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E3A Mathématiques B PSI 2014

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RéductionFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales à paramètresTopologie/EVNNombres complexes et trigonométrie, calculs, outils
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Banque
E3A
Année
2014
Filière
PSI
Matière
Maths
E3A PSIE3A 2014PSI MathsMaths 2014
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Épreuve de Mathématiques B PSI

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Exercice 1.

Dans tout l'exercice, désigne l'espace vectoriel normé des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients réels.
est la matrice unité :
Soit .
  1. Citer le Théorème de Cayley-Hamilton.
En déduire un polynôme non nul annulateur de la matrice .
2. La matrice est-elle diagonalisable dans ? Dans ? Justifier vos réponses.
3. Soit . Calculer .
4. Démontrer que le sous-espace vectoriel de engendré par les puissances de la matrice est de dimension finie.
Exhiber une base de constituée de puissances successives de la matrice .
5. Soit .
On pose, pour tout entier naturel non nul :
Justifier que .
Donner les composantes de dans la base obtenue à la question précédente.
6. Démontrer que existe.
7. Vérifier que et donner ses composantes dans la base .
8. Soit la base canonique de l'espace euclidien orienté usuel.
Démontrer que est la matrice dans d'une rotation vectorielle dont on précisera les éléments caractéristiques.
9. Déterminer les valeurs du réel pour lesquels est la matrice d'une symétrie vectorielle.

Exercice 2.

Préliminaires

  1. Démontrer que : .
On pourra admettre, dans tout le problème et sans le démontrer, le résultat suivant valable lorsque tend vers
  1. Déterminer la nature de la série de terme général .
Pour tout , on pose :
  1. 1.1 Donner une représentation graphique de sur l'intervalle .
    1.2 Déterminer les coefficients réels de Fourier de .
  2. Prouver :
  1. En déduire la somme de la série .
  2. Montrer :
  1. Pour tout entier naturel non nul , on pose :
5.1 Justifier l'existence de .
5.2 Soit .
Prouver : .
5.3 Démontrer que: , la série est convergente.
5.4 En déduire que:
  1. 6.1 Soit .
Montrer que se prolonge en une application continue sur .
6.2 On note alors pour tout entier naturel non nul :
Exprimer à l'aide de et .
7. Soient, pour et pour .
7.1 Vérifier que la fonction est bien définie sur .
7.2 Trouver une relation entre et pour .
7.3 Soit la partie entière de ; vérifier que l'on a, pour assez grand :
7.4 En déduire la double inégalité :
7.5 Déterminer alors un équivalent de lorsque tend vers .
8. En déduire un équivalent simple de lorsque tend vers l'infini.

Exercice 3.

Dans tout l'exercice, désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 .

Préliminaires

  1. Soit une application de classe définie sur et à valeurs réelles.
    (a) Justifier :
(b) Prouver alors :
  1. Soient et deux fonctions continues sur et à valeurs réelles.
Prouver que :
  1. Soient :
  • et des réels tels que : et ,
  • une application continue de dans , de classe en la première variable.
    3.1 Montrer que l'application définie sur par :
possède des dérivées partielles par rapport à et à que l'on déterminera.
3.2 Soit une application de dans de classe .
Montrer en utilisant la question précédente que l'application définie sur par :
est dérivable et admet pour dérivée :

Partie 1

Soient une fonction continue sur à valeurs dans et des réels fixés.
On considère l'équation différentielle :
  1. Soit . Déterminer une matrice telle que :
ù
  1. Justifier que l'équation admet une unique solution vérifiant:
  1. En déduire que :

Partie 2

Soit une fonction continue sur à valeurs dans et des réels fixés.
On considère les équations différentielles :
et
  1. Soient l'unique solution de ( ) vérifiant les conditions initiales:
et la fonction définie sur par :
  1. Soit la primitive de qui s'annule en 0 .
Montrer que :
  1. En utilisant les préliminaires, démontrer que est dérivable et que :
  1. En déduire que :
  1. On admet alors que: .
Prouver que :
  1. En déduire que est solution de .
  2. Retrouver alors le résultat obtenu à la partie 1.

Application

Soit l'équation différentielle :
où est la fonction définie sur par :
  1. Donner une représentation graphique de la fonction sur .
  2. En utilisant les résultats précédents, déterminer une solution particulière de .
On donnera les expressions de cette solution sur chacun des intervalles et .
3. Déterminer l'ensemble des solutions de ( ).

Fin de l'épreuve

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