Si , au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Soit , et l'espace vectoriel complexe , muni de la base canonique . Soit un endomorphisme de .
) a) Montrer que si est diagonalisable, alors est aussi diagonalisable.
b) Que pensez-vous de la réciproque en général si ? Pour répondre à cette question, on pourra considérer tel que , et .
) On suppose dans cette question que est bijectif.
a) Montrer que pour tout , on a :

Indication : On pourra écrire sous la forme .
b) Montrer que si est une valeur propre de , alors est une valeur propre de .
c) Montrer que si est diagonalisable, alors est somme directe de sous-espaces propres de , et en déduire que est diagonalisable.
) Soit

On note l'endomorphisme de , de matrice relativement à la base canonique de .
a) Calculer la matrice .
b) Calculer le rang de .
c) Montrer que est diagonalisable et en donner les éléments propres.
d) Étudier si est diagonalisable.

Le plan affine euclidien est assimilé à , muni de son produit scalaire canonique noté . et de la norme euclidienne associée notée . est alors une base orthonormale directe de .

Pour tout réel , on note :

Soit enfin .
) On se propose dans cette question de représenter la courbe d'équation polaire avec .
a) Déterminer les valeurs de dans pour lesquelles .
b) Calculer la dérivée de et déterminer les valeurs de dans pour lesquelles .
c) Expliciter les tangentes à aux points et .
d) Représenter . On fera apparaître sur le dessin les tangentes aux points et .
) On se propose dans cette question de déduire la représentation de la courbe de celle de la courbe . On note la symétrie orthogonale par rapport à la droite d'équation et la rotation d'angle .
a) Soit . Exprimer l'image par du point . En déduire l'équivalence

b) Soit . Exprimer l'image par du point . En déduire l'équivalence

c) Représenter : On utilisera pour représenter et et pour conclure.
) Soit , où l'on a noté le groupe des transformations orthogonales de .
a) On note le cercle centré en l'origine de rayon 3. Expliciter .
b) Soit . Montrer que est un élément de .
c) Soit une rotation dans . En distinguant selon la valeur de , déterminer l'angle de . Quelles sont les rotations de ?
d) Quelles sont, dans , les symétries orthogonales par rapport à une droite ?
e) Décrire tous les éléments de . Quel est le cardinal de ?

Soit l'application définie sur , et pour .
) a) Montrer que est de classe sur .
b) Montrer que est solution sur de l'équation différentielle :

c) Pour tout dans , démontrer que : .
) Soit pour .
a) Montrer que est de classe sur , et donner une relation entre et .
b) Pour tout , donner le développement en série entière de sur .
c) Montrer que est développable en série entière sur . On précisera bien le théorème du cours utilisé. On écrira ce développement sous la forme , en exprimant sous forme d'une intégrale que l'on ne cherchera pas à calculer en général.
d) Calculer .
e) Exprimer, selon la parité de l'entier naturel , le signe de .
f) Montrer que pour tout et , on a : . Pour cela, on pourra considérer et utiliser le résultat de la question ).
g) En déduire la convergence de la série .
) a) Montrer que pour tout , on a :

b) En considérant , montrer que pour tout on a aussi :

c) Trouver ainsi la valeur de en utilisant ) d).
Justifier les égalités : .