Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

Exercice I :

Déterminer le rayon de convergence strictement positif de la série entière .
a) Calculer où est un entier naturel.
b) En déduire, en justifiant avec soin, la permutation des symboles et , la somme lorsque appartient à l'intervalle .
(Il pourra être utile pour les calculs de poser : )
Montrer que la série est convergente et calculer sa somme : .

Exercice II :

Soit

un entier strictement positif,

une matrice carrée d'ordre

à coefficients complexes. On définit deux matrices

carrées d'ordre

à coefficients complexes par :

Première partie.

Dans cette partie, on suppose que les deux matrices

sont semblables, c'est à dire qu'il existe une matrice

inversible d'ordre

à coefficients complexes vérifiant l'égalité :

Soit un polynôme à coefficients complexes. Montrer que:

où

est le polynôme dérivé du polynôme

.
2) On note

le polynôme minimal de la matrice

, c'est à dire le polynôme unitaire annulateur de la matrice

de plus petit degré

strictement positif. On pose

.
Déterminer la matrice

pour

entier naturel, en déduire la matrice

,
3) Établir l'égalité :

, où

est le polynôme dérivé du polynôme

.
4) En déduire que la matrice

est nilpotente, c'est à dire qu'il existe un entier

tel que

Deuxième partie.

Dans cette partie, on suppose que la matrice

carrée d'ordre

à coefficients complexes vérifie la propriété suivante :

Montrer que la matrice est semblable à la matrice .
Déterminer une matrice diagonale d'ordre telle que :

Déterminer une matrice carrée d'ordre n telle que : .
Calculer le produit matriciel , désigne la matrice identité d'ordre .
Montrer que les matrices et sont semblables.

Exercice III :

On considère, trois réels

non nuls et la quadrique (

) dont une équation est

dans un repère orthonormé

d'un espace affine de dimension trois.

a) Montrer que les plans ( ) et ( ) d'équations respectives et sont orthogonaux.
b) On note et les deux vecteurs unitaires, d'abscisses positives, normaux respectivement aux plans et . Déterminer les vecteurs et ainsi que le vecteur tel que le repère soit orthonormé direct.
c) Déterminer une équation de la quadrique ( ) dans le repère . On notera et les coordonnées d'un point dans le repère .
d) Que peut-on dire de la nature de la quadrique ( )?
On note la conique obtenue comme intersection de la quadrique ( ) avec le plan d'équation dans le repère .
Réduire l'équation de la conique . En déduire qu'il existe un repère orthonormé tel que l' équation dans le repère de la quadrique ( ) soit de la forme :

avec

. Les coordonnées d'un point

dans le repère

sont notées

.
3) Soit

un réel quelconque, on appelle (

) le plan dont une équation dans le repère

est :

a) En considérant l'expression :

montrer que l'intersection (

) du plan (

) et de la quadrique (

) est l'intersection du plan (

) avec une sphère (

) dont on précisera le centre

et le rayon

.
b) Montrer que l'ensemble (

) est un cercle dont on précisera le rayon.
c) Que peut-on dire du rayon du cercle

? Pouvait-on le prévoir?