Les exercices sont indépendants. Indiquez en tête de copie le nom du logiciel ou du langage que vous utilisez.
1. Écriture des fonctions sinus et cosinus
Pour calculer les valeurs des fonctions sinus ou cosinus en un point, on peut se servir de leurs développements limités. On peut montrer que le développement limité à l'ordre 3 suffit pour calculer le sinus ou le cosinus d'un argument appartenant à près.
Si l'argument n'appartient pas à on peut utiliser les formules de base de la trigonométrie pour ramener la valeur à calculer à une expression en sinus et cosinus d'arguments appartenant à soustraction, multiplication).
1.1. Indiquer les formules trigonométriques qui permettent d'amener les calculs de et de quel que soit réel à des expressions en sinus et cosinus d'arguments appartenant à [0; 0,1].
1.2. Écrire les procédures :
sinus : paramètre x : réel;
résultat s : réel;
qui calcule \boldsymbol{\operatorname{sin}}\mathbf{x}\mathrm{ ,}
et
cosinus : paramètre x : réel;
résultat s : réel;
qui calcule \boldsymbol{\operatorname{cos}}\mathbf{x}\mathrm{ .}
2. Qu'affichera ce programme?
Soit la procédure suivante :
f : paramètre n entier;
début
si n>=0 alors
f(n-2);
afficher(n);
f(n-1)
fin si
fin
Qu'affichera l'appel à ?
3. Élévation à une puissance entière d'une matrice carrée
3.1. Écrire une procédure permettant de calculer le produit de deux matrices carrées réelles d'ordre .
3.2. Quel est, en fonction de , le nombre de multiplications élémentaires (produit de deux nombres réels) effectuées lors de ce calcul ?
3.3. Quel est le nombre de multiplications élémentaires pour une élévation à la puissance 2000 d'une matrice d'ordre 10 qui multiplie la matrice par elle-même 1999 fois?
3.4. En utilisant les relations
écrire une procédure récursive d'élévation à la puissance d'une matrice.
3.5. Quel est, en utilisant la procédure récursive précédente, le nombre de multiplications élémentaires pour une élévation à la puissance 2000 d'une matrice d'ordre 10 ?
4. Représentation graphique sur écran
Le but de ce problème est d'écrire une procédure permettant de tracer le graphe d'une fonction réelle de variable réelle dans une fenêtre d'écran d'ordinateur associée à une portion du plan euclidien.
Plan euclidien
Écran d'ordinateur
NL et NC sont respectivement le nombre de lignes et le nombre de colonnes de l'écran (par exemple, une définition d'écran de 800 sur 600 correspond à une valeur de 800 pour NC et une valeur de 600 pour NL).
Les représentations suivantes vous sont données à titre indicatif. Vous pouvez en utiliser d'autres à condition de les expliciter clairement.
Type de donnée
Représentation
point_écran
[L, C] où L et C sont de type entier et représentent la ligne et la colonne du point écran ( compris entre et compris entre et NC).
fenêtre_écran
[CSG,CID] où CSG et CID sont de type point_écran et représentent le coin supérieur gauche et le coin inférieur droit de la fenêtre.
intervalle_réel
[r1,r2] où r1 et r2 sont de type réel et représentent la borne inférieure et la borne supérieure de l'intervalle.
portion_plan
[ix,iy] où ix et iy sont de type intervalle_réel et représentent l'intervalle en et l'intervalle en de la portion rectangulaire du plan.
point_plan
[ ] où et sont de type réel et représentent l'abscisse et l'ordonnée du point.
Attention : la portion du plan est représentée par un couple d'intervalles, alors que la fenêtre d'écran est représentée par un couple de points.
4.1. Donner les formules permettant de calculer les coordonnées d'une fenêtre proportionnelle à l'écran, centrée dans l'écran et utilisant les de sa surface.
4.2. Donner les formules permettant de calculer la position absolue [ ] sur l'écran de l'image du point [ ] du plan en fonction de :
L1, C1 : ligne et colonne du coin supérieur gauche de la fenêtre
L2, C2 : ligne et colonne du coin inférieur droit de la fenêtre : les bornes en x de la portion du plan
y1, y2 : les bornes en y de la portion du plan
Dans la suite du problème nous supposerons fournie la procédure
affiche_pixel(L,C)
affichant le pixel situé à la ligne et à la colonne de l'écran.
On désire écrire la procédure qui dessine à l'écran une représentation du segment reliant et de l'écran.
Comme on ne peut dessiner des points qu'aux coordonnées entières, et que les points de l'écran ont une surface, la représentation affichée aura l'allure de l'agrandissement ci-dessus.
Si et on affichera le pixel [ ].
Si comprise entre et en déterminant de façon pertinente le correspondant.
Si on affichera un pixel pour chaque valeur de comprise entre et en déterminant de façon pertinente le correspondant.
4.3. Écrire la procédure
dessine_segment_ecran : paramètres M1, M2 : point_écran; qui relie les points M1 et M2 de l'écran.
4.4. Écrire la procédure
dessine_rectangle_ecran : paramètres CSG, CID : point_écran; qui dessine le rectangle aux côtés parallèles aux bords de l'écran ayant CSG et CID pour coin supérieur gauche et coin inférieur droit (en utilisant dessine_segment_ecran).
4.5. Écrire la procédure
dessine_rectangle_ecran2 : paramètres CSG, CID : point_écran;
qui dessine le rectangle aux côtés parallèles aux bords de l'écran ayant CSG et CID pour coin
supérieur gauche et coin inférieur droit (sans utiliser dessine_segment_ecran).
4.6. Écrire la procédure
représente_segment : paramètres m1, m2: point_plan,
p : portion_plan,
F : fenêtre_écran;
qui trace dans la fenêtre de l'écran associée à la portion de plan la représentation du segment [m1,m2].
4.7. Écrire la procédure
représente_ligne_brisee : paramètres l : liste de point_plan,
p : portion_plan,
F : fenêtre_écran;
qui trace dans la fenêtre de l'écran associée à la portion de plan la représentation de la ligne brisée joignant les points de la liste .
4.8. Écrire la procédure
représente_fonction : paramètres f : fonction réelle,
p : portion_plan,
F : fenêtre_écran,
n : entier;
qui divise l'intervalle en de la portion de plan en parties et trace dans la fenêtre de l'écran associée à la portion de plan la représentation de la ligne brisée déterminée par les points [ ].
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