Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit

Exercice I :

On note

l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients complexes, le polynôme caractéristique d'une matrice

est noté

, le polynôme minimal de la matrice

est noté

On appelle commutant de la matrice

, l'ensemble

des matrices de

, qui commutent avec la matrice

On suppose dans tout cet exercice que :

pour une matrice

On suppose dans cette question que est à racines simples et .
a) Montrer que la matrice est diagonalisable.
b) Soit une matrice de qui commute avec la matrice , montrer que la matrice est diagonalisable.
c) Montrer qu'il existe un polynôme de vérifiant

où

sont les valeurs propres de la matrice

.
d) En déduire que le polynôme

vérifie l'égalité :

e) En déduire le commutant de la matrice

.
2) On suppose, dans cette question, qu' il existe un nombre complexe

tel que :

. On note

l'endomorphisme de

, tel que la matrice de

dans la base canonique de

soit la matrice

.
a) Montrer que l'endomorphisme

est nilpotent d'indice 3 , c'est à dire vérifiant les relations suivantes :

.
b) Montrer qu'il existe un vecteur

tel que la famille (

) soit une base

.
c) Soit

une matrice de

qui commute avec la matrice

. On appelle

l'endomorphisme de

tel que la matrice de

dans la base canonique de

soit la matrice

et on note

où

sont trois nombres complexes. Déterminer, en fonction de

, la matrice de

dans la base

.
d) Montrer qu'il existe un polynôme

vérifiant :

e) En déduire le commutant de la matrice

.
3) On suppose, dans cette question, qu'il existe deux nombres complexes distincts,

tels que:

a) Montrer que :

b) Montrer qu'il existe une base

telle que la matrice de

dans la base

soit de la forme

avec

désigne la matrice

est une matrice appartenant à

, nilpotente d'indice 2 , c'est à dire vérifiant les propriétés suivantes :

c) On considère la matrice

où

, on suppose que les matrices

commutent.

) Montrer que :

) Montrer qu'il existe un polynôme

vérifiant

Montrer qu'il existe un polynôme

tel que

En déduire que

.
d) Déterminer le commutant de la matrice

Exercice II :

On rappelle que la fonction

est définie sur

, on donne

.
La fonction cosinus hyberbolique est notée ch, elle est définie sur

par :

On admet l'égalité suivante :

Pour tout , on note .
a) Montrer que 1 'application est bornée sur .
b) Montrer que l'application définie sur , est prolongeable par continuité en 0.
c) En déduire que l'application est bornée sur .
d) Calculer l'intégrale , en effectuant le changement de variable .
En déduire un équivalent de l'intégrale quand tend vers 0 par valeurs positives.
Montrer que, pour tout entier naturel non nul, on a :

Pour tout entier supérieur ou égal à 1 et pour tout réel , on note : .
a) Calculer, pour tous réels et , la somme . (On pourra remarquer que est la partie imaginaire du nombre complexe )
b) En utilisant l'égalité, , montrer que la suite est convergente pour tout réel élément de et que l'on a l'égalité suivante :

En déduire un équivalent de la somme de la série quand tend vers 0 par valeurs positives.

Exercice III :

Soit

un espace euclidien de dimension 3 muni d'un repère orthonormé

Quelle est la nature de la quadrique d'équation dans le repère ?

2 ) On considère le solide

défini dans le repère

, par les équations

.
a) Soit

un nombre réel. Décrire précisément la nature géométrique de l'intersection de

avec le plan d'équation

, selon la valeur de

.
b) Déterminer le volume de

.
3) Soit

la portion de surface définie dans le repère

par les équations :

Déterminer l'aire de