Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

On s'intéresse à l'équation différentielle ( ) suivante :

et préciser sur quel intervalle ce développement est valable.
b. Donner une condition nécessaire et suffisante sur les coefficients pour que la somme soit solution de ( ) sur ] - 1,1 [.
c. On suppose la condition précédente satisfaite, démontrer qu'alors :

d. Démontrer que la suite ( ) est bornée et justifier la relation .
2. Démontrer que pour , la fonction :

est intégrable sur .
On définit une fonction sur en posant :

et expliciter les coefficients à l'aide des intégrales pour .
4. Démontrer que est dérivable sur et calculer pour .
5. En déduire une expression de ! à l'aide des intégrales .

On étudie dans cet exercice des équations de la forme :

où l'inconnue est une matrice carrée de taille à coefficients réels ( ), et sont deux paramètres réels et désigne la matrice identité de taille .

Démontrer que si est solution de l'équation ( ) alors toute matrice est également solution.

Dans la suite, les ensembles de solutions des équations ( ) pourront être écrits sous la forme d'une réunion d'ensembles .
2. On considère dans cette question l'équation :

avec et deux réels distincts.
a. Démontrer que toute solution de l'équation est diagonalisable (on énoncera complètement le théorème utilisé).
b. Déterminer les solutions de l'équation .
3. On considère dans cette question l'équation ( ) (c'est à dire l'équation ).
a. On considère l'endomorphisme de canoniquement associé à la matrice . Démontrer que .
b. Énoncer précisément le théorème du rang.
c. Démontrer que .
d. On pose . Démontrer qu'il existe base de telle que la matrice de dans soit de la forme :

e. En déduire les solutions de l'équation ( ).
4. On considère dans cette question l'équation :

avec un réel.
a. Démontrer que toute solution peut s'écrire avec et .
b. En déduire les solutions de l'équation ( ).
5. Démontrer que si est impair, l'équation n'a pas de solution dans .
6. On considère l'équation ( ) (c'est à dire l'équation ). On suppose que est pair et on note .
a. Démontrer que la matrice est diagonalisable sur .
b. Démontrer qu'il existe telle que :

c. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation ( ).

Soit un entier, . On note l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à . Pour , on pose:

On considère dans la suite l'espace euclidien associé au produit scalaire . La norme euclidienne de est notée .
2. Démontrer que est un endomorphisme de .
3. Rappeler les définitions de l'adjoint d'un endomorphisme d'un espace euclidien et d'un endomorphisme symétrique d'un espace euclidien.
4. Démontrer que est un endomorphisme symétrique de .
5. Déterminer ker et en déduire le rang de .
6. On suppose, dans cette question seulement, que et on définit le polynôme .
a. Déterminer le projeté orthogonal de sur .
b. Déterminer .
c. Résoudre l'équation d'inconnue .
7. On définit une suite de polynômes en posant et :

(c'est à dire : est la dérivée -ième de ).
a. Calculer les polynômes et .
b. Déterminer le degré de .
c. À l'aide de la formule de Leibniz, exprimer les polynômes :

à l'aide des polynômes et .
d. Démontrer que pour , on a :

e. À l'aide de la relation précédente, démontrer que est un vecteur propre de (on précisera la valeur propre associée).
f. Démontrer que est une base orthogonale de .