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ENAC Mathématiques Sup 2013

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Algèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Nombres complexes et trigonométrie, calculs, outilsRéductionSéries et familles sommables
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2013
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Maths
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CORRIGÉ ENAC 2013

PARTIE I

  1. Pour tout , on a (en utilisant la propriété pour ):
donc .
On en déduit alors facilement par récurrence sur pour tout .

Q1 : Réponses B,C

  1. D'après le calcul précédent on a, pour tout réel , ce qui prouve que est inversible et a pour inverse .
    Les réponses et sont donc inexactes. La réponse est farfelue!

Q2 : Réponse E: aucune réponse exacte.

  1. A. B. C. Soit et , on ne peut donc pas avoir pour tous réels : l'application E n'est pas linéaire. Les réponses A et C sont donc fausses.
    La réponse B est également inexacte car, même si E est injective (voir ci-dessous), le fait que le noyau soit réduit à ne prouve rien pour une application non-linéaire (d'ailleurs la notion de noyau n'a alors guère de sens).
    D. - Démontrons que la famille est libre : si sont trois réels tels que alors, en multipliant cette égalité par , compte tenu de , on obtient d'où puisque par l'énoncé.
    On obtient ensuite de la même façon , ce qui démontre le résultat annoncé.
  • On peut donc «identifier les coefficients»:
c'est-à-dire que E est injective.

Q3 : Réponse D

  1. Soit et le vecteur colonne formé de ses coordonnées dans la base canonique. On a:
et
La réponse C est donc exacte (même si, pour une droite vectorielle, on parle de vecteur de base et non de vecteur directeur!).
La réponse D est également correcte puisque deux droites vectorielles distinctes d'un plan sont supplémentaires.
Q4 : Réponses C,D
5. A. B. Puisque et , la matrice de passage de la base canonique à la base est : il s'agit, compte tenu de la définition de l'énoncé (non habituelle, mais c'est un PıÈGE classique dans les QCM de l'ENAC!), de la matrice .
Le calcul de l'inverse donne alors .
Enfin, puisque et , la matrice de l'endomorphisme dans la base ( ) est . Les formules de changement de base vues en cours s'écrivent soit . La réponse A est donc exacte.
C. D. Pour tout puis (toujours avec les notations de l'énoncé).
On obtient:
ce qui est la réponse C .

Q5 : Réponses A,C

  1. A. B. Un petit rappel de cours : si est une fonction de classe sur un intervalle I à valeurs dans (hypothèses simplifiées...) on a, pour tous :
où désigne . C'est l'inégalité de Taylor-Lagrange.
Appliquée ici à l'ordre à entre 0 et , on obtient
ce qui n'est pas tout à fait la réponse A où il manque une valeur absolue (PıÈGE ou erreur d'énoncé? on ne le saura jamais...)
C. Il est vrai que, pour tout réel, (croissances comparées), d'où l'on déduit puisque pour tout .
Mais la formule de la réponse C est fausse ( au lieu de ).
D. Là encore, il manque ici les valeurs absolues. Puisquel'on peut écrire, dans tous les cas, ,
l'inégalité exacte est :
ce qui est assez loin de la formule de l'énoncé (d'ailleurs complètement fantaisiste : que vient faire ce , qui est un indice, dans le second membre? rien que cela permettait de répondre d'emblée que la réponse est fausse!).
Bref:
Q6 : Réponse E: aucune réponse exacte.
7. Pour tout et on a
avec
On a obtenu, à la question précédente, donc :

et .
Il s'agit de la réponse A .
On a alors: , ce qui est la réponse D.

Q7 : Réponses A,D

  1. Quelques calculs donnent: et .
    et sont donc des projecteurs associés. La relation implique que l'image de est incluse dans le noyau de (il y a en fait égalité). Enfin, est la droite d'équation , c'est-à-dire G, est la droite d'équation , c'est-à-dire est donc la projection sur F parallèlement à est la projection sur G parallèlement à F .
    Finalement :
    Q8 : Réponses B,C

PARTIE II

  1. Pour on a .
    donc se prolonge par continuité en 0 en posant encore .
    Puisque si , on aura alors , donc est encore prolongeable par continuité en 0 en posant .
    Conclusion :

Q9 : Réponse D

  1. Les théorèmes usuels assurent que est de classe sur , et cela pour tout réel .
Pour , sa dérivée est bien sûr : , donc la réponse C est exacte (inutile de se limiter à pour cette question!).
11. On a déjà dit que est de classe sur , donc de classe , pour tout réel .
Pour existe et est finie si et seulement si . Le théorème de prolongement des fonctions de classe (appelé aussi th. de prolongement de la dérivée) assure que sera alors de classe sur .
La seule réponse exacte est donc la réponse D (en effet, pour la réponse C on a seulement si est strictement supérieur à 1).

Q11: Réponse D

  1. Si l'on applique le résultat de la question 9 , on obtient que est prolongeable par continuité en 0 et en 1 pour tous réels et positifs ou nuls. Les réponses A et B sont donc fausses.
    On obtient également, à l'aide de la question 11, que la fonction ainsi prolongée sera de classe sur pour . Cela ressemble furieusement à la réponse D , MAIS il y a un PIÈGE !! En effet, la fonction de l'énoncé n'est définie que sur et ne peut donc avoir des propriétés valables sur l'intervalle fermé !! Donc :

Q12 : Réponse E: aucune réponse exacte.

  1. La réponse B est exacte d'après ce qui précède. Le changement de variable dans l'intégrale donne facilement .
    Q13 : Réponses B,D
  2. Puisque et sont positifs ou nuls, les fonctions et sont de classe sur et l'on peut faire l'intégration par parties;
donc:

Q14 : Réponse A

  1. A. B. Pour tout : réponse B.
    C. D. En itérant la formule trouvée à la question précédente on a
donc aucune des réponses C et D n'est juste.

Q15 : Réponse B

  1. Pour et entiers, l'égalité précédente donne:
donc:

Q16 : Réponse A

  1. Le changement de variable donne
d'où l'on tire: .

Q17 : Réponse C

  1. Pas de difficulté ici, on écrit et d'où

Q18 : Réponse C

  1. A. B. Le théorème des accroissements finis appliqué à la fonction ln sur l'intervalle implique qu'il existe tel que . On obtient donc la réponse .
    C. D. Puisque l'inégalité précédente implique donc : , et puisque , on obtient les inégalités de la réponse .

Q19 : Réponses B,D

  1. est évidemment dérivable sur et, pour tout on a d'où
d'où d'après l'inégalité obtenue à la question précédente.
En conclusion :

Q20 : Réponse C

  1. Quand donc .
    .
    Le tableau de variations de est simple :
Conclusion :
Q21 : Réponses A,D
22. Pour tout entier est strictement positif donc on peut écrire :
La réponse A est donc inexacte, et la réponse B est correcte (justification claire donnée par l'énoncé !). Enfin, puisque , on aura bien par continuité de la fonction exp.

Q22 : Réponses B,D

  1. A. Pour tout , la fonction qui à associe se prolonge par continuité en 0 comme cela a été vu dans la question 9. La réponse A est donc correcte
    B.C. D. Le changement de variable donne :

Q23 : Réponses A,C

  1. Pour on a et puisque est croissante sur l'intervalle on a ce qui donne l'inégalité de la réponse B.
    Par croissance de la fonction exponentielle, on en déduit puis en multipliant cette inégalité par et en intégrant de 0 à , on obtient , ce qui n'est ni la réponse C ni la réponse D .

Q24 : Réponse B

  1. On a, pour tout :
èàééé
et ainsi la suite est croissante.

Q25 : Réponse B

  1. D'après l'étude des variations faite à la question 21 , on a pour . C'est la réponse A.
Donc : puis par croissance de la fonction exponentielle : . On en déduit:
ce qui est la réponse D .
27. A. B. On sait que donc par définition de la limite il existe un réel U tel que pour on ait , soit . C'est la réponse B .
C. D. On a vu à la question précédente que . Deux cas se présentent:
  • si alors facilement:
ce qui donne la réponse C avec .
  • si alors, en utilisant les résultats de la réponse B :
ce qui est encore la réponse C avec .
La réponse C est donc correcte dans les deux cas.
Conclusion :

Q27 : Réponses B,C

  1. Puisque le réel ne dépend pas de , on en déduit que la suite est majorée. Étant croissante (question 25), elle converge.

Q28 : Réponse A

Les élèves de Spé peuvent arriver bien plus vite à ce résultat en utilisant le théorème de convergence dominée. Ce même théorème permet d'ailleurs de démontrer que la limite de la suite est égale à , ce qui donne presque sans calculs les résultats de la question suivante...
29. A. On vient de voir que la suite est convergente, donc cette réponse est fausse.
B. C. Pour et on a, d'après la question et . Mais d'après le calcul fait à la question et donc d'où : , ce qui est la réponse B.
Par passage à la limite dans cette égalité quand , on en déduit , donc la réponse C est inexacte.
D. D'après la question 23 : et d'après la question , donc . Par passage à la limite quand , on en déduit .
La relation précédente permet alors d'en déduire facilement par récurrence que pour tout entier .
Conclusion :

PARTIE III

  1. Il s'agit ici d'une équation différentielle linéaire du premier ordre, homogène. D'après le théorème de Cauchy-Lipschitz, puisque le coefficient de ne s'annule pas sur I, l'ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension 1.
    Cette droite vectorielle est engendrée par la fonction .
    Or : donc
puis . Conclusion :
Q30 : Réponses B,C
31. Un calcul passionnant :
donc
et enfin
Les réponses et sont inexactes.
On recommence :
puis
Les réponses C et D sont inexactes.
Rem : calculs vérifiés avec Maple .
32. Notons déjà que est de classe sur I , les calculs qui suivent sont donc légitimes.
Démontrons l'existence du polynôme de l'énoncé, par récurrence sur .
  • A l'ordre on a bien , avec .
  • Supposons acquise l'existence du polynôme tel que . Alors en dérivant cette relation :
donc en posant , qui est un polynôme, on aura bien .
On vient ainsi de montrer que la réponse est exacte. Ensuite il suffit de se servir de cette relation de récurrence pour calculer :
donc la réponse A est exacte.

Q32 : Réponses A,D

  1. L'énoncé indique gentiment la méthode à suivre. On dérive fois la relation , en utilisant la formule de Leibniz. On obtient:
d'où
On en déduit:
puis en posant :
et enfin :

Q33 : Réponse B

  1. , donc en faisant dans la relation précédente, on trouve . C'est la réponse A .
    D'après la formule de Taylor-Young (que l'on peut appliquer car est au voisinage de 0 ) on a :
On connaît , et , d'où l'on déduit puis le DL de qui est celui de la réponse C.
35. La relation est immédiate.
La réponse est donc exacte.
D'après la question 6.C, (obtenu par l'inégalité de Taylor-Lagrange), donc la réponse C est exacte.

Q35 : Réponses B,C

  1. A. B.
Or
donc finalement:
Il s'agit de la réponse A.
C. D. - La convergence de la suite de terme général lorsque tend vers s'établit facilement par récurrence sur , puisque les suites et convergent, et à l'aide de la relation de récurrence précédente.
  • Cette même relation de récurrence montre que, si l'on note la limite de la suite lorsque , on a , donc la suite vérifie la même relation de récurrence que la suite . Puisque et , ces deux suites sont égales.
    On a donc
ce qui est la réponse C .

Q36 : Réponses A,C

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