La guitare comporte six cordes : Mi grave, La, Ré, Sol, Si, Mi aigu.
Les fréquences fondamentales théoriques de vibration de ces cordes, notées sont données dans le tableau 1 .

Corde	Fréquence
Mi grave
La
Ré
Sol	196 Hz
Si
Mi aigu

Tableau 1 Fréquences fondamentales de vibration des cordes de guitare

On souhaite accorder une corde légèrement désaccordée : on notera la fréquence fondamentale de vibration de la corde en question.

Principe de l'accordeur

Sélection de la corde à accorder (donc est fixée).
Création d'un signal carré de référence de fréquence avec un oscillateur de type astable.
Enregistrement du signal provenant de l'excitation de la corde à accorder : signal quelconque, d'amplitude assez faible, de fréquence .
Amplification et filtrage de ce signal.
Extraction de la fondamentale du signal : obtention d'un signal sinusoïdal de fréquence par l'utilisation d'un filtre à fréquence caractéristique réglable par le signal extérieur de référence.
Mise en forme de ce signal : obtention d'un signal carré de fréquence .
On a donc à disposition deux signaux carrés (signaux logiques) de fréquences respectives et . Dans les accordeurs récents le traitement est numérique : les signaux sont envoyés dans un calculateur numérique intégré qui calcule l'écart de fréquence et indique à l'utilisateur quand la corde est accordée, c'est-à-dire quand .
Ce principe général est schématisé sur la figure 1.

Figure 1 Principe de fonctionnement de l'accordeur de guitare

Ce problème s'intéresse au traitement du signal venant de la corde.

I.A - Le signal

La figure 2 montre un exemple de signal électrique à la sortie du micro d'une guitare électrique.

Figure 2 Signal de la guitare

Q 1. Donner une valeur approchée de la valeur moyenne de ce signal.
Q 2. Donner une estimation de la valeur de la fréquence de ce signal (on peut supposer qu'en première approximation le signal est périodique).
Q 3. De quelle corde de guitare s'agit-il ?
Q 4. L'analyse spectrale de ce signal fera-t-elle apparaitre des harmoniques ? Justifier.

I.B - Premier filtre

Avant toute chose, le signal électrique provenant du micro de la guitare est envoyé sur le filtre de la figure 3 (filtre

).
Q 5. En supposant l'entrée sinusoïdale, définir et exprimer la fonction de transfert

de ce filtre en fonction de

et de la pulsation

du signal.
Q 6. De quel type de filtre s'agit-il ? Faire apparaître une pulsation caractéristique

en fonction de

et préciser sa signification.
Q 7. Tracer sans calcul l'allure du diagramme de Bode asymptotique relatif au gain.
Q 8. On a choisi

. Calculer la fréquence de coupure

à -3 dB de ce filtre. Au vu de l'allure du signal de la figure 2, quel est le rôle de

Figure 3 Filtre (

)

ce premier filtre ?

I.C - Deuxième filtre

Dans cette sous-partie, les signaux sont sinusoïdaux et les amplificateurs linéaires intégrés (ALI) sont supposés idéaux et fonctionnent en régime linéaire.

I.C.1) Préambule

Soit le filtre de la figure 4(a).

Figure 4 Deux filtres

Q 9. Exprimer sa fonction de transfert

en fonction de

.
Q 10. Que devient

sont des résistances (

) ? Quel est, dans ce cas, l'intérêt du montage ?

I.C.2) Amplification (légèrement) sélective

En sortie du filtre de la figure 3 le signal

est envoyé sur le filtre de la figure

(filtre

).
Q 11. Quelle est l'impédance

de la branche constituée par

en parallèle avec

?
Q 12. Déduire de la question 9 l'expression de la fonction de transfert

de ce filtre en fonction de

.
Q 13. Mettre

sous la forme

et donner les expressions de

.
Q 14. Quelle est la limite de

en basse fréquence ? en haute fréquence ?
Q 15. Calculer numériquement la fréquence caractéristique

correspondant à

ainsi que son gain

. Expliquer quel est le rôle de ce second filtre.

I.D - Filtrage (très) sélectif commandé

On souhaite maintenant sélectionner la fréquence fondamentale

du signal

, dont la valeur est à priori voisine de celle de la fréquence fondamentale théorique de vibration de la corde sélectionnée sur l'accordeur (

) (on suppose que la corde est légèrement désaccordée). On suppose pour la suite que c'est la corde Mi aigüe que l'on souhaite accorder.
Le principe du filtre (

) est que sa fréquence caractéristique soit réglée par le signal de référence de fréquence

. Ce type de commande (à capacité commutée) sera précisé dans la sous-partie I.F.

I.D.1) Diagramme de Bode

La figure 5 représente le diagramme de Bode relatif au gain du filtre (

) tracé à deux échelles différentes.

Figure 5 Diagramme de Bode en gain du filtre (

)

Q 16. Dire en le justifiant rapidement, de quel type de filtre il s'agit. Quelle est sa fréquence centrale caractéristique?
Q 17. Donner une estimation de sa bande-passante à -3 dB après l'avoir définie.
Q 18. Si la corde est désaccordée à

, estimer, en le justifiant, de quel facteur est atténuée sa composante spectrale fondamentale en sortie de ce filtre.

I.D.2) Analyse spectrale

La figure 6 correspond au spectre du signal d'entrée

représenté sur la figure 2 .
Q 19. Justifier qu'il est parfaitement cohérent qu'il s'agisse du spectre du signal de la figure 2.
Q 20. En le justifiant soigneusement, dire quel spectre de la figure 7 correspond à la sortie du premier filtre (

).
Q 21. Même question, pour la sortie du filtre

.
Q 22. Tracer l'allure du spectre du signal en sortie du filtre

. Tracer l'allure du signal (temporel) correspondant.

Figure 6 Spectre du signal d'entrée

Figure 7 Spectres

I.E - Mise en forme

À la sortie de l'étage précédent, le signal est donc proche d'un signal sinusoïdal de fréquence

et d'amplitude dépendant de la force avec laquelle on a gratté la corde, mais de l'ordre du volt. Pour effectuer un traitement numérique qui permettra de comparer

à la fréquence théorique

on souhaite fabriquer à partir du signal précédent un signal créneau de fréquence

. Pour cela, on utilise un comparateur à hystérésis, représenté figure 8.

Figure 8 Comparateur à hystérésis

On note

la tension de saturation de l'ALI et on suppose que l'ALI est idéal. Le signal

est sinusoïdal alternatif d'amplitude 1 V et de fréquence

(c'est le signal sortant du filtre sélectif

).
Q 23. Qu'est ce qui permet d'être certain que l'ALI fonctionne en régime saturé ? Rappeler les propriétés d'un ALI idéal en régime saturé.
Q 24. Exprimer

le potentiel de la borne non inverseuse de l'ALI en fonction de

. En déduire l'expression de

.
Q 25. Comment varie

quand

varie (

étant fixé) ?
Supposons que

soit suffisamment faible pour que

.
Q 26. Quelle est la valeur de

? À partir de cette situation,

augmente : exprimer en fonction des données la valeur

pour laquelle on observera le basculement de

. Quelle est alors la nouvelle expression de

?
Q 27. À partir de cette nouvelle situation, traiter le cas où

diminue.
Q 28. Représenter finalement le cycle d'hystérésis de ce montage :

.
Dans le cadre de l'accordeur de guitare,

.
Q 29. Tracer sur le document réponse l'allure du signal de sortie

correspondant aux deux exemples de signal

proposés.
Q 30. Que peut-il se passer si la corde est vraiment trop désaccordée ?

I.F - Retour sur le filtre sélectif commandé

Regardons plus en détails la manière de fabriquer le filtre (

) dont la fréquence centrale est commandée par un signal carré externe. On utilise pour cela un filtre à capacité commutée.

I.F.1) Capacité commutée

Soit un condensateur de capacité

aux bornes duquel on applique une tension

.
Q 31. Rappeler l'expression de la charge

transférée au condensateur en fonction de

. On précisera, à l'aide d'un schéma, les conventions utilisées.
On monte maintenant le condensateur de capacité

entre deux interrupteurs commandés notés

, comme l'indique la figure 9.

Figure 9 Capacité commutée

On fait les hypothèses suivantes.

Les interrupteurs sont idéaux (d'impédance infinie quand ils sont ouverts et nulle quand ils sont fermés).
Ils sont toujours dans des états complémentaires : si est ouvert, alors est fermé et inversement.
Ils sont commandés de manière périodique par un signal extérieur (signal carré périodique de fréquence (période )) de telle sorte que :
sur l'intervalle est fermé et ouvert ;
sur l'intervalle est ouvert et fermé.
Les condensateurs ont le temps de se charger/décharger sur chaque intervalle de temps.
La période est faible devant tous les autres temps caractéristiques.

Q 32. Donner les expressions de

, les charges portées par l'armature du condensateur reliée directement au point

respectivement sur l'intervalle

. On précisera les conventions utilisées.
On en déduit

la charge transférée de l'entrée vers la sortie en une période.
Q 33. À quoi est alors égale la charge totale

transférée de l'entrée vers la sortie en un temps

?
Q 34. En déduire l'expression de l'intensité moyenne

associée à ce transfert en fonction de

.
Q 35. Pourquoi peut-on en conclure que ce dipôle

se comporte comme une résistance

? Donner l'expression de cette résistance en fonction de

.
La capacité commutée se comporte donc comme une résistance

dont la valeur est commandée par un signal extérieur et plus exactement par la fréquence

de ce signal.

I.F.2) Filtre à capacité commutée

Q 36. Expliquer qualitativement comment utiliser cette capacité commutée pour créer des filtres dont la fréquence caractéristique est réglée par le signal de référence

et, en particulier, un filtre du type recherché pour

II Dimensionnement du chauffage d'une voiture de TGV

II.A - Équation de la diffusion thermique dans une paroi solide

Soit le parallélépipède représenté sur la figure 10. On considère le problème unidimensionnel suivant l'axe (

) (toutes les grandeurs ne dépendent à priori que de

, éventuellement du temps

et sont uniformes sur toute section orthogonale à

Figure 10

On suppose qu'un flux thermique traverse ce volume. L'épaisseur de la paroi (suivant

) est

et sa section

. On a également représenté une petite tranche comprise entre

.
Les notations utilisées sont:

masse volumique du matériau ;
capacité thermique massique ;
conductivité thermique ;
vecteur densité de flux thermique ;
champ de température dans le parallélépipède .

Q 37. Exprimer le transfert thermique

entrant de la tranche d'épaisseur

pendant une durée

en fonction de

et des données.
Q 38. Exprimer la variation d'énergie interne

de cette tranche pendant cette même durée

au cours de laquelle la température varie de

.
Q 39. En appliquant un résultat de la thermodynamique que l'on rappellera, en déduire une relation entre

.
Q 40. Rappeler l'expression de la loi de Fourier (dans ce cas particulier unidimensionnel).
On peut déduire de ce qui précède l'équation dite de la chaleur ou de la diffusion thermique :

Q 41. Donner, en le justifiant à partir des résultats des questions 39 et 40 , l'expression de

en fonction des données.

II.B - Régime stationnaire

Dans cette sous-partie le système est en régime stationnaire. On suppose que:

Q 42. Déterminer l'expression de

.
Q 43. En déduire l'expression de la densité de flux thermique

, ainsi que la puissance thermique

traversant une section quelconque de surface

orthogonale à (

) et orientée dans le sens des

positifs. Que peut-on dire du champ

dans le volume étudié ?
Q 44. Définir la résistance thermique

du volume et l'exprimer en fonction de

Loi de Newton

On suppose qu'en plus des phénomènes purement diffusifs s'ajoutent des phénomènes conducto-convectifs aux interfaces paroi / fluide (air) ; pour simplifier on ne les prendra en compte qu'en

.
La modélisation de ces phénomènes par la loi de Newton consiste à supposer qu'il existe une discontinuité de température entre la paroi et le fluide et un flux thermique entre les deux de sorte que

où

est la densité de flux conducto-convectif sortant de la paroi,

le coefficient de conducto-convection de l'interface paroi / fluide,

la température en

de la paroi et

la température de l'air côté droit.
Q 45. Quelle est la puissance thermique

échangée par conducto-convection à travers la surface

?
Q 46. En déduire l'expression de la résistance thermique

équivalente à ajouter en série à

pour modéliser la conducto-convection en

II.C - Chauffage d'une voiture de TGV

Cette partie est moins guidée que le reste du sujet et fait plus appel à l'analyse des documents et à un raisonnement personnel construit. Le nombre de points attribué à cette partie tient compte de ces spécificités.
On considère une voiture de TGV dans des conditions hivernales. La température extérieure est constante égale à

. On cherche à estimer la puissance du chauffage

nécessaire pour maintenir la température intérieure constante à

.
On fait dans un premier temps les hypothèses suivantes:

le régime est stationnaire ;
les vitres et le reste des parois (latérales, sol et toit) sont constituées de plusieurs couches comme schématisé figure 11 ;
les vitres sont par ailleurs le siège de phénomènes conducto-convectifs côté intérieur (coefficient ) et côté extérieur (coefficient );
en outre, l'air intérieur est en permanence renouvelé par de l'air neuf venant de l'extérieur et ce avec un débit volumique (figure 12). La puissance thermique nécessaire pour l'amener de la température extérieure à la température intérieure s'écrit

où

est le débit massique de renouvellement de l'air et

la capacité thermique massique à pression constante de l'air (notons que la masse volumique de l'air est considérée comme constante et uniforme).
Les données numériques utiles au problème sont fournies en fin d'énoncé.
Q 47. Pourquoi les valeurs des coefficients conducto-convectif verre / air sont-elles différentes (

) pour l'extérieur et l'intérieur de la voiture?
Q 48. Justifier l'expression de l'équation (II.1).
Q 49. On souhaite se placer dans un premier temps dans la situation la plus défavorable (celle qui nécessitera la plus grande valeur de

). Doit-on supposer la voiture pleine de passagers ou vide (justifier) ?
Q 50. On se place dans l'hypothèse de la question précédente. En précisant toutes les étapes du raisonnement et des calculs, estimer la valeur de la résistance thermique équivalente totale de la voiture (

).
Q 51. En précisant toutes les étapes du raisonnement et des calculs, estimer la valeur de

permettant de maintenir la température intérieure constante.
Q 52. Que devient cette valeur si on suppose la voiture pleine de passagers ?

Figure 11 Constitution des parois et des vitres

Figure 12 Circulation de l'air dans un véhicule ferroviaire et appellations selon la norme NF EN 14750-1

III Transferts de charges par effet Hall

Après s'être intéressé dans la partie II aux transferts thermiques dans un volume, nous allons nous intéresser maintenant aux transferts de charges dans une portion de conducteur.
III.

- Soit une particule ponctuelle de charge

en mouvement à la vitesse

soumise à l'action d'un champ magnétique

. On rappelle que l'expression de la force à laquelle cette particule est soumise s'écrit

Figure 13

Soit une portion de conducteur de dimensions

(figure 13). Ce conducteur est inséré dans un circuit parcouru par un courant d'intensité

(comme indiqué sur la figure 13).
On notera

la densité volumique de porteurs de charge et

la vitesse d'un porteur de charge dans le volume. Les particules portent la charge

dont on ne connait à priori pas le signe. On suppose dans un premier temps qu'il n'y a qu'un seul type de porteurs.

Q 53. Rappelez l'expression de

, vecteur densité volumique de courant, en fonction de

et du vecteur vitesse d'un porteur de charge.

III.B - Approche qualitative de l'effet Hall

Q 54. Si les porteurs de charges sont des électrons de charge

, quel est le sens de

? Quel est le sens de

?
Q 55. Mêmes questions si les charges des porteurs sont positives

.
On place le volume dans un champ magnétique

(où

) supposé uniforme à l'échelle de l'échantillon.
Q 56. En considérant la direction et le sens de la force exercée par le champ magnétique sur un porteur de charge, expliquer en quelques mots pourquoi on voit apparaitre une tension entre les faces d'équations

du parallélépipède.
Q 57. Faire deux schémas indiquant le signe des charges apparaissant sur chaque face : dans le cas où

et dans le cas où

.
Q 58. Expliquer en pratique comment on peut simplement vérifier le signe des porteurs de charges avec un voltmètre.

III.C - Approche quantitative de l'effet Hall (cas des électrons porteurs)

On se place dans le cas où les charges mobiles sont des électrons, donc

. On notera

leur densité volumique et

leur vitesse.
On suppose qu'après un régime transitoire au cours duquel des charges ont commencé à s'accumuler sur l'une des faces, on atteint un régime permanent où la quantité de charges accumulées sur les faces ne varie plus, donnant lieu à la création d'un champ électrique de Hall uniforme entre les faces noté

.
Par ailleurs les porteurs de charges mobiles ont repris leur mouvement d'ensemble à la vitesse

uniforme et constante suivant (

) l'intensité du courant électrique est toujours

.
Q 59. En utilisant la sous-partie III.B, expliquer quel est le sens de

.
Q 60. Établir, en s'intéressant au mouvement d'un porteur de charge, la relation

.
Q 61. En projetant suivant

la relation précédente, donner l'expression de

en fonction de

; puis en fonction de

et des dimensions du conducteur.
Q 62. Exprimer

, la tension de Hall.

III.D - Cas de porteurs positifs

Dans le cas de semi-conducteurs dopés

, les porteurs majoritaires sont des électrons de charge

. Mais dans le cas de semi-conducteurs dopés

, les porteurs majoritaires sont des trous de charge

et de densité volumique notée

. On notera leur vitesse

.
Q 63. Reprendre les calculs précédents pour établir la nouvelle expression de

dans le cas d'un semiconducteur dopé P en justifiant soigneusement (à l'aide d'un schéma notamment) les calculs.

III.E - Applications numériques

Q 64. Dans le cas d'un conducteur comme le cuivre, les seuls porteurs sont des électrons. On suppose que dans le cristal chaque atome de cuivre libère un électron de conduction. En utilisant les données du tableau 2, calculer la tension de Hall

Masse molaire atomique du cuivre
Masse volumique du cuivre
Constante d'Avogadro
Charge élémentaire
Champ magnétique
Dimensions du conducteur
Intensité du courant

Tableau 2 Données numériques

Q 65. Commenter la valeur obtenue.
Q 66. Reprendre le calcul pour un semi-conducteur, comme le germanium, dopé

de sorte que

. Conclure.

Données

Données numériques pour le dimensionnement du chauffage d'une voiture de TGV

Voiture	(longueur)	22500 mm
	(largeur)	2780 mm
	(hauteur)	2100 mm
		4 mm
		24 mm
		4 mm
	Nombre de places assises	50
Vitres	Nombre par voiture	12
	(largeur)	2000 mm
	(hauteur)	840 mm
		12 mm
		4 mm
		4 mm
Conductivités thermiques




Masse volumique de l'air
Puissance thermique moyenne dégagée par un passager		60 W
Autres données

Question 29 premier exemple

Nom
Prénom

Épreuve : Phusique-chimie ? TSI

Ne rien porter sur cette feuille avant d'avoir complètement rempli l'entêtête
Feville