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E3A Mathématiques PC 2022

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensSuites et séries de fonctionsIntégrales généraliséesIntégrales à paramètres
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Banque
E3A
Année
2022
Filière
PC
Matière
Maths
E3A PCE3A 2022PC MathsMaths 2022
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.

EXERCICE 1

Un sauteur tente de franchir des hauteurs successives numérotées
Il ne peut tenter de passer la hauteur que s'il a réussi les sauts aux hauteurs .
En supposant que le sauteur a réussi tous les sauts précédents, la probabilité de succès au -ième saut est : . Ainsi, le premier saut est toujours réussi.
Pour tout , on note l'évènement : «le sauteur a réussi son -ième saut» et on note la variable aléatoire réelle égale au numéro du dernier saut réussi.
  1. Rappeler sans démonstration la formule des probabilités composées.
  2. Rappeler sans démonstration le développement en série entière au voisinage de 0 de la fonction exponentielle.
  3. Déterminer l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire .
  4. Déterminer .
  5. Justifier que . En déduire .
  6. Pour tout entier , exprimer l'évènement en fonction d'évènements du type .
  7. Déterminer la loi de .
  8. Vérifier par le calcul que : .
  9. Montrer que possède une espérance et la calculer.

EXERCICE 2

Les théorèmes utilisés seront cités avec précision en s'assurant que toutes leurs hypothèses sont bien vérifiées.
Pour tout , on pose .

1. Étude de la convergence de la série de terme général

1.1. Vérifier que la suite est décroissante.
1.2. Montrer que la suite ( ) tend vers 0 .
1.3. Prouver que la série converge.

2. Calcul de la somme de cette série

2.1. Soit un réel. Linéariser .
2.2. En déduire .

2.3. Intégration terme à terme?

2.3.1. Déterminer une relation de récurrence entre et .
2.3.2. Démontrer par récurrence sur l'entier naturel que l'on a : .
2.3.3. Peut-on utiliser un théorème d'intégration terme à terme pour les séries de fonctions pour calculer la somme de la série ? On justifiera rigoureusement la réponse.
2.4. On pose, pour tout et tout et .
En appliquant le théorème de convergence dominée à la suite de fonctions , calculer la valeur de .

EXERCICE 3

Soit un entier supérieur ou égal à 3 .
On note muni de sa structure euclidienne canonique et sa base canonique.
On considère les endomorphismes et de définis par :
  1. Donner, dans la base et les matrices respectives des endomorphismes et .
  2. Justifier que et sont diagonalisables.

3. Diagonalisation de et de dans une même base

3.1. Déterminer une base de , le rang de et une base de .
3.2. Montrer que et sont supplémentaires orthogonaux dans .
3.3. Démontrer que le spectre de l'endomorphisme est : où les deux réels et sont non nuls et vérifient la relation . On choisira .
3.4. On se propose de déterminer et par deux méthodes:

3.4.1. Méthode 1

(i) Démontrer que et sont stables par .
(ii) Déterminer la matrice dans la base de l'endomorphisme de induit par .
(iii) Déterminer les valeurs propres et sous-espaces propres associés de .
(iv) En déduire, en le justifiant soigneusement, les valeurs de et .

3.4.2. Méthode 2

(i) Montrer que le spectre de est : .
(ii) Déterminer la matrice de l'endomorphisme dans la base .
(iii) En déduire, en fonction de , la valeur de .
(iv) Retrouver alors les valeurs de et obtenues par la méthode 1 .
3.5. Déterminer une matrice sous la forme telle que . On ne demande pas de déterminer .
3.6. Justifier que la matrice est diagonale.
4. Résoudre, pour réel, le système différentiel : où est la première colonne de la matrice .

EXERCICE 4

On pose pour tout réel , lorsque cela est possible, .

1. Continuité de

1.1. Montrer que l'on peut prolonger par continuité sur la fonction définie sur par :
1.2. Montrer que l'intégrale est convergente.
1.3. En déduire que la fonction est intégrable sur .
1.4. En déduire que la fonction est définie et continue sur .
2. Régularité de
2.1. Soient et deux réels strictement positifs tels que . On considère .
2.1.1. Montrer que : .
2.1.2. Montrer que : .
2.1.3. Montrer que : .
2.2. En déduire que est de classe sur et donner pour tout réel strictement positif, une expression de sous forme intégrale.
3. Une autre expression de
On note i un nombre complexe vérifiant .
3.1. Montrer que : .
3.2. En déduire que : .
3.3. Démontrer alors que : .
On pourra utiliser la formule d'Euler: .
4. Une autre expression de
4.1. Démontrer que .
4.2. Démontrer que .
4.3. Calculer la dérivée de la fonction définie sur par : .
4.4. Déterminer alors, pour tout réel strictement positif, une expression de à l'aide de fonctions usuelles.
5. Calculer alors la valeur de l'intégrale .

FIN

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