion afin de le comparer au modèle numérique conduisant à la figure 8, dans la laquelle on distingue la formation progressive d'une planète et la constitution d'un sillon dans le disque de poussière.

Dans le modèle cinétique d'accrétion, un des paramètres importants est la vitesse relative des astéroïdes par rapport à l'astre en accrétion. On cherche à estimer l'ordre de grandeur de cette vitesse relative. On envisage le cas d'une collision entre la Terre et un astéroïde rocheux.

Cette partie constitue un problème non guidé contenant essentiellement une question préliminaire, une question principale et une question d'analyse. Il est nécessaire de consacrer un temps assez important à ces trois questions, celles-ci étant largement rétribuées. Les variables intervenant dans le problème ne sont volontairement pas toutes définies. Le candidat est invité à définir les variables qu'il jugera pertinentes, à les nommer et, si nécessaire, à les estimer.
a) Construire, par analyse dimensionnelle, une expression littérale permettant d'estimer l'ordre de grandeur de la portée d'un corps lancé à une vitesse dans un champ de gravité uniforme . Il s'agit de la distance horizontale parcourue par le corps entre le moment où il est lancé à la vitesse et celui où il retombe sur le sol.
b) Proposer un modèle qui permette d'estimer littéralement l'ordre de grandeur du diamètre du cratère formé sur la Terre par un astéroïde métallique arrivant frontalement à la vitesse dans un sol sédimentaire. On pourra ou non utiliser le graphe donné figure 10, établi par Richard J. Pike à partir d'une étude de 204 cratères lunaires, qui figure l'évolution de la profondeur d'un cratère contre celle de son diamètre, ainsi que la maille élémentaire d'un métal typique, le fer.

c) Une modélisation numérique de ce problème conduit à la loi . Identifier les variables de cette loi numérique et comparer les lois de puissance de ce modèle à celles de votre modèle. Commenter.
d) En déduire la vitesse relative de l'astéroïde responsable de la formation du Meteor Crater aux États-Unis (cf figure 9).

On développe à présent un modèle simple d'accrétion. On considère un astre , à symétrie sphérique, de rayon . On suppose que le disque protoplanétaire autour de l'astre est constitué, à grande distance de celui-ci, d'un grand nombre de petits corps, répartis aléatoirement et ayant tous la même vitesse dans la même direction . On note le nombre de corps par unité de volume. On rappelle qu'on suppose que tous ces corps ont une vitesse de même direction et que l'astre est immobile. On néglige les interactions gravitationnelles et on négligera la taille des petits corps devant .
a) Faire un schéma du volume occupé par les corps susceptibles de heurter pendant l'intervalle de temps . Exprimer le nombre de particules frappant pendant en fonction de et .
b) On note la masse des petits corps qui heurtent l'astre et s'y écrasent. On suppose que l'impact ayant eu lieu, les petits corps restent collés à et augmentent ainsi sa masse . On suppose aussi que sous l'effet de sa rotation propre, ces corps écrasés sur se répartissent de telle sorte que reste sphérique, de masse volumique constante, mais de rayon variable.
Donner l'expression de la vitesse d'accrétion en fonction de et . En déduire si on néglige le rayon en début d'accrétion.
c) Une analyse de la masse et du volume du disque protoplanétaire permet de lui attribuer une masse volumique moyenne de l'ordre de . De même, on prendra une vitesse relative dans le disque de l'ordre de .
Lier et . En déduire une estimation de la valeur numérique du temps nécessaire pour qu'un astre évoluant dans ce disque protoplanétaire atteigne la moitié de la taille de la Terre par accrétion. Comparer le résultat avec les 40 millions d'années actuellement retenus. Peut-on valider ce modèle ?
Proposer deux explications, une en lien avec la simulation de Gonzalez et Fouchet présentée en début de III.B, et l'autre en lien avec une des valeurs numériques du modèle.
En fait, en plus des problèmes évoqués en fin de question c le modèle présenté peut encore être amélioré de diverses manières : d'une part, la prise en compte des interactions gravitationnelles entre les embryons de planètes et la poussière modifie grandement la dynamique d'accrétion et conduit à des périodes d'emballement

Dans le modèle précédent, on suppose que la météorite entre en collision avec la planète sans que sa masse ait varié lors de la traversée de l'atmosphère. On cherche à valider cette hypothèse à l'aide d'une étude de cas : la météorite de Tcheliabinsk du 15 février 2013. Ce jour-là, une météorite de 17 m de diamètre se déplaçant à environ a traversé le ciel au dessus de la Russie. On cherche à estimer la perte de masse de cette météorite lors de sa traversée de l'atmosphère.

IV.A - Estimer l'angle que forme la vitesse avec la verticale. En déduire le temps mis par la météorite pour passer d'une altitude de 50 à 15 km .
IV.B - La travsersée de l'atmosphère par la météorite est l'occasion d'échanges thermiques importants entre l'air qui frôle la météorite et celle-ci. On cherche à savoir si ces échanges affectent en profondeur le champ de température de la météorite ou s'ils provoquent seulement une abrasion en surface. La météorite est de rayon , de capacité thermique volumique et de conductivité thermique de l'ordre de .
Rappeler l'équation de diffusion thermique dans le cas d'une géométrie cartésienne unidimensionnelle paramétrée par la variable . Construire, à l'aide de cette équation, un temps caractéristique de la variation du champ de température dans la météorite. Estimer numériquement ce temps pour la météorite du 15 février 2013. Le comparer avec le temps typique de chute à travers l'atmosphère. Quelle hypothèse peut-on faire sur les effets des échanges thermiques entre l'air et la météorite?
IV.C - L'air exerce sur la météorite une force de freinage, appelée trainée. On admet que cette force est de norme où est la masse volumique de la tranche d'atmosphère considérée, la surface transverse - parfois appelée maître couple - de la météorite, .I. et la vitesse de la météorite. On prendra .
IV.C.1) Donner l'ordre de grandeur de la valeur numérique de la puissance de la force de frottement.
IV.C.2) On suppose que la moitié environ de la puissance de la force de frottement sert à sublimer partiellement la météorite. Donner une estimation de la masse abrasée pendant la traversée de l'atmosphère sachant que l'enthalpie de sublimation de la météorite est de l'ordre de . Comparer la valeur obtenue à la masse initiale de annoncée par la NASA pour la météorite du 15 février 2013.
Était-il pertinent de considérer dans la partie précédente que la masse des météorites ne variait pas significativement au cours de leur traversée de l'atmosphère?
On signalera une fois encore le caractère simplifié des divers modèles étudiés dans ce sujet, par rapport aux modèles numériques et/ou analytiques développés actuellement pour l'étude des disques protoplanétaires.