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E3A Mathématiques 1 PC 2016

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E3A
Année
2016
Filière
PC
Matière
Maths
E3A PCE3A 2016PC MathsMaths 2016
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CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH

Épreuve de Mathématiques 1 PC

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

Le sujet est constitué de trois exercices indépendants. Dans chacun des exercices, les différentes parties ne sont pas indépendantes, mais tout résultat peut-être admis pour être utilisé par la suite.
Dans tous les exercices, étant donnés deux entiers naturels tels que désigne l'ensemble des entiers naturels tels que . On note l'ensemble des entiers naturels non nuls.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Exercice 1

Soit un espace vectoriel euclidien. Le produit scalaire sur est noté et la norme associée .
A. Préliminaires : Soient deux vecteurs de .
  1. Démontrer l'inégalité :
On pourra considérer la fonction définie par pour dans et démontrer qu'il s'agit d'une fonction polynomiale.
2. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur les vecteurs pour que . Justifier votre réponse.
Soit un entier naturel non nul. Pour toute famille ( ) de vecteurs de , on note la matrice dont le -ème coefficient est , pour tout dans .
Soit une matrice ( ) à coefficients dans , dont le ( )-ème coefficient est noté , pour tout dans .
Si est un entier naturel non nul, désigne la matrice ( ) dont le ( )-ème coefficient est , pour tout ( ) dans .
On dit que la matrice vérifie la propriété s'il existe des vecteurs dans tels que :
B. Dans cette partie, on suppose . Soit une matrice (2,2) à coefficients dans .
3. On suppose que la matrice vérifie la propriété . Soit ( ) dans tels que . Justifier que et .
4. Réciproquement, on suppose que et . Justifier que vérifie la propriété G .
Indications : En considérant ( ) une base orthonormale de , on pourra construire une famille de vecteurs telles que en choisissant sous la forme et sous la forme pour des nombres réels qu'on précisera. On pourra commencer par étudier le cas a .
5. Justifier que la matrice vérifie la propriété G si et seulement si, pour tout entier dans vérifie la propriété G .
C. Dans cette partie, on suppose . Soient deux nombres réels. On pose :
  1. On suppose que la matrice vérifie la propriété G . Soient des vecteurs de tels que .
    (a) Démontrer que et .
    (b) Justifier que la famille est othonormale.
    (c) Déterminer le vecteur projection orthogonale du vecteur sur le plan engendré par les vecteurs et .
    (d) En déduire que .
    (e) Démontrer que les vecteurs sont linéairement indépendants si et seulement si .
  2. On suppose . Soit une base orthonormée de .
    (a) Déterminer l'ensemble des vecteurs , tels que et .
    (b) Justifier que la matrice vérifie la propriété G .
    (c) Est-il vrai que, pour tout dans , la matrice vérifie la propriété G ? On argumentera précisément la réponse.
    D. Soit le -espace vectoriel des fonctions continues sur . Soit le sous-espace vectoriel de des fonctions telles que pour tout polynôme , l'intégrale est absolument convergente. On ne demande pas de vérifier que est un sous-espace vectoriel de .
Soit dans .
8. Démontrer que pour tous et dans , l'intégrale est absolument convergente.
9. On peut donc définir l'application :
Démontrer que c'est un produit scalaire sur .
10. Démontrer que la fonction définie par pour , appartient à .
Dans la suite, on note :
  1. Soit un nombre réel strictement positif. On admet que la fonction définie par pour , appartient à . Exprimer en fonction de et .
  2. Soit un entier naturel . Soient des nombres réels strictement positifs. On désigne par la matrice ( ) à coefficients dans dont le ( )-ème coefficient , pour dans , est défini par :
Démontrer que pour tout entier naturel non nul , il existe un espace euclidien et une famille ( ) dans tels que la matrice . On explicitera , son produit scalaire ainsi que la famille .

Exercice 2

On note l'ensemble .
Soit le -espace vectoriel des fonctions continues de dans .
A. Soit la fonction définie en un nombre réel par :
  1. Démontrer que la fonction est continue sur .
  2. Démontrer que la fonction est dérivable sur . Calculer sa dérivée . La fonction est-elle continue? est-elle dérivable?
  3. Etablir le tableau de variations de et dessiner précisément le graphe de la fonction sur .
    B. Soit l'ensemble des fonctions de classe sur dont la restriction à l'intervalle et la restriction à l'intervalle sont toutes deux des fonctions polynomiales de degré .
  4. Démontrer que est un sous-espace vectoriel de .
  5. Soient et deux fonctions polynomiales de degré . On pose et . Soit la fonction définie sur par
Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur les nombres réels pour que soit une fonction continûment dérivable sur . En déduire une base de . Quelle est la dimension de ?
6. Soit l'application de dans définie par .
(a) Démontrer que est une application linéaire.
(b) Déterminer le noyau de .
(c) En déduire que est surjective.
C. Soit un nombre réel. Soit une application de classe sur . Soit une fonction polynomiale de degré . Soient des nombres réels tels que . Soit la fonction définie pour dans par :
  1. Justifier que est une fonction de classe sur telle que si et seulement si ( ) est solution d'un système linéaire qu'on explicitera. Indication : on pourra exprimer a en fonction de . Ce système linéaire a-t'il une unique solution?
  2. Ecrire une fonction prolonge en python qui prend en entrée des nombres ( ) et donne en sortie un triplet tel que la fonction polynomiale définie par vérifie: et .
    D. Soit un entier naturel supérieur ou égal à 2 . On note , .
    Soit l'ensemble des fonctions de classe sur et telles que sur chacun des intervalles la restriction de est une fonction polynomiale de degré . On admet que est un sous-espace vectoriel de .
  3. Pour un entier compris entre 0 et , soit une fonction polynomiale de degré . Soit la fonction définie par : , si , pour tout .
    (a) Démontrer que la fonction appartient à si et seulement si le vecteur est solution d'un système linéaire à équations qu'on explicitera.
    (b) Résoudre ce système si on suppose de plus que s'annule en tout point dans . On commencera par exprimer et en fonction de et pour tout dans .
    (c) On considère l'application :
i. Justifier que est une application linéaire.
ii. Quel est le noyau de ? En préciser la dimension.
iii. Démontrer que est surjective. On pourra faire une démonstration par récurrence sur .
iv. Quelle est la dimension de ? On citera précisément le théorème utilisé.
10. Soient des nombres réels. Ecrire un programme interpo en python qui prend en entrée et donne en sortie une liste de triplets tels que la fonction définie par : , si , pour , est dans et vérifie de plus pour tout .

Exercice 3

A. Soit la suite définie par et la relation de récurrence :
On considère la matrice
  1. Rappeler le développement en série entière de la fonction au voisinage de 0 . Quel est son rayon de convergence?
  2. Calculer les valeurs propres de la matrice . Justifier qu'elles sont dans l'intervalle . La matrice est-elle diagonalisable?
  3. On note et les valeurs propres de la matrice .
    (a) Justifier qu'il existe des nombres réels et tels que:
(b) Sans chercher à calculer et , justifier les égalités :
i. ,
ii. ,
iii. .
(c) Démontrer l'égalité :
(d) En déduire la valeur de .
4. Proposer une fonction en python, suite , qui prend en entrée l'entier naturel et renvoie la liste des premiers termes de la suite , sous forme de nombres rationnels. Préciser la complexité de votre algorithme en fonction des opérations que vous utilisez (additions, multiplications...).
B. On dispose d'une pièce qui, lorsqu'elle est lancée, tombe sur «pile» avec la probabilité et tombe sur «face» avec la probabilité . On suppose que est dans .
Alice et Benoît jouent à un jeu de «pile ou face» avec cette pièce de la façon suivante : La pièce est lancée plusieurs fois de suite jusqu'à ce que trois lancers successifs fournissent deux fois « pile » suivies d'une fois «face» ou une fois «face» suivie de deux fois «pile». Dans le premier cas, deux fois « pile» suivies d'une fois «face», Alice gagne et dans le cas une fois «face» suivie de deux fois «pile», Benoît gagne.
On désigne par motif le résultat de trois lancers successifs.
Par exemple, si on a effectué 7 lancers dont le résultat est «pile, face, pile, face, face, pile, pile» les motifs de longueur 3 sont « pile, face, pile», «face, pile, face», « pile, face, face», «face, face, pile » et «face, pile, pile»; à ce stade, Benoît a gagné et la partie est finie.
Soit un entier naturel non nul. On note la variable aléatoire qui donne la valeur du -ième lancer : la variable prend la valeur 1 lorsque la pièce tombe sur «pile» et la valeur 0 lorsque la pièce tombe sur «face».
La probabilité d'un événement lié à ce jeu sera noté . Ainsi, pour dans et .
Les lancers sont supposés indépendants, donc les variables aléatoires sont mutuellement indépendantes.
Soit dans . On note l'évènement «Ni Alice, ni Benoît n'ont gagné après lancers », l'évènement «le -ième lancer fait gagner Alice» et l'évènement «le -ième lancer fait gagner Benoît .
5. Déterminer pour et .
6. Soient et deux entiers naturels non nuls. Soit dans . Justifier que les évènements et sont indépendants.
Que peut-on en déduire pour la probabilité de l'événement

7. Soit dans . On note la probabilité de l'évènement et la probabilité de l'évènement .
(a) Exprimer en fonction de et .
(b) Soit un entier naturel . En décomposant l'événement selon la valeur prise par , démontrer que .
(c) Soit un entier naturel . On considère une suite de lancers consécutifs qui n'a fait gagner ni Alice, ni Benoît et qui se conclut par un « pile » ( prend la valeur 1.) On suppose que lors de l'un au moins de ces lancers, la pièce est tombée sur «face». On note le plus grand indice tel que, pour cette suite, a pris la valeur 0 (c'est-à-dire le dernier lancer pour lequel la pièce est tombée sur «face»). Justifier que .
(d) Soit un entier naturel . Démontrer que .
8. Soit la variable aléatoire «durée du jeu», c'est-à-dire que prend la valeur lorsque « Alice ou Benoît gagne à la -ième étape», pour . Si la partie ne se termine pas, prend la valeur .
(a) Soit un entier naturel .
i. Que peut-on dire des événements et ?
ii. En déduire l'expression de en fonction de et .
iii. Justifier que .
Indication : On pourra étudier la suite et démontrer qu'elle est décroissante.
iv. Quelle propriété du jeu obtient-on ainsi?
(b) Si la série est convergente, démontrer que la variable est d'espérance finie. En notant cette espérance, justifier l'égalité :
(c) On suppose dans cette question seulement que la pièce est équilibrée, c'est-à-dire . Démontrer que la variable est d'espérance finie et calculer .
Indication : On pourra calculer et .
9. Soit un entier naturel .
(a) On considère une suite de lancers consécutifs telle qu'Alice gagne la partie au -ième lancer. Démontrer que lors des premiers lancers, la pièce n'est pas tombée sur < face >.
(b) En déduire la probabilité qu'Alice gagne la partie au -ième lancer, soit , puis la probabilité que Benoît gagne la partie au -ième lancer , soit .
10. Exprimer en fonction de la probabilité qu'Alice gagne la partie et la probabilité que Benoît gagne la partie. Quelles valeurs obtient-on pour ces deux probabilités lorsque la pièce est équilibrée?
11. Quelle valeur donner à pour que le jeu soit équitable?
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