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E3A Mathématiques B PC 2007

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GéométrieRéductionIntégrales à paramètresAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
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Banque
E3A
Année
2007
Filière
PC
Matière
Maths
E3A PCE3A 2007PC MathsMaths 2007
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CONCOURS ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Mathématiques B PC
durée 3 heures

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de la calculatrice est interdit

EXERCICE 1

On considère l'espace vectoriel réel rapporté à sa base canonique .
On considère un endomorphisme de tel que: (endomorphisme . On pose .
  1. a) Montrer que si le réel est valeur propre de , alors .
    b) Soit la matrice de dans la base . Montrer que si le complexe est valeur propre de , alors . En déduire les valeurs possibles du polynôme caractéristique de , défini par .
    c) En déduire les quatre valeurs possibles du polynôme caractéristique de .
    d) Soit . Déterminer le reste de la division euclidienne de par le polynôme (on pourra utiliser le polynôme , dérivé de ). En déduire l'expression de au moyen de et .
  2. On suppose dans cette question seulement que est diagonalisable.
    a) Montrer alors que et sont des projecteurs. Que valent alors les espaces et .
    b) Déterminer quatre matrices diagonales: , telles que soit de rang , et telles que soit nécessairement semblable à l'une de ces quatre matrices.
  3. a) Grâce à la division euclidienne de par , en déduire un polynôme tel que: .
    b) Vérifier que: .
    c) Justifier que: et .
    d) Montrer que: .
  4. On suppose dans cette question que et sont tous les deux de dimension 1.
    a) Quelle est la dimension de ?
    b) Justifier que contient , et est de dimension 2.
    c) Grâce à 3 ), justifier l'existence d'une base . de dans laquelle la matrice de soit
  5. Déterminer dans les deux cas suivants, la valeur du polynôme caractéristique de , et si est semblable ou non à l'une des cinq matrices .
    a) Premier exemple: .
    b) Deuxième exemple: .

EXERCICE 2

On considère pour tous réels et .
  1. On considère l'espace euclidien orienté , muni de son produit scalaire canonique, tel que la base canonique soit orthonormale directe.
Soit: .
a) Soit et . Déterminer l'intersection: .
b) Pour , on note:
Comparer avec : on précisera si l'on a une inclusion ou une égalité.
c) Etudier la courbe paramétrée : établir un tableau de variations et préciser l'étude d'éventuelles branches infinies.
d) Donner l'allure de la courbe .
e) Donner une représentation polaire de la courbe .
On notera selon l'usage , et on calculera tel que soit sur , pour des valeurs de que l'on précisera.
f) Déterminer deux (différentes) transformations orthogonales telles que . On justifiera la réponse.
2) On considère l'espace euclidien orienté , muni de son produit scalaire canonique, tel que la base canonique soit orthonormale directe.
On note ici:
a) Que représente vis-à- vis de la surface ?
b) Soit avec . Déterminer la projection orthogonale de sur la droite . En déduire la distance euclidienne de à la droite .
c) Soit dans , et toujours . Déterminer à quelles conditions et ont la même projection orthogonale sur , et sont à la même distance euclidienne de .
En déduire une équation cartésienne de la surface décrite alors par ces points lorsque décrit (on pourra calculer et ).
d) Déterminer une équation dans du plan tangent à au point avec .
Dans quels cas, ce plan est-il horizontal (d'équation de la forme )?

EXERCICE 3

Pour tous réels et , on note .
Soit , pour réel.
  1. a) Justifier que est de classe sur , et préciser l'expression et le signe de pour tout réel .
    b) Montrer que pour tout , on a: .
    c) En déduire une majoration de pour , et une minoration de pour .
    d) Déterminer: .
    e) Préciser les variations de et donner l'allure de sa représentation graphique.
  2. a) Pour tout fixé, préciser le développement en série entière de: .
    b) En déduire que est développable en série entière sur ; on précisera bien le théorème utilisé. On écrirera ce développement sous la forme , et on exprimera au moyen de (que l'on ne cherchera pas à calculer).
    c) Justifier que est de classe sur et vérifie:
d) En déduire une relation entre et pour , et retrouver cette formule grâce à une intégration par parties.
e) Déterminer toutes les solutions développables en série entière sur de l'équation différentielle:
Comment détermine-t-on parmi toutes ces solutions?
f) Quels résultats du cours peut-on appliquer concernant l'ensemble des solutions réelles de cette équation différentielle ( ) sur l'intervalle .
3) Soit . Grâce à l'encadrement de 1)b), déterminer un encadrement de est-elle intégrable sur ?
4) Soit fixé, et .
a) Justifier que est développable en série de Fourier: on précisera bien les résultats du cours que l'on peut lui appliquer.
b) Pour , on pose . Que représente ce nombre complexe? Ecrire l'égalité de Parseval pour , en utilisant les nombres .
c) Grâce à 2)a, justifier que l'on peut écrire comme somme d'une série.
d) Pour et , calculer: sous forme d'une somme ; pour cela, on développera . En déduire une expression de .
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