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ENAC Mathématiques Sup 2000

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Equations différentiellesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Nombres complexes et trigonométrie, calculs, outilsAlgèbre linéaire
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CONCOURS DE RECRUTEMENT D'ELEVES PILOTE DE LIGNE

EPREUVE DE MATHEMATIQUES

Durée : 2 Heures
Coefficient : 1
Le sujet comprend :
  • 1 page de garde,
  • 2 pages d'instructions pour remplir le QCM,
  • 10 pages de textes, numérotées de 1 à 10 .

CALCULATRICE AUTORISEE

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

A LIRE TRÈS ATTENTIVEMENT

L'épreuve de mathématiques de ce concours est un questionnaire à choix multiple qui sera corrigé automatiquement par une machine à lecture optique.

ATTENTION, IL NE VOUS EST DÉLIVRÉ QU'UN SEUL QCM

  1. Vous devez coller dans la partie droite prévue à cet effet, l'étiquette correspondant à l'épreuve que vous passez, c'est-à-dire épreuve de mathématiques (voir modèle ci-dessous).

POSITIONNEMENT DES ÉTIQUETTES

Pour permettre la lecture optique de l'étiquette, le trait vertical matérialisant l'axe de lecture du code à barres (en haut à droite de votre QCM) doit traverser la totalité des barres de ce code.

EXEMPLES:


2) Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser un STYLO BILLE ou une POINTE FEUTRE de couleur NOIRE.
3) Utilisez le sujet comme brouillon et ne retranscrivez vos réponses qu'après vous être relu soigneusement.
4) Votre QCM ne doit pas être souillé, froissé, plié, écorné ou porter des inscriptions superflues, sous peine d'être rejeté par la machine et de ne pas être corrigé.
5) Cette épreuve comporte 30 questions, certaines, de numéros consécutifs, sont liées. La liste des questions liées est donnée au début du texte du sujet.

Chaque candidat devra choisir au plus 25 questions parmi les 30 proposées.

II est inutile de répondre à plus de 25 questions : la machine à lecture optique lira les réponses en séquence en partant de la ligne 1, et s'arrêtera de lire lorsqu'elle aura détecté des réponses à 25 questions, quelle que soit la valeur de ces réponses.

Chaque question comporte au plus deux réponses exactes.

  1. A chaque question numérotée entre 1 et 30 , correspond sur la feuille-réponses une ligne de cases qui porte le même numéro (les lignes de 31 à 100 sont neutralisées). Chaque ligne comporte 5 cases A, B, C, D, E.
    Pour chaque ligne numérotée de 1 à 30 , vous vous trouvez en face de 4 possibilités :
  • soit vous décidez de ne pas traiter cette question, la ligne correspondante doit rester vierge.
    $ soit vous jugez que la question comporte une seule bonne réponse, vous devez noircir l'une des cases .
  • soit vous jugez que la question comporte deux réponses exactes, vous devez noircir deux des cases et deux seulement.
    $ soit vous jugez qu'aucune des réponses proposées A, B, C, D n'est bonne, vous devez alors noircir la case .
En cas de réponse fausse, aucune pénalité ne sera appliquée.

7) EXEMPLES DE RÉPONSES

Question 1: vaut :
A) 3
B) 5
C) 4
D) -1
Question 2 : le produit (-1) (-3) vaut :
A) -3
B) -1
C) 4
D) 0
Question 3 : les racines de l'équation sont:
A) 1
B) 0
C) -1
D) 2

Vous marquerez sur la feuille réponse :

Questions liées: [1 à 22]
[23 à 30]

- I -

Soit la fonction définie pour tout réel par ù
  1. Le développement limité au voisinage de 0 à l'ordre 5 de la fonction est :
    a)
    b)
On obtient alors pour la fonction :
c)
d)
2. Pour obtenir un développement limité au voisinage de 0 de à l'ordre 3 on doit considérer le développement limité de la fonction :
a) à l'ordre 3
b) à l'ordre 5
Le développement limité de à l'ordre 6 s'écrit :
c)
d)
3. Le développement limité de au voisinage de 0 à l'ordre 3 est donc de la forme :
a)
b)
La fonction est continue sur :
c) pour
d) si et seulement si
Dans la suite de cette partie on prend pour la valeur, si elle existe, rendant la fonction continue en 0 .
4. La fonction ainsi définie :
a) est dérivable en 0 puisqu'elle est continue en ce point
b) n'est pas dérivable en 0 car la fonction a été prolongée en ce point
c) est dérivable en 0 car et on a
d) n'est pas dérivable en 0 car
5. La courbe ( ) représentative de la fonction dans le plan rapporté à un repère orthonormé sera au voisinage de 0 :
a) au-dessous de la tangente pour
b) au-dessus de la tangente pour
et le point de coordonnées est:
c) un point d'inflexion de ( )
d) un point de rebroussement de ( )
6. La courbe ( ) est symétrique :
a) par rapport à la droite car est impaire
b) par rapport au point car est paire comme quotient et différence de fonctions de même parité
La fonction dérivée de , est :
c) définie sur
d) positive sur
7. La fonction est :
a) décroissante sur
b) croissante sur
et la limite de en est égale à :
c) car
d) 1
8. Les asymptotes à la courbe ( ) sont :
a) les droites et
b) les droites
c) les droites
et la courbe ( )
d) est au-dessus de l'asymptote en
On considère l'équation différentielle
9. Une primitive de la fonction sur tout intervalle de ne contenant pas 0 est égale à :
a) obtenue en posant
b) où
et la solution générale de l'équation sans second membre associée à s'écrit, étant une constante réelle :
c)
d)
10. Si l'on note la fonction engendrant l'espace des solutions de l'équation sans second membre associée à , une solution particulière de s'écrira:
avec vérifiant sur et :
a)
b)
c) où
et la solution générale de ( ) sur et est de la forme :
d) où
11. L'équation différentielle ( )
a) n'admet pas de solution sur car la fonction a une limite infinie lorsque tend vers 0
b) admet une infinité de solutions sur
c) admet comme solution sur la fonction
d) admet la fonction comme seule solution sur
Soit une fonction continue sur
12. L'intégrale est définie :
a) sur car est continue sur et pour -
b) sur seulement
et la quantité est :
c) définie sur
d) égale à
13. On suppose dans cette question que avec et
On a alors :
a)
b) car
et on peut écrire pour tout avec vérifiant
c)
d)
On suppose dorénavant que est continue sur et strictement positive sur et on associe à la fonction définie sur
14. Soit la fonction de classe sur , telle que et La fonction est:
a) strictement positive et bijective sur
b) négative ou nulle sur et on a la relation :
c)
d)
15. La fonction :
a) est strictement positive sur car la fonction est strictement croissante
b) peut s'annuler sur
c) est continue en 0 car
d) n'est pas continue en 0 car n'admet pas de limite en 0
16. La fonction est:
a) dérivable sur car et sont dérivables
b) dérivable sur et
c) strictement décroissante sur car est strictement positive sur
d) dérivable à droite en 0 et dans le cas où vérifie la condition de la question 13
17. Une fonction continue sur et strictement positive sur telle que soit la restriction à de la fonction , doit vérifier sur :
a)
b)
c) avec
d) avec
On suppose que est la fonction définie sur par
18. Cette fonction est :
a) indéfiniment continûment dérivable et strictement positive sur
b) continue mais non dérivable sur
c) continue et strictement croissante sur donc bijective
d) continue, croissante mais non injective sur
19. On a pour tout , la relation :
a)
b)
c)
d)
20. On peut alors exprimer pour tout sous la forme :
a)
b)
c)
d)
21. Le développement limité au voisinage de 1 , à l'ordre , de la fonction est de la forme :
a)
b)
c)
d)
22. Au voisinage de 0 le développement limité à l'ordre 2 de s'écrit :
a)
b)
et le développement limité de la fonction au voisinage de 0 est de la forme :
c) et on a
d) et on a

- II -

L'application linéaire de l'espace vectoriel de base dans l'espace vectoriel de base est définie par où étant un paramètre réel. On note la matrice de dans les bases et
23.
a) La matrice ne peut être définie car les espaces vectoriels et ne sont pas de même dimension.
Si elle existe, la matrice s'écrit :
b)
c)
d)
24. La matrice , si elle existe :
a) ne peut être que de rang 4
b) est de rang au plus égal à 3 car admet 2 colonnes opposées
c) n'est pas une matrice carrée par conséquent son rang est inférieur à
d) a ses vecteurs colonnes qui forment une base de
On transforme la matrice , si elle existe, à l'aide des 2 opérations sur les lignes suivantes : puis et on note la matrice ainsi obtenue.
25.
a) Toutes les lignes de sont proportionnelles
b)
c)
d) est semblable à
26.
a) Toute opération élémentaire sur les lignes ou sur les colonnes de ne modifie pas son rang
b) La matrice sera différente si les 2 opérations sont effectuées dans l'ordre inverse
c) a 2 colonnes opposées et aussi
d) a 2 lignes opposées donc aussi
27.
a) pour
b) pour
c) est injectif pour et
d) est un morphisme bijectif pour
On suppose dans les 3 questions suivantes.
28.
a) est une équation de
b) sont des équations de
c) Kerf est un sous-espace vectoriel de de dimension 3
d) est un espace vectoriel de dimension 1 car rang
29. Soient les matrices et si elles existent :
a) les produits et ne sont pas définis car les matrices et ne sont pas carrées
b) et sont des matrices carrées d'ordre 3
c) et sont des matrices carrées d'ordre respectivement 3 et 4
d) donc et commutent
30. Les matrices et si elles existent sont :
a) réelles et symétriques
b) réelles et antisymétriques
et la matrice vérifie :
c)
d)
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