Durée : 2 Heures
Coefficient : 1

Ce sujet comporte (dans l'énoncé d'origine, pas dans cette version) :

L'épreuve de mathématiques de ce concours est un questionnaire à choix multiple qui sera corrigé automatiquement par une machine à lecture optique.

Pour permettre la lecture optique de l'étiquette, le trait vertical matérialisant l'axe de lecture du code à barres (en haut à droite de votre QCM) doit traverser la totalité des barres de ce code.

EXEMPLES :

2) Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser un STYLO BILLE ou une POINTE FEUTRE de couleur NOIRE.
3) Utilisez le sujet comme brouillon et ne retranscrivez vos réponses qu'après vous être relu soigneusement.
4) Votre QCM ne doit pas être souillé, froissé, plié, écorné ou porter des inscriptions superflues, sous peine d'être rejeté par la machine et de ne pas être corrigé.
5) Cette épreuve comporte 36 questions, certaines, de numéros consécutifs, sont liées. La liste des questions liées est donnée au début du texte du sujet.

Il est inutile de répondre à plus de 24 questions : la machine à lecture optique lira les réponses en séquence en partant de la ligne 1, et s'arrêtera de lire lorsqu'elle aura détecté des réponses à 24 questions, quelle que soit la valeur de ces réponses.

Question 1 : vaut :
A) 3
B) 5
C) 4
D) -1

Question 2: le produit vaut :
A) -3
B) -1
C) 4
D) 0

Question 3: Une racine de l'équation est :
A) 1
B) 0
C) -1
D) 2

Le sujet original est plein d'erreurs. Les erreurs mathématiques ont été conservées ; les fautes d'orthographe vraiment flagrantes ont été corrigées.

On note et .
a) est une bijection de dans
b)
c)
d)
5) On cherche le lieu des points d'affixe tels que et soient les affixes de trois points alignés. On note cet ensemble de points et l'ensemble de leurs affixes.
a) ou est imaginaire pur
b)
c) est une hyperbole équilatère centrée en de grand axe parallèle à l'axe des imaginaires, de demi grand axe
d) contient une hyperbole centrée en de grand axe parallèle à l'axe des imaginaires, de demi grand axe et dont les asymptotes ont comme coefficients directeurs et .
6) On considère les suites et définies par :

a) est croissante et majorée par 1 . Elle converge donc.
b) est une suite géométrique de raison
c) et sont adjacentes.
d) converge vers

a) est indéfiniment dérivable sur son ensemble de définition, croissante et concave
b) La courbe représentative de admet une asymptote oblique en car
c) réalise une bijection de sur et sa bijection réciproque est dérivable sur car
d) réalise une bijection de sur et sa bijection réciproque est dérivable sur car toute bijection dérivable admet une réciproque dérivable
8) En utilisant définie en question 7 ), on peut montrer que

a) est une suite croissante car est décroissante et est décroissante
b) converge vers 0 puisque est continue en 0
c) converge vers 0 puisque est une suite décroissante et
d)
9) On suppose que est une fonction continue sur admettant une limite finie en et est un réel strictement positif.
a) est continue sur et dérivable sur
b)
c)
d)
10) On cherche à comparer avec son développement limité :
a)
b)
c)
d)
11) Soit et deux fonctions réelles à valeurs strictement positives de la variable réelle et tels que .
a) Il existe une fonction définie sur un voisinage de avec et
b)
c)
d) et que sur un voisinage de 0
12) Quelques limites en utilisant des équivalents :
a) Pour et réels
b) Pour et réels
c)
d)
13) Soit la fonction réelle de la variable réelle définie par :

a) est continue sur , dérivable sur , non dérivable en 0
b)
c) Sur ne possède qu'un extremum en 2 , puisque

d) admet deux et seulement deux solutions sur car la droite d'équation est tangente à la courbe représentative de
14) Soit la fonction réelle de la variable réelle définie par

a) Aux voisinages de et on a
b) En , la courbe représentative de admet la drooite d'équation comme asymptote
c) En , la courbe représentative de admet la drooite d'équation comme asymptote
d) En , la courbe représentative de admet la drooite d'équation comme asymptote et la courbe est au-dessus de son asymptote
15) Si est une fonction continue sur un intervalle réel
a)
b)
c)
d)
16) On considère la fonction réelle de la variable réelle définie par où note la partie entière du réel .
a) est définie sur car admet une limite à droite et à gauche en tout point
b)
c) Pour montrer que admet une limite en , il est suffisant de montrer que converge
d) est croissante sur et majorée par donc elle admet une limite finie qui est la même que la limite de
17) On cherche à déterminer les fonctions de classe sur et vérifiant

a) Si vérifie alors est de sur et
b) Comme , on peut poser et si alors
c) Les fonctions où vérifient
d) Comme l'équation différentielle ( ) est du second ordre et homogène, l'ensemble des solutions forme un espace vectoriel de dimension 2
18) Si , on cherche à résoudre l'équation aux dérivées partielles ( ) : où est une fonction de à valeurs réelles admettant des dérivées partielles secondes. On posera et . On notera .
a)
b)
c)
d) est une solution de
19) On considère le domaine et dont on veut calculer l'aire .
Si on note
a)
b)
c)
d)
20) Soit et deux entiers naturels non nuls et un entier relatif non nul et non égal à 1 .
a) et sont premiers entre eux en utilisant le théorème de Bezout
b) divise divise car si divise un produit il divise ou (avec entiers naturels)
On cherche l'ensemble des entiers relatifs tels que divise
c)
d)
21) Soit un ensemble à éléments ( ). On va dénombrer des parties de , ( ) sur lesquelles on posera certaines contraintes :
a) Le nombre de couples ( ) tels que est
b) Le nombre de couples ( ) tels que est
c) Le nombre de couples ( ) tels que ( ) forment une partition de est
d) Le nombre de triplets ( ) tels que est
22) À propos des structures
a) L'ensemble des polynômes de degrés égaux à pour l'addition usuelle des polynômes est un groupe
b) L'ensemble des matrices carrés de taille pour la multiplication usuelle des matrices est un corps
c) L'ensemble des suites convergeant vers 0 pour la multiplication usuelle des suites est un groupe
d) Si est un groupe pour une loi donnée et , l'ensemble est un groupe pour
23) On considère un polynôme non nul tel que .
a) Si est une racine de est encore une racine de
b) Si est une racine de est encore une racine de
c) Si est une racine de , il existe tel que
d) Les racines de sont des racines de l'unité
24) Soit avec .
a) Si sont premiers entre eux et tels que est racine de alors divise et divise
b) Si admet une racine rationnelle, c'est nécessairement ou
c) admet une racine rationnelle
d) Si avec , alors si possède une racine rationnelle, elle sera entière
25) Les polynômes de Tchebychev vérifient :

a) donc existe et peut être choisie à coefficients entiers
b) Si et sont deux polynômes de Tchebychev alors ils sont égaux et est unique
c) puisque
d) et
26) Racines multiples
a) possède au moins une racine multiple car
b) est l'unique polynôme vérifiant
c) admet 1 comme racine double
d) Si est divisible par alors est divisible par
27) On se place dans l'espace vectoriel des fonctions de dans
a) est une famille libre
b) est une famille libre
c) ( ) est une famille liée
d) est libre
28) Soit et deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel
a) Supposons l'existence d'un et alors
sous-espace vectoriel de
b) Si la réponse de la question a) si elle est vraie entraîne que ne peut être un sous-espace vectoriel de
c) ne peut être un sous-espace vectoriel de que si
d) Si alors sous-espace vectoriel de
29) Soit et deux sous-espaces vectoriels supplémentaires d'un espace vectoriel de dimension finie. Soit une base de et .
a)
b) est supplémentaire à
c)
d) On peut montrer ici que tout sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension finie admet au moins deux supplémentaires
30) est un espace vectoriel de dimension finie. , ensemble des endomorphismes de .