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E3A Mathématiques B PC 2010
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GéométrieFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Nombres complexes et trigonométrie, calculs, outilsIntégrales généraliséesRéduction
CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - ARCHIMEDE
Épreuve de Mathématiques B PC
Durée 3 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
L'usage de calculatrices est interdit.
Exercice 1
- Calculs préliminaires
a) Montrer que pour tout:
b) Soit
i) Montrer que la fonction
ii) Montrer que
iii) Montrer que
2) On pose
ii) Montrer que
iii) Montrer que
2) On pose
a) Montrer que
b) Pour tout
b) Pour tout
i) Montrer, et justifier leur convergence, que
ii) Montrer qu'il existe deux constantes C et D que l'on déterminera telle que :
la fonction
iii) En déduire la valeur de
iii) En déduire la valeur de
Exercice 2
Soit
L'identité sur
L'identité sur
Préliminaires
- Pourquoi la matrice dans la base
de et la base canonique (1) de de la forme linéaire :
est la matrice ligne
2) Soit
a) Montrer que
b) Montrer que
c) Montrer que
3) Il existe un plan de
2) Soit
a) Montrer que
b) Montrer que
c) Montrer que
3) Il existe un plan de
Exemple numérique
Soit
4) Recherche des sous-espaces-vectoriels de
a) Montrer que 2 et 4 sont valeurs propres de
b) Quelles sont les droites vectorielles de
c) Déterminer les plans vectoriels de
5) Etude de
a) Montrer qu'il existe une base
b) Montrer que si
c) Montrer que
4) Recherche des sous-espaces-vectoriels de
a) Montrer que 2 et 4 sont valeurs propres de
b) Quelles sont les droites vectorielles de
c) Déterminer les plans vectoriels de
5) Etude de
a) Montrer qu'il existe une base
b) Montrer que si
c) Montrer que
d) En déduire que
Exercice 3
Le plan est rapporté à un repère orthonormal
- Etude d'un exemple :
. Montrer que est une ellipse dont on donnera le centre, les sommets, les tangentes aux sommets et les axes. Tracer la courbe dans le repère ( ). - a) Montrer que toutes les coniques
, obtenues lorsque parcourt , passent par les points et et que ce sont leurs seuls points communs.
b) Déterminer la tangente àen ainsi qu'en . Etudier le cas particulier . - a) A quelle condition nécessaire et suffisante portant sur
la conique est-elle du type ellipse? Cette ellipse peut-elle être dégénérée? peut-elle être un cercle?
b) A quelle condition nécessaire et suffisante portant surla conique est-elle du type hyperbole?
c) Quelles sont les valeurs depour lesquelles la conique est une parabole éventuellement dégénérée? - Soit
la courbe paramétrée par
a) Montrer queadmet une unique direction asymptotique d'équation, , puis que est une parabole obtenue à la question )c). Donner la direction de son axe.
b) Quels sont les coordonnées du point de la paraboleen lequel la tangente est perpendiculaire à l'axe? Donner les coordonnées du sommet de la parabole . Tracer .
c) Soit le réel, et le point de paramètre de la parabole . La tangente en à coupe l'axe en et l'axe en . Les perpendiculaires à l'axe en et à l'axe en se coupent en . Quel est l'ensemble des points lorsque parcourt ?
d) En admettant que la directrice de la parabole est l'ensemble des points par lesquels passent deux tangentes à la parabole perpendiculaires entre elles, montrer que la directrice de la parabolepasse par le point et déterminer les coordonnées du foyer . Que remarque-t-on?