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E3A Mathématiques B PC 2014
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Algèbre généraleAlgèbre linéaireGéométrieFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variables
CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH
Épreuve de Mathématiques B PC
Durée 3 h
Si , au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
L'usage de calculatrices est interdit.
AVERTISSEMENT
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
Exercice I
Pour
- Montrer que l'on a :
.
Donner une interprétation géométrique de ce résultat.
2. (a) Soit
(b) En déduire que le résultat de 1 . est vérifié pour tout
3. Soit
2. (a) Soit
(b) En déduire que le résultat de 1 . est vérifié pour tout
3. Soit
On considère l'application
On note
4. Démontrer que
5. Donner la matrice
6. La matrice
7. Que vaut le déterminant de
8. Soit
On note
4. Démontrer que
5. Donner la matrice
6. La matrice
7. Que vaut le déterminant de
8. Soit
Exercice II
Le plan
On considère dans
- (a) Donner la nature de la conique
puis, en déterminer l'axe focal, le ou les sommets, le centre éventuel et les asymptotes éventuelles.
(b) Représenter. - Soit
un point de de coordonnées ( ) dans . Montrer que:
- Préciser les éventuelles symétries de l'ensemble
. - (a) Montrer que, pour
est une équation polaire de dans le quart de plan et .
(b) Etudier puis représenter. - On considère la fonction
définie sur par
En identifiant
(a) Montrer que l'image de
(b) Montrer que l'image de
6. On note
(a) Montrer que l'image de
(b) Montrer que l'image de
6. On note
(a) Montrer que les ensembles
(b) Calculer le gradient de
(c) En déduire qu'en un point d'intersection de
(d) Représenter les ensembles
(b) Calculer le gradient de
(c) En déduire qu'en un point d'intersection de
(d) Représenter les ensembles
Exercice III
On s'intéresse dans cette exercice à la résolution du problème de Dirichlet suivant :
Etant donné une fonction
avec
Une fonction
Une fonction
On notera
- Soient
et les fonctions définies et pour . Calculer et vérifier que est solution du problème de Dirichlet avec pour condition au bord. - Soit
la fonction définie par pour .
(a) Vérifier queest solution du problème de Dirichlet avec une condition au bord à préciser.
(b) Montrer que, pour(on pourra utiliser le développement en série entière de l'exponentielle).
(c) Soientet tel que le cercle de centre ( ) et de rayon soit inclus dans le demi-plan . Déduire de la question précédente :
On se donne, pour toute la suite de l'exercice, une fonction
3. (a) Enoncer le résultat de cours donnant la convergence normale de la série de Fourier d'une fonction vérifiant certaines hypothèses à préciser.
(b) Vérifier que la série de Fourier de
(c) Soit
3. (a) Enoncer le résultat de cours donnant la convergence normale de la série de Fourier d'une fonction vérifiant certaines hypothèses à préciser.
(b) Vérifier que la série de Fourier de
(c) Soit
On note alors, pour
4. (a) Soit
(b) Soit
5. Montrer que
6. (a) Justifier, pour tout
(b) On note
4. (a) Soit
(b) Soit
5. Montrer que
6. (a) Justifier, pour tout
(b) On note
Montrer que:
(c) Calculer la solution du problème de Dirichlet construite à la question 5, avec
7. On revient au cas général et l'on considère
(c) Calculer la solution du problème de Dirichlet construite à la question 5, avec
7. On revient au cas général et l'on considère