Les différentes parties de ce problème sont dans une large mesure indépendantes. Seules les argumentations précises et concises seront prises en compte en réponse aux questions qualitatives.
Partie préliminaire
Un télémètre est un dispositif (figure 1) permettant de mesurer des distances.
II est constitué d'un émetteur et d'un récepteur supposés petits et très proches l'un del'autre. L'émetteur envoieà l'instant une impulsion qui, après propagation à la célérité c et réflexion sur un obstacle, revient vers le
télémètre et est détectée par le récepteur à l'instant .
Déterminer la distance entre le télémètre et l'obstacle, en fonction des données.
Sur l'enregistrement de la figure 2 (où l'unité de temps est la milliseconde), sont visualisés le signal de commande de l'émetteur (signal 1 ) et la réponse du récepteur (signal 2 ), synchronisés sur la même origine de temps.
On donne .
Déterminer la valeur numérique de L.
Dans ce problème, on se propose d'étudier les caractéristiques d'un télémètre à ultrasons pour lequel l'émetteur et le récepteur sont des lames de quartz possédant des propriétés piézo-électriques.
Partiel - Mesure de la célérité d'une onde ultrasonore
Soumise à une différence de potentiel sinusoïdale de fréquence , soit , une lame de quartz vibre et transmet son mouvement
Filière PSI
aux couches d'air environnantes ; Ia lame émet ainsi une onde ultrasonore sinusoïdale, de même fréquence , que l'on suppose plane et qui se propage suivant l'axe Ox avec la célérité c. La lame de quartz est placée à l'abscisse x . L'air est supposé non visqueux, de masse volumique au repos , de coefficient de compressibilité isentropique . L'influence de la pesanteur est négligée. À l'instant t , la vitesse de la tranche d'air d'abscisse x s'écrit :
La pression et la masse volumique fluctuent sinusoïdalement autour de leurs valeurs moyennes respectives (pression de l'air lorsqu'il est au repos) et , et se mettent respectivement sous la forme: et .
I.A - Définir l'approximation acoustique.
I.B - Exprimer :
I.B.1) à partir del'équation d'E uler, la surpression acoustique en fonction de et ;
I.B.2) à partir de l'équation de conservation de la masse, l'expression de en fonction de et ;
I.B.3) une relation entre et .
On notera bien que les résultats demandés font intervenir les fonctions , et non leurs dérivées.
I.C - En déduire l'expression de la célérité c en fonction de et .
I.D - L'air est assimilé à un gaz parfait de masse molaire , à la température . Déterminer la valeur dela célérité c en fonction de M , , de la constante des gaz parfaits et du coefficient .
Application numérique: , . Calculer et la longueur d'onde de l'onde ultrasonore.
I.E - À l'abscisse , on place un récepteur qui délivre une tension électrique proportionnelle à la vitesse de l'onde ultrasonore en x : on peut donc poser . On relève sur un oscilloscope les tensions et .
I.E.1) En déplaçant le récepteur, on constate que les tensions et
Figure 3
On repère ainsi une coïncidence de phase des signaux et pour une certaine abscisse (coïncidence ) ; puis on relève les abscisses des points où surviennent les nouvelles coïncidences : on note ainsi que la coïncidence a lieu à l'abscisse tandis que la coïncidence se produit à l'abscisse .
Calculer la longueur d'onde de l'onde ultrasonore en justifiant le nombre de chiffres significatifs qui sera retenu. En déduire la valeur de la célérité c de l'onde. En partant de cette valeur et en utilisant le modèle du gaz parfait de la question I.D, déterminer la température à laquelle l'expérience a été menée. Citer quelques causes d'erreur qui peuvent entraîner une différence entre cette température et la température mesurée par un bon thermomètre.
I.E.2) On constate que l'amplitude de la tension diminue lorsque augmente. J ustifier cette observation expérimentale (si plusieurs explications sont apportées, essayer de les classer par ordre d'importance).
Partie II - Effet piézo-électrique
On considère une lame de quartz, cylindrique, de section constante, d'axe (de vecteur unitaire ), dont les deux faces et en regard sont métallisées (figure 4).
La face B est fixée à l'abscisse . Au repos, l'épaisseur de la lame vaut , et ses faces ne sont pas chargées. En présence de sollicitations extérieures (soit une différence de potentiel appli-
quée entre les faces, soit uneforce appliquée sur la face , soit les deux simultanément) :
I'épaisseur de la lame subit une petite variation avec «e et prend la valeur .
Ies faces et acquièrent respectivement les charges et , réparties uniformément sur leur surface (il s'agit de charges réelles, libres, distinctes des charges dues à la polarisation du quartz).
L'état de la lame est alors caractérisé par le couple de variables ( ). On suppose de plus que les vecteurs champ électrique , déplacement électrique et polarisation sont uniformes (colinéaires à l'axe Ox ), dans la lame, et nuls à l'extérieur de la lame.
II.A - Polarisation électrique
On impose dans cette question (faces A et B fixées). D'un point de vue électrique, le quartz se comporte comme un diélectrique parfait de permittivité relative et l'ensemble {lame + faces métallisées} constitue un condensateur de capacité C . On applique aux bornes de la lame une différence de potentiel constante , il apparaît respectivement des charges et sur les faces et , et un champ électrique dans la lame.
II.A.1) Donner les expressions des vecteurs déplacement électrique et polarisation dans la lame en fonction de , de la permittivité diélectrique du vide et de .
II.A.2) Établir une seconde expression de en fonction de et .
II.A.3) Donner l'expression de en fonction de , e et .
II.A.4) En déduire la valeur de la capacité en fonction de et .
II.A.5) Application numérique: on donne ; . Calculer C.
II.B - Polarisation mécanique
En fait, le quartz, comme certains autres cristaux est piézo-électrique: une contrainte mécanique faisant varier l'épaisseur de la lame produit également une polarisation électrique dans le cristal. On impose dans cette question (faces et isolées). Une force appliquée sur la face , dans la lame. On admet la relation linéaire ( désigne une constante positive caractéristique de la lame de quartz).
II.B.1) Quelle est la valeur du vecteur déplacement électrique dans la lame? En déduire la relation liant et le champ électrique dans la lame.
II.B.2) Déterminer la différence de potentiel qui est apparue entre les faces A et B dela lame et la mettre sous la forme . Exprimer en fonction de , e et . Dans le cas général ( ), les champs et potentiels des
questions précédentes se superposent. De plus, une étude mécanique montrerait une relation entre et dela mêmeforme. On admet donc pour la suite du problème les relations linéaires:
( et désignant deux constantes positives caractéristiques de la lame de quartz).
II.C - Aspect énergétique
II.C.1) Un opérateur applique la force sur la face , et un géné rateur applique la différence de potentiel entreles faces dela lame. Exprimer, pour des variations élémentaires respectives dq et de et , la variation , de l'énergie de la lame de quartz en fonction du travail fourni par l'opérateur et du travail fourni par le générateur. Exprimer ensuite en fonction de et .
II.C.2) La lame est initialement au repos ( ), on pose dans cet état. Les faces A et B étant isolées, l'opérateur appuie lentement sur la face A pour faire passer l'épaisseur de la lame de e à ( ). Calculer l'énergie de la lame à la fin de cette déformation élastique supposée réversible, en fonction de et .
II.C.3) Tout en maintenant l'épaisseur de la lame à la valeur ( ) précédente, on ajuste la différence de potentiel aux bornes de la lame de telle sorte que la charge de la face atteigne la valeur . Calculer l'énergie de la lame à la fin de cette seconde transformation en fonction de et , puis en fonction de et .
II.C.4) L'énergie est une fonction d'état des variables et , on admet que l'expression trouvée en II.C.3) est valable quelle que soit la transformation considérée. En déduire une nouvelle expression de et en déduire que .
II.D - Application numérique:
on donne .
II.D.1) Évaluer le produit . Quelle est sa dimension?
II.D.2) Déterminer les valeurs de et q obtenues Iorsqu’on applique une différence de potentiel entre les faces A et B de la lame en l'absence de contrainte mécanique ( ).
Partie III - Comportement dynamique des transducteurs (émetteur et récepteur)
III.A - L'émetteur
Lorsque la lame de quartz est soumise à une différence de potentiel variable , sans contrainte mécanique extérieure autre que le contact de l'air, on admet, dans toute la suite, que et sont liées par le système d'équations :
Dans cette dernière équation, le coefficient est proportionnel à la masse de la lame tandis que est un coefficient positif ( ) .
III.A.1) Donner brièvement la signification du terme .
III.A.2) Déterminer l'équation différentielle reliant la vitesse à la différence de potentiel appliquée aux bornes du quartz en introduisant les quantités :
III.A.3) On suppose que est un échelon de tension d'amplitude E , le cristal de quartz étant initialement au repos. Montrer que la solution de cette équation peut se mettre sous la forme:
et donner les expressions de et en fonction de Q et . On ne cherchera pas à déterminer la constante . Dans toute la suite, on pourra supposer .
III.A.4) On définit le temps de réponse de l'émetteur comme le temps au bout duquel le signal est inférieur à de sa valeur initiale. Exprimer .
III.A.5) Quelle fonction de transfert complexe peut-on associer à l'équation différentielle dela question III.A.2, en régime sinusoïdal forcé de pulsation ? On exprimera en fonction de et . Quelle est la nature du filtre de fréquences correspondant?
III.B - Récepteur
Réciproquement, Iorsque la lame de quartz est soumise à une onde ultrasonore qui impose à l'une de ses faces de vibrer à la vitesse , on recueille une diffé rence de potentiel telle que, en régime sinusoïdal établi, on puisse écrire, en notation complexe: , où la fonction de transfert a une expression analogueà celle dela fonction dela question III.A.5) dans laquelle on a simplement remplacé par le coefficient réel et constant , les valeurs de Q et de étant les mêmes que pour l'émetteur.
III.B.1) Donner I'équation différentielle reliant et .
III.B.2) On considère un récepteur recevant l'onde émise par un émetteur sollicité par un échelon de tension, de la forme:
Que devient l'équation différentielle précédente?
III.B.3) On suppose que, dans cettequestion, Q est infini (pour l'émetteur et le récepteur). Vérifier que l'équation ci-dessus s'écrit :
Déterminer la constante telle que soit solution de cette équation.
III.B.4) La solution générale de l'équation obtenue en III.B.2) est assez compliquée. On admettra que, pour Q suffisamment grand mais fini, cette solution peut pratiquement se mettre sous la forme:
avec les valeurs de , et trouvées précédemment. Déterminer la valeur de t correspondant au maximum de l'amplitude de l'enveloppe de ce signal.
III.B.5) Application numérique: on a relevé figure 5 un tel
signal , l'unité de temps étant la microseconde.
a) Évaluer l'ordre de grandeur de la fréquence et du facteur Q .
b) On définit le temps de réponse comme le temps au bout duquel le signal devient inférieur à de sa valeur maximale. Évaluer en fonction de (une réponse à un seul chiffre significatif suffira). Comparer et (défini à la question III.A.4).
c) En admettant qu'avec une électroniquesimple, l'instant coïncidant avecle début du retour de l'écho est déterminé à près et qu'il n'y a pas d'autre source d'erreur, donner l'incertitude absolue sur la mesure d'une distance . On prendra . Commenter brièvement la précision obtenue.
Partie IV - Application à la télémétrie
IV.A - Le choix de la tension d'alimentation
En pratique, l'amplitude du signal reçu par le récepteur diminue lorsque la distance télémètre-obstacle augmente (cf question I.E.2).Pour pouvoir mesurer de grandes distances, il faut augmenter la puissance transmise à l'émetteur. Pour y arriver, on l'excite périodiquement par des salves d'impulsions. La figure 6 représente une tension d'excitation comportant 3 salves de 4 impulsions (les échelles de temps ne sont pas respectées). On note la période des impulsions, la durée d'une salve et la période des salves.
IV.A.1) Détermination de :
a) On considère la fonction de transfert complexe de l'émetteur établie à la question III.A. 5 en régime sinusoïdal forcé. Déterminer le module en fonction de et . Pour quelle valeur de la fonction est-elle maximale? Quelle est la valeur de ce maximum ? Entre quelles valeurs et de la pulsation, est-elle supérieure à ? Calculer en fonction de Q et de .
b) Tracer l'allure de H en fonction de la pulsation pour .
c) Pour toute la suite du problème on choisit . Expliquer pourquoi la réponse en vitesse de la face de la lame de quártz au signal de la figure 6 est pratiquement la même (à un facteur près) que si les salves de durée étaient constituées de portions de sinusoïdes d'expression (pour celle qui débute en ).
IV.A.2) Détermination de . On admet que le régime transitoire correspondant à la salve du signal débutant à , est de la forme:
Dans cette expression, est la constante de temps de la lame définie à la question III.A.3. Dessiner l'allure de l'enveloppe de ce régime transitoire dans le cas où et (valeur qui sera conservée par la suite). Pourquoi est-il peu intéressant de prendre ?
IV.A.3) Détermination de . Déterminer la valeur minimale de permettant de mesurer toutes les distances dans l'intervalle [ ] sans ambiguïté. Calculer la valeur numérique de pour et .
IV.B - Le circuit d'alimentation
Les amplificateurs opérationnels utilisés sont considérés comme idéaux. Ils fonctionnent en régime de saturation. Les tensions de saturation en sortie sont notés et .
IV.B.1) Oscillateur commandé : on considère le montage M de la figure 7.
a) Déterminer la tension en fonction de et E .
b) Fonctionnement en mode bloqué: on suppose . Montrer, qu'en régime établi indépendant du temps, la tension de sortie conserve toujours la même valeur que l'on déterminera.
c) Fonctionnement en mode multivibrateur : on suppose .
i)Montrer que la tension de sortie ne peut garder une valeur constante ( ou -E) en régime établi.
ii)Déterminer l'équation différentielle liant à . On posera .
iii)On choisit l'origine des temps telle que et .
Résoudrel'équation différentielle donner l'expression de pour . Que se passe-t-il à l'instant où ? Que se passe-t-il après ?
iv)Tracer soigneusement, pour une période du signal de sortie, les graphes de u_(t) et .
v) En déduire la période de en fonction de .
IV.B.2) Générateur d'impulsions : on considère le montage de la figure 8.
a) On suppose que la tension e(t) est constante. Montrer le montage possède, en régime établi (indépendant du temps), un seul état stable, et donner la valeur de correspondante.
b) Déterminer, en régime variable, l'équation différentielle liant à . On posera .
c) On suppose qu'à l'instant et que le régime établi est atteint. À l'instant , l'entrée bascule et prend la valeur . Déterminer la valeur de la discontinuité ) de la tension à l'instant .
d) Déterminer l'évolution de à partir de cet instant.
e) La tension d'entrée e(t) est un signal rectangulaire symétrique prenant les valeurs et , de période . Tracer soigneusement sur le même graphe, pour et pendant une période de , les tensions , et .
f) Donner la largeur des impulsions de sortie correspondantes en fonction de .
IV.B.3) Association des circuits précédents.
a) Montrer comment, en combinant en série un circuit de type , un circuit et un second circuit detype , on peut réaliser les salves décrites sur la figure 6.
b) Application numérique: on prend pour tous les circuits. Avec les notations de la figure 6 on prend et . Déterminer les valeurs numériques qu'il faut donner aux différentes capacités ( pour pour et pour ).
-•FIN •••
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