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ENS Mathématiques C MP 2011

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Algèbre généraleAlgèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Nombres complexes et trigonométrie, calculs, outils
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X-ENS
Année
2011
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2011MP MathsMaths 2011
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ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - C - (ULC)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Diffusion sur des ensembles finis

Préambule

Ce problème est constitué de trois parties.
Le but du problème est d'étudier des processus similaires à la diffusion sur des ensembles finis. La vitesse de convergence vers la configuration uniforme est mesurée à l'aide de deux constantes : la constante de Poincaré permet de mesurer la vitesse de décroissance de l'énergie (partie 1), tandis que la constante de Sobolev permet de mesurer la vitesse de décroissance de l'entropie, qui est dans ce contexte l'opposée de l'entropie physique (partie 2 ). Un exemple est traité dans la partie 3 : la diffusion classique sur l'hypercube avec le calcul de la constante de Poincaré.

Définitions, notations et rappels

On note le corps des nombres réels, le sous-ensemble des nombres réels positifs, et le sous-ensemble des nombres réels strictement positifs.
On introduit le produit scalaire renormalisé sur :
On note la norme euclidienne associée :
On introduit le vecteur constant .
Si est un ensemble, l'espace vectoriel des fonctions de dans est noté .

Matrices stochastiques

Dans tout ce problème, désigne une matrice qui vérifie les propriétés suivantes :
On dira en raccourci que est symétrique et bistochastique. On remarquera que la dernière propriété est une conséquence des précédentes.
Si on dit que l'état est connecté à l'état .
On dit que la matrice est irréductible si pour tout couple d'indices il existe des états intermédiaires qui permettent de connecter les états et :

Inégalités de convexité

Soit une fonction , continue et de classe sur . On rappelle que est strictement convexe si et seulement si est strictement croissante.

Inégalité de Jensen, version discrète

Soit une fonction continue, de classe sur et strictement convexe. Soit tel que . Pour tout on a
Dans le cas où , cette inégalité est une égalité si et seulement si est colinéaire au vecteur constant .

Inégalité de Jensen, version continue

Soit une fonction continue, de classe sur et strictement convexe. Soit une fonction continue de telle que . Pour toute fonction continue de dans on a
Dans le cas où , cette inégalité est une égalité si et seulement si est une fonction constante.

1 Energie et inégalité de trou spectral

Soit une matrice symétrique, bistochastique et irréductible.
  1. (a) Montrer que le vecteur est un vecteur propre de .
    (b) On suppose de plus que . Montrer que est une valeur propre simple de .
    Indication. Si est un vecteur propre on pourra s'intéresser à la valeur maximale .
    (c) Montrer que l'on peut aboutir à la même conclusion sans l'hypothèse supplémentaire .
  2. On définit la forme de Dirichlet associée à la matrice
(a) Montrer que .
(b) On définit la constante de Poincaré :
Montrer que l'infimum est atteint. En déduire que est strictement positif.
Interpréter en fonction des valeurs propres de .
Indication : Comme en , on pourra commencer par supposer : .
3. Soit tel que . On définit le système différentiel linéaire de la façon suivante :
(a) Montrer qu'il existe une unique solution définie sur l'intervalle maximal .
(b) Montrer que :
(c) Montrer que converge vers à vitesse exponentielle lorsque tend vers :
Indication. Si e , chercher une inégalité qui relie et e(t) puis multiplier par une fonction exponentielle bien choisie.

2 Entropie et inégalité de Sobolev

Dans cette partie du problème, désigne à nouveau une matrice symétrique, bistochastique et irréductible, et désigne un vecteur de qui vérifie les deux propriétés suivantes :
  1. On définit l'entropie
avec la convention si .
Montrer, à l'aide de l'inégalité de Jensen, que l'entropie est une quantité positive. À quelle condition a-t-on ?
2. Pour on définit
ainsi que la constante de Sobolev :
(a) Soit tel que . On écrit . Établir l'expression du développement limité :
(b) En faisant tendre vers 0 montrer que
On admettra que est strictement positif.
3. On étend la définition de à des couples de vecteurs :
(a) Montrer que .
(b) Montrer que pour tout couple ( ) de réels distincts strictement positifs,
Indication. On pourra écrire la différence comme une intégrale bien choisie sur .
(c) Si on définit les vecteurs auxiliaires et . Déduire de la question précédente que
  1. On considère à nouveau le système différentiel introduit en (1), où vérifie la propriété (4) et
(a) Montrer que est une matrice à termes positifs pour tout . En déduire:
(b) Montrer que
(c) Montrer que l'entropie converge vers 0 à vitesse exponentielle lorsque :
(d) Montrer que l'on peut étendre l'inégalité (6) au cas où vérifie les propriétés (3) et (4).
Indication. On pourra considérer la condition initiale .
5. On définit la norme de la variation totale entre deux vecteurs :
(a) Donner une constante telle que pour tout couple .
(b) On admettra l'inégalité suivante, valable pour tout réel ,
En déduire l'estimation suivante à l'aide de l'inégalité de Cauchy-Schwarz :

3 Exemple de l'hypercube

Soit . On considère l'ensemble des -uplets ( ) avec . On remarquera que pour tout .
On note . On note . On définit les éléments particuliers de :
On note l'application de :
On identifie l'espace vectoriel avec muni du produit scalaire renormalisé :
Si on note la fonction telle que et si .
  1. A toute fonction on associe la fonction transformée :
(a) Montrer que pour tout ,
(b) Montrer la formule d'inversion
Indication. On pourra chercher à démontrer cette identité sur des fonctions particulières.
(c) En déduire l'identité suivante :
  1. On définit la matrice :
Montrer que la matrice est symétrique, bistochastique et irréductible.
3. On définit la forme de Dirichlet associée à comme précédemment :
ainsi que la constante de Poincaré
Pour tout on définit
(a) Montrer que
(b) On définit . Montrer que
(c) En déduire la valeur de la constante de Poincaré :
  1. On admettra que la constante de Sobolev vaut dans ce cas. On considère à nouveau le système différentiel introduit en (1), avec la donnée initiale .
    Déterminer le temps suffisant pour atteindre la configuration uniforme avec la précision en variation totale :
(a) ... en utilisant la constante de Poincaré et l'estimation (2),
(b) ... en utilisant la constante de Sobolev et l'estimation (6).
Que pouvez-vous en conclure?
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