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E3A Mathématiques 2 MP 2015

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Séries entières (et Fourier)
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Banque
E3A
Année
2015
Filière
MP
Matière
Maths
E3A MPE3A 2015MP MathsMaths 2015
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Épreuve de Mathématiques 2 MP

Durée 3 h

Si , au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
Les différentes parties du problème ne sont pas indépendantes. Mais tout résultat d'une partie peut être admis et utilisé dans les parties suivantes.
Pour tout nombre réel , on note le disque ouvert de centre 0 et de rayon .
Etant donnés un entier naturel et une fonction de classe sur un intervalle ouvert , on note la dérivée -ième de sur . Si besoin, on pourra noter .
Dans tout le problème on note la fonction définie sur par :

Partic I.

Soit une série entière de rayon de convergence non nul et possiblement infini tel que . On se propose de démontrer qu'il existe un nombre réel tel que et une série entière de rayon de convergence supérieur ou égal à telle que :
Soit un nombre réel tel que .
  1. Rappeler la définition précise du rayon de convergence de la série entière .
  2. Justifier que la suite est bornée.
  3. En déduire qu'il existe un nombre réel tel que, pour tout entier naturel ,
On considère la suite définie par récurrence par :
  1. Démontrer que pour tout entier naturel ,
  1. En déduire que la série
a un rayon de convergence .
6. Soit le minimum des rayons de convergence des séries et . Expliciter les coefficients de la série produit , pour dans .
7. Conclure.

Partie IIA.

Soit la fonction définie sur la première page.
  1. Justifier précisement que la fonction , restreinte à , est continue en 0 .
  2. Soit un nombre complexe. On pose , avec et réels. Exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de en fonction de et de .
  3. Déterminer l'ensemble des éléments de tels que .
  4. Justifier qu'il existe une fonction définie sur le disque définie par :
  1. (a) Rappeler le développement en série entière de la fonction exponentielle. Quel en est le rayon de convergence?
    (b) En déduire que la fonction admet un développement en série entière sur : on montrera qu'il existe une série entière de rayon de convergence infini telle que
Expliciter les coefficients de la série entière .
6. En utilisant les résultats de la partie I, justifier qu'il existe une série entière et un nombre réel dans telle que le rayon de convergence de est supérieur ou égal à et telle que
  1. (a) Démontrer que la fonction définie par
est une fonction paire.
(b) Que peut-on en déduire pour les coefficients de la série ?
Dans toute la suite du problème, on note la suite de nombres complexes définie par :
On admet qu'on peut prendre .

Partie II B.

  1. Justifier que, pour tout entier naturel est un nombre réel.
  2. Expliciter .
  3. Justifier les égalités :
  1. Justifier que, pour tout entier naturel est un nombre rationnel.
  2. Que peut-on dire de , lorsque est un entier naturel impair ?

Partie III.

Pour tout entier naturel , on note la fonction définie sur qui envoie sur ( ).
  1. Expliciter un intervalle ouvert de , centré en 0 , tel que
Soit une suite de nombre réels telle que la série entière est de rayon de convergence au moins 1 .
On se propose de démontrer que la série de fonctions définit une fonction de classe sur .
2. Soit . Démontrer que la série est convergente.
3. (a) Soit un segment non réduit à un point contenu dans . Justifier qu'il existe un nombre réel , qu'on note , tel que
(b) En déduire que est de classe sur et que
On citera précisément le théorème utilisé.
(c) Justifier qu'il existe une série de rayon de convergence au moins 1 telle que
  1. Démontrer que est de classe sur : On pourra démontrer par récurrence sur l'entier naturel que est de classe et qu'il existe une série de rayon de convergence au moins 1 telle que que , la dérivée -ième de , vérifie

Partie IV.

On conserve les notations de la partie III, en particulier la fonction est la fonction définie sur par et est l'intervalle ouvert défini dans la question III1.
  1. Démontrer que pour tout . On justifiera la convergence de cette série de fonctions.
  2. (a) Enoncer précisément la formule de Leibniz.
    (b) Démontrer par récurrence sur l'entier naturel que pour tout entier naturel tel que , .
    (c) Démontrer que pour tous entiers naturels tels que , et pour tout , fonction de classe sur ,
(d) En déduire que
On pourra décomposer , pour , sous la forme
, avec fonction de classe sur .
3. (a) Démontrer que pour tout entier naturel , et tout entier naturel non nul,
(b) Quelle expression de peut-on en déduire, pour tout entier naturel ?
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