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E3A Mathématiques A PC 2007
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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesSéries entières (et Fourier)Intégrales à paramètresSuites et séries de fonctions
Concours ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE
Épreuve de Mathématiques A PC
durée 4 heures
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
L'usage de la calculatrice est interdit
Problème.
- Les deux parties de ce problème et les questions dans chaque partie sont très largement indépendantes les unes des autres. Dans les rares cas où un résultat précédent est utile pour traiter une question alors l'énoncé précise clairement le numéro de la question où se trouve le résultat.
- Dans différentes questions du problème, le candidat est invité à énoncer avec soin un théorème de cours.
Dans tout le problème, on désigne par:
-
la fonction définie sur par -
la fonction définie sur par .
On note
Partie A: Etude de la fonction f .
- Solution d'une équation différentielle:
On considère l'équation différentielle
a) Après avoir déterminé les intervalles de résolution de (E), résoudre (E) sur chacun de ces intervalles.
b) Montrer que (E) possède une unique solution (dérivable) sur
2) Etude defen 0 :
a) Donner le développement limité à l'ordre 2 en 0 de la fonction :
b) Peut-on déduire du développement limité du a), sans nouveaux calculs, que : (justifier avec soin)
a) Après avoir déterminé les intervalles de résolution de (E), résoudre (E) sur chacun de ces intervalles.
b) Montrer que (E) possède une unique solution (dérivable) sur
2) Etude defen 0 :
a) Donner le développement limité à l'ordre 2 en 0 de la fonction :
b) Peut-on déduire du développement limité du a), sans nouveaux calculs, que : (justifier avec soin)
- f est continue en 0 ?
- f est dérivable en 0 et la valeur de
? - f est deux fois dérivable en 0 et la valeur de f "(0) ?
c) Montrer que f est de classesur .
d) Donner une équation de la tangente T à () au point d'abscisse 0 et préciser la position de (C) par rapport à au voisinage de 0 .
- Variations de
.
On considère la fonction définie sur
a) Dresser le tableau de variations complet de g et donner le signe de g.
b) Donner les variations de f.
c) Donner les limites de
d) Donner l'allure de (
4) Expression hyperbolique de
a) Montrer que
b) Soit la fonction
i) Montrer que
ii) Montrer que
iii) Quelle propriété géométrique peut on en déduire pour (
5) Intégrale impropre associée àf:
a) Montrer que
b) Justifier l'existence de
c) On pose
d) Enoncer le théorème d'intégration terme à terme d'une série de fonctions sur un intervalle I quelconque.
e) En déduire que
a) Dresser le tableau de variations complet de g et donner le signe de g.
b) Donner les variations de f.
c) Donner les limites de
d) Donner l'allure de (
4) Expression hyperbolique de
a) Montrer que
b) Soit la fonction
i) Montrer que
ii) Montrer que
iii) Quelle propriété géométrique peut on en déduire pour (
5) Intégrale impropre associée àf:
a) Montrer que
b) Justifier l'existence de
c) On pose
d) Enoncer le théorème d'intégration terme à terme d'une série de fonctions sur un intervalle I quelconque.
e) En déduire que
Partie B : Développement en série entière de f:
- Un développement en série de Fourier:
On considère
-
est périodique. - Si
.
a) Donner l'allure du graphe deest-elle continue sur ?
b) Si, montrer, par exemple en utilisant une double intégration par parties, que .
c) Calculer pour, les coefficients réels et de la série de Fourier associée à .
d) Enoncer les théorèmes de convergence simple et normale pour les séries de Fourier. La série de Fourier deconverge-t-elle simplement vers sur ? converge-t-elle normalement vers sur ?
e) En déduire que :. (on pourra poser ).
- Etude d'une série entière:
On considère :
- la série numérique
pour avec . - la série entière,
où et si , on note la somme partielle suivante: . - la série de fonctions définie pour
par .
a) Montrer que la série de fonctions définissantconverge normalement sur .
b) Enoncer le théorème de comparaison série-intégrale, en déduire l'existence depour tout avec et pour :
En déduire que
c) Montrer que pour tout
d) En intervertissant soigneusement deux sommes, montrer pour
c) Montrer que pour tout
d) En intervertissant soigneusement deux sommes, montrer pour
En déduire que:
e) En déduire que les fonctions
3) Développement en série entière de f:
a) Rappeler la définition d'une fonction développable en série entière en 0 .
b) En utilisant B)1)e) et B)2)e) montrer que la fonction t est développable en série entière en 0.
c) En déduire en utilisant la question A)4)b)i) que la fonction
d) Montrer que la fonction
e) Application: Déduire de la question A)2)a) la valeur de
e) En déduire que les fonctions
3) Développement en série entière de f:
a) Rappeler la définition d'une fonction développable en série entière en 0 .
b) En utilisant B)1)e) et B)2)e) montrer que la fonction t est développable en série entière en 0.
c) En déduire en utilisant la question A)4)b)i) que la fonction
d) Montrer que la fonction
e) Application: Déduire de la question A)2)a) la valeur de
Remarque: On peut obtenir ainsi en poursuivant le développement limité de f, les valeurs de