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ENS Mathématiques 2 MP 2009

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesSéries et familles sommablesTopologie/EVN
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Banque
X-ENS
Année
2009
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2009MP MathsMaths 2009
2025_08_29_a289febbc8c5d06dcc15g
Les différentes fonctions étudiées dans ce problème sont utilisées en traitement d'images pour obtenir une image de bonne qualité u à partir d'une image bruitée f. La régularisation quadratique présente l'avantage d'être très simple et très rapide, mais aussi le défaut de détruire les bords de l'image en donnant une impression de flou. La régularisation à croissance linéaire permet d'obtenir de bien meilleurs résultats de restauration. Malheureusement, elle implique aussi de savoir minimiser efficacement des fonctions non différentiables, ce qui augmente considérablement la difficulté du problème.
Fin de l'épreuve.

Filière MP (groupes MP/MPI et groupe I)

Épreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan MATHÉMATIQUES MPI 2
Durée : 4 heures
L'usage de calculatrices est interdit.

Notations

  • Soit . On considère muni du produit scalaire euclidien usuel :
On note . é
Si , on note , les composantes de .
On note le terme général d'une suite d'éléments de .
On note l'élément de tel que pour tout .
  • Dans tout le problème, on considère une matrice de (ensemble des matrices carrées de taille à coefficients réels), de coefficients . On note la matrice transposée de .
On suppose que n'est pas la matrice nulle, et vérifie la propriété suivante: .
  • On rappelle qu'on dit qu'une fonction est convexe sur si et seulement si pour tout , et , on a est donné par :
On dit qu'une fonction est strictement convexe sur si et seulement si pour tout , et , on a
  • Si est différentiable en , on rappelle que le gradient de en
  • Si est , on note la matrice hessienne de . Il s'agit d'une matrice de , dont le coefficient en position est donné par :
On admettra alors que est strictement convexe si :
pour tout .

5 Régularisation non différentiable

et
Si , on définit :
On considère l'application définie par :
Dans cette dernière partie, on suppose de plus que la matrice est symétrique.
On s'intéresse au problème :
Trouver dans tel que .
On considère l'ensemble défini par :
On admet qu'il existe un unique élément tel que , où désigne la distance euclidienne de à .
On admet aussi que si , alors .
  1. On considère l'application définie par :
    (a) Soit un élément de . Exprimer en fonction de .
    (b) Montrer que : .
  2. Démontrer l'égalité (5).
(c) Dans cette question, on admet que l'on a l'égalité :
Montrer que est solution du problème (4) si et seulement si
avec . On définit :
avec élément de donné par (on note la matrice identité de :
où et si :
On rappelle qu'on note le terme général d'une suite d'éléments de . suite ( ) unique : et .
(a) Montrer que : notée .
  1. Montrer que pour tout et dans , on a :
  1. Soit . Montrer que la relation de récurrence suivante définit une
En déduire que la suite ( ) ainsi définie vérifie :
  1. Soit et deux éléments de . Si , on pose
(b) Déduire de la question précedente que :
  1. Montrer que la suite converge.
  2. Montrer que la suite ( ) converge vers la solution du problème (3)

1 Convexité

On pourra admettre les résultats de cette première partie pour traiter les questions des parties suivantes.
  1. Soit une fonction continue, telle que si .
    (a) Montrer qu'il existe au moins un élément dans tel que .
    (b) L'élément précédent est-il en général unique? Si est supposée de plus strictement convexe sur , a-t-on unicité pour ?
  2. Soit une fonction différentiable sur .
    (a) Montrer que si est convexe, alors :
    pour tout ( ) dans .
    (b) Réciproquement, montrer que si pour tout ( ) dans l'inégalité (1) est vérifiée, alors est convexe.
Indication : on pourra introduire le point pour , et appliquer l'inégalité aux couples et .
3. Soit une fonction différentiable sur . Montrer que est strictement convexe si et seulement si : pour tout dans avec .
4. On suppose différentiable sur . On rappelle qu'une condition nécessaire pour que puisse être un point de minimimum de est que . pour que soit un point de minimum de ?
(b) Si on suppose de plus convexe sur , la condition nécessaire
5. Soit une fonction différentiable sur . a:
(a) La condition nécessaire est-elle en général suffisante est-elle suffisante?
(a) Montrer que si est convexe, alors pour tout ( ) dans on
(b) Réciproquement, montrer que si pour tout dans l'inégalité (2) est vérifiée, alors est convexe.
Indication : on pourra étudier les variations de la fonction
  1. Soit une fonction sur . Montrer que est convexe si et seulepar: ment si pour tout ( ) dans :

2 Régularisation quadratique

Soit , et . On considère l'application définie par :
  1. Montrer que est sur . Calculer , puis .
  2. Montrer que est convexe sur est-elle strictement convexe?
  3. Montrer qu'il existe exactement un élément dans tel que . Montrer que est caractérisé par la relation :
  4. (a) Que dire de la solution lorsque ?
  5. Pour , on note pour et dans :
Donner une majoration de dépendant de . tel que pour tout . On considère l'application définie
avec et si :
(b) Que dire de lorsque ?
On note un point où atteint son minimum sur .

3 Régularisation à croissance linéaire

Soit , et . On rappelle qu'on note l'élément de
On rappelle qu'on note le terme général d'une suite d'éléments de . On considère le problème :
  1. Montrer que est différentiable. Calculer . que cette solution est caractérisée par la relation :
    avec et si :
  2. Soit .
  1. Montrer que le problème (3) admet une unique solution dans , et définie par :
Supposons un élément fixé dans . On considère l'application :
Montrer qu'il existe un unique élément dans tel que , et que l'on a la relation suivante :
Montrer que la série est convergente.
5. Montrer que la suite est bornée. blème (3).
  1. On fixe dans , et on considère la suite définie par récurrence par la relation .
  2. En déduire que la suite converge vers unique solution du pro-
  3. Dans le cas est-elle différentiable sur ?

4 Méthode de type quasi-Newton

Soit et . On rappelle que:
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