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E3A Mathématiques A MP 2010
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Algèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensRéductionTopologie/EVN
Concours ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - ARCHIMEDE
Épreuve de Mathématiques A MP
Durée 4 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
L'usage de calculatrices est interdit.
Questions de cours
- Donner la définition de deux normes équivalentes sur un espace vectoriel normé
. - On prend
et on rappelle que les applications
sont des normes sur
Prouver, par un calcul explicite, que
3. Dans
4. Soit
Prouver, par un calcul explicite, que
3. Dans
4. Soit
Peut-on trouver
Dans l'affirmative, donner une valeur de
5. Citer sans démonstration trois conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un endomorphisme d'un espace vectoriel normé soit continu.
6. Caractériser les endomorphismes continus de
Dans l'affirmative, donner une valeur de
5. Citer sans démonstration trois conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un endomorphisme d'un espace vectoriel normé soit continu.
6. Caractériser les endomorphismes continus de
Partie 1.
L'espace
L'espace
L'espace
- Vérifier que
est une matrice orthogonale. - Reconnaître la nature géométrique de l'endomorphisme
. - Montrer que
est diagonalisable dans . - On rappelle que si
est un endomorphisme continu de , la norme de l'endomorphisme est définie par :
4.1 Vérifier que
4.2 Soit
5. On définit dans
4.2 Soit
5. On définit dans
Prouver que la suite
6. Soit
6.1 Déterminer
6.2
6.3 Prouver que
6.4 En déduire que, pour tout
6. Soit
6.1 Déterminer
6.2
6.3 Prouver que
6.4 En déduire que, pour tout
6.5 On pose pour tout
Montrer que
Partie 2.
On prend dans cette partie
Pour toute matrice
Pour toute matrice
- Vérifier que ||| ||| est une norme sur
. - Quelques propriétés de la matrice
.
2.1 Montrer queest une matrice symétrique réelle dont les valeurs propres sont positives ou nulles.
Etudier le cas où
2.2 On note
2.2 On note
Soit
2.3 Montrer que
2.4 Prouver enfin que
3. On suppose dans cette question que
3.1 Calculer
3.2 Dans quel cas la suite
3.3 On suppose que
2.3 Montrer que
2.4 Prouver enfin que
3. On suppose dans cette question que
3.1 Calculer
3.2 Dans quel cas la suite
3.3 On suppose que
Expliciter pour tout
4. On suppose dans cette question que
4.1 Calculer
4.2 Dans quel cas la suite
4.3 On suppose que
4. On suppose dans cette question que
4.1 Calculer
4.2 Dans quel cas la suite
4.3 On suppose que
Partie 3.
On suppose dans cette partie que
On pose
On pose
- Montrer que:
. - Justifier le fait que
. Exprimer l'endomorphisme en fonction de . - Soit
fixé.
3.1 Déterminer en fonction de, une constante positive telle que: .
3.2 En déduire que la suiteconverge vers . - Montrer alors que la somme
est directe c'est-à-dire que . - Préciser
. - Prouver alors que la suite
converge simplement sur vers le projecteur sur ker parallèlement à .
Partie 4.
On suppose dans cette partie que
On garde les notations définies dans la partie 3.
- La suite des itérés de
est-elle bornée? - Prouver que:
. - On note
l'adhérence de et on prend .
3.1 Prouver que pour tout entier naturelnon nul, il existe tel que :
3.2 Démontrer que la suite
4. Prouver que la somme
5. Soit
5.1 Démontrer que:
5.2 En déduire que
5.3 Prouver enfin que
6. Pour tout
6.1 Prouver que la suite
6.2 Vérifier que
6.3 En déduire que
4. Prouver que la somme
5. Soit
5.1 Démontrer que:
5.2 En déduire que
5.3 Prouver enfin que
6. Pour tout
6.1 Prouver que la suite
6.2 Vérifier que
6.3 En déduire que
Partie 5.
On prend dans cette partie pour
On considère alors l'application
- Vérifier que
est un endomorphisme de . - Prouver que
. - Préciser
où . - Montrer que
est constitué des suites telles que la suite définie par :
soit bornée.
5. Peut-on construire un exemple tel que
5. Peut-on construire un exemple tel que