J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

E3A Mathématiques A PC 2006

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Algèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Séries entières (et Fourier)Probabilités finies, discrètes et dénombrementPolynômes et fractions
Logo e3a
🔗 Explorer
Banque
E3A
Année
2006
Filière
PC
Matière
Maths
E3A PCE3A 2006PC MathsMaths 2006
2025_08_29_a6179d6dd5a88ffa9e7cg

Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques A PCdurée 4 heures

Abstract

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé

partie I

Un entier naturel étant fixé, on note le -espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et le sous-espace vectoriel des polynômes de degré au plus .
On définit alors pour tout polynôme de :
  • le polynôme tronqué de au degré ;
  • le polynôme composé de et .
On confondra tout polynôme avec sa fonction polynomiale réelle associée : .
  1. (a) Établir que définit un projecteur de .
    (b) Déterminer l'image de .
    (c) Montrer qu'un polynôme de appartient au noyau de si et seulement si :
  1. (a) Déterminer, pour tout de une relation entre le degré de et celui de .
    (b) Prouver que définit un endomorphisme injectif de est-il surjectif?
  2. On définit maintenant un endomorphisme de en posant, pour tout :
et on note la matrice de dans la base canonique de . On remarquera que l'indice de ligne et l'indice de colonne varient de 0 à .
(a) Calculer les pour et en déduire (il s'agit d'une matrice ).
(b) Montrer que, pour tout entier naturel , la matrice est triangulaire inférieure, et expliciter son terme général lorsque .
4. (a) Inverser la matrice .
(b) Montrer que, pour tout entier naturel , la matrice est inversible. Que peut-on en conclure pour l'endomorphisme ?
(c) Montrer que la matrice inverse de , notée , est triangulaire inférieure.
5. (a) Montrer que les pour forment une base de et que est la matrice de dans cette nouvelle base .
(b) Montrer que, pour tout , lorsque tend vers .
(c) Pour tous les entiers naturels tels que et , en remarquant que , établir la relation de récurrence :
(d) Construire alors la matrice à partir de sa première colonne et de sa diagonale, en indiquant l'enchaînement des calculs.
(e) Vérifier que lorsque , on a pour tout tel que et :
où pour désigne le coefficient binomial noté parfois .
Dans le reste du problème, ce résultat sera admis pour tout entier naturel .

partie II

  1. Soit un intervalle ouvert contenant 0 et une application admettant un développement limité d'ordre en 0 , de partie régulière ; c'est-à-dire que :
(a) En utilisant éventuellement le , montrer que l'application admet en 0 un développement limité d'ordre de partie régulière , c'est-à-dire que :
(b) Si , déterminer à l'aide des notations de la partie I , un calcul matriciel fournissant directement le développement limité d'ordre de en 0 à partir du vecteur colonne formé de ; expliciter alors ce développement limité.
2. (a) Appliquer le II b pour obtenir le développement limité d'ordre 4 en 0 de l'application :
(b) Vérifier ce résultat par un calcul direct de développement limité que l'on détaillera.
3. Soit une application , somme d'une série entière de rayon de convergence , fini ou non :
(a) Déterminer le plus grand ensemble ouvert tel que, pour tout , la série numérique converge (il faudra distinguer différents cas selon les valeurs de ).
(b) Pour tout et pour tout , on pose : . Montrer que :
(Dans une telle somme, ne prend que les valeurs entières entre les bornes indiquées.)
(c) Soit, pour tout .
Pour tout et pour tout , on pose . Montrer que :
(d) Déduire de ce qui précède que, sur un intervalle à préciser, on a : . Retrouver alors le développement limité d'ordre en 0 de obtenu en II .
4. (a) En remarquant que , développer en série entière au voisinage de 0 l'application et préciser le rayon de convergence de cette série entière.
(b) Utiliser ce résultat et celui de la question II d pour évaluer, selon , les sommes :

partie III

  1. (a) Déterminer des intervalles ouverts et , contenant 0 et aussi grands que possible, tels que définisse une bijection de vers . Exprimer alors pour .
    (b) Montrer que cette fonction est développable en série entière au voisinage de 0 , et préciser le rayon de convergence de la série entière associée que l'on notera .
    (c) Montrer, à l'aide du a, que les coefficients sont les termes de la deuxième colonne de (colonne d'indice 1).
    (d) Calculer directement le développement en série entière de au voisinage de 0 et comparer les résultats obtenus à ceux résultant du .
  2. On considère maintenant l'application , définie sur le demi-plan ouvert formé des tels que et .
    On identifie à , si bien que en posant avec est aussi l'application définie sur l'ensemble des de tels que .
    (a) Établir que lorsque décrit , les solutions dans de l'équation restent symétriques par rapport à un point fixe, puis montrer ensuite que l'application définit un -difféomorphisme entre et le plan privé d'une demi-droite à préciser.
    (b) Soient dans les droites , d'équations . Montrer que ces droites ont pour images par des paraboles d'axe et toutes de même foyer , à préciser.
  3. On pose maintenant lorsque cette série converge, les étant définis au III . Montrer que, sur son disque de convergence, cette série a pour somme .
    (On pourra considérer, sans le calculer, le développement en série entière au voisinage de 0 de l'application .)
E3A Mathématiques A PC 2006 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa