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E3A Mathématiques 2 MP 2016

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesIntégrales à paramètres
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E3A
Année
2016
Filière
MP
Matière
Maths
E3A MPE3A 2016MP MathsMaths 2016
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CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH

Épreuve de Mathématiques 2 MP

Durée 3 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
Les différentes parties de ce problème ne sont pas indépendantes, mais tout résultat peut-être admis pour être utilisé par la suite.
Dans tous le problème, on note l'exponentielle du nombre réel et ln le logarithme népérien du nombre réel strictement positif .
Etant donnée une fonction à valeurs réelles, on rappelle qu'un zéro de est un élément tel que .

Partie I

  1. Rappeler la définition d'une fonction convexe.
  2. Justifier le fait que la fonction exponentielle est convexe sur . On citera précisément le théorème utilisé.
  3. Soient et des nombres réels strictement positifs. Soit dans l'intervalle . Démontrer l'inégalité :

Partie II

Soit un nombre réel strictement positif. Soient et deux nombres réels tels que .
4. (a) Que vaut ?
(b) Justifier que l'intégrale converge absolument. Quelle est sa valeur ?
5. Démontrer que l'intégrale converge absolument.
6. (a) Déterminer la limite lorsque tend vers 0 de .
(b) Démontrer que l'intégrale converge absolument.
7. On suppose que .
(a) Justifier que , pour tout dans .
(b) Démontrer que l'intégrale converge absolument.
8. Soit l'application définie par, pour , un nombre réel strictement positif:
Démontrer que définit une fonction de classe sur . Expliciter sous forme d'intégrale sa dérivée et sa dérivée seconde. On citera explicitement le théorème utilisé.

Partie III

  1. Soit un nombre réel strictement positif. Déterminer la limite lorsque tend vers de .
  2. En déduire que :
    (a) l'intégrale converge absolument.
    (b) l'intégrale converge absolument.
    (c) l'intégrale converge absolument.
  3. Soit l'application définie par, pour nombre réel strictement positif:
Démontrer que définit une fonction de classe sur . Expliciter sous forme d'intégrale sa derivée et sa derivée seconde.

Partie IV

On peut donc définir la fonction de la variable réelle strictement positive en posant :
Comme , on sait que est une fonction de classe sur .
12. En utilisant une intégration par parties, démontrer l'égalité :
  1. Calculer la valeur de .
  2. En déduire la valeur de pour tout entier naturel non nul.
  3. Justifier que la fonction admet au moins un zéro situé dans l'intervalle . On citera explicitement le théorème utilisé.
  4. Justifier que la fonction est une fonction convexe sur l'intervalle .
  5. Justifier que la fonction admet un unique zéro, noté , dans l'intervalle et que la fonction admet un minimum global en .
  6. Représenter le graphe de la fonction sur .

Partie V

Soit un intervalle de . Une fonction , définie sur l'intervalle et à valeurs dans l'intervalle , est dite -convexe si
La fonction est donc -convexe si et seulement si la fonction est convexe.
19. Soit un nombre réel. Justifier le fait que la fonction est ln-convexe sur .
20. Soit une fonction de l'intervalle à valeurs dans l'intervalle -convexe. Démontrer que est convexe. La réciproque est-elle vraie? Si oui, on justifiera précisément sa réponse et si non, on donnera un contre-exemple.
21. Soit une fonction de l'intervalle à valeurs dans l'intervalle . On suppose que, pour tout nombre réel strictement positif, la fonction définie pour dans par est convexe.
Soient dans , et dans .
(a) Justifier .
(b) Soit la fonction définie pour dans par : .
i. Déterminer la limite de lorsque tend vers .
ii. On admet que la fonction est de classe sur et un calcul élémentaire qu'on ne demande pas de faire montre que sa fonction derivée s'annule en un unique nombre réel en changeant de signe, le nombre vérifiant la relation :
Démontrer que .
iii. Etablir le tableau de variations de . Que représente le point pour la fonction ?
(c) Justifier que est -convexe.
22. Soient et des nombres réels strictement positifs. On note la fonction de la variable réelle définie pour dans par :
Démontrer que est convexe sur l'intervalle .
23. En déduire que la fonction est -convexe sur .

Partie VI

Soit une fonction définie sur l'intervalle et à valeurs dans telle que :
  • est une fonction ln-convexe
    ,
    .
On pose .
24. Exprimer en fonction de l'entier naturel .
25. Soient dans et dans .
(a) Justifier les inégalités :
(b) En déduire que
Soit dans et soit dans . On pose :
Soit dans .
26. Démontrer pour un entier :
  1. On se propose de démontrer que la suite converge vers lorsque tend vers .
    (a) Soit dans . Justifier que .
    (b) Etudier le sens de variation de la suite .
    (c) Conclure.
  2. En déduire que .
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