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ENS Mathématiques D MP MPI 2025

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Algèbre généraleAlgèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensGéométriePolynômes et fractions
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2025
Filière
MP/MPI
Matière
Maths
X-ENS MP/MPIX-ENS 2025MP/MPI MathsMaths 2025
2025_08_29_02dfc15a701381792d36g

Correction ENS D (6h) - 2025

Jean Nougayrède et Pierre Vandaële

6 mai 2025
Avertissement. Le corrigé s'arrête à la question 37 (incluse). Il y a probablement des coquilles mais ce n'est pas la peine de nous les signaler : nous ne toucherons plus à ce document à partir de maintenant et jusqu'à désormais.

Partie préliminaire

  1. L'ensemble des fonctions périodiques de vers est un -espace vectoriel : si sont périodiques de périodes respectives alors pour tout est périodique.
    On en déduit que l'ensemble des fonctions quasi-polynomiales forme un -espace vectoriel.
  2. Soit quasi-polynomiales coïncidant sur . La fonction est quasi-polynomiale.
Si par l'absurde , on peut trouver et périodiques, avec , telles que :
est périodique non nulle donc on peut trouver tel que et en notant une période de :
Ce qui est absurde donc puis .
3. Soit .
  • Si est quasi-polynomiale, on peut trouver et périodiques telles que
On note une période commune à . Pour tout , on pose de sorte que pour tout , si .
  • On suppose qu'on peut trouver et tels que pour tout , en notant le reste de la division euclidienne de par . On peut trouver et famille de complexes telles que pour tout . Pour tout , on pose qui à associe où est le reste de la division euclidienne de par de sorte que soit quasi-polynomiale.
  1. On peut trouver tel que . On définit sur .
    est développable en série entière sur et pour tout .
    Ainsi est -fois dérivable et pour tout :
Ainsi pour tout .
On pose . Pour tout or est quasi polynomiale car pour tout , en notant le reste de la division euclidienne de par , et est de degré et a pour coefficient dominant donc :
est quasi polynomiale, de degré et a pour coefficient dominant .

1 Décomposition d'un entier en parties

  1. Soit . Pour tout donc .
    donc de la règle de d'Alembert la série entière a pour rayon de convergence 1 or pour tout donc : le rayon de convergence de est supérieur ou égal à 1 .
  2. Soit [. On somme des réels positifs :
.
7. et 8 . Si , pour tout donc :
Si 𝟙 est quasi-polynomiale de degré 0 et de coefficient dominant 𝟙.
On suppose désormais que .
Pour tout et sont premiers entre eux donc or pour tout ,
donc en posant :
Les éléments de sont deux à deux distincts donc, décomposant en éléments simples ce produit, on peut trouver ,
et des complexes tels que .
On a donc .
En particulier . Pour tout , par 4 , on peut trouver quasi-polynomiale de degré telle que pour tout . Ainsi par unicité du développement en séries entières de :
Ainsi par 1 et est quasi-polynomiale de degré et a pour coefficient dominant .
9. Soit . Pour tout , si alors [2].
Ainsi, si est pair, est de cardinal . Si est impair, est de cardinal .
On pose qui à associe le reste de la division euclidienne de par 6 .
En posant 𝟙, on a .
10. et sont disjoints et
donc on peut trouver des complexes tels que
Soit . On a .
De même on montre que pour tout .
Enfin pour au voisinage de 1 et :
Par unicité du développement asymptotique, et .
Soit . Par unicité du développement en série entière de , on a
On conclut car et .
  1. et sont premiers entre eux donc du théorème de Bezout, et existent.
Soit et le reste de la division euclidienne de par . On commence par remarquer que autrement dit que . Si vérifie alors donc est de cardinal . En appliquant la question précédente avec on en déduit que autrement dit que
Puisque est premier avec engendre et remarquant que , on trouve :
De même ce qui permet de conclure :

2 Étude des polytopes

2.1 Enveloppe convexe des sommets

  1. Soit une face de et tel que est non vide par définition.
Pour tout est continue et donc est fermé or compact donc est compact.
De plus et donc est un polytope.
On a donc puis .
Si par inclusion et égalité des dimensions, . Soit . Pour tout , donc par linéarité de . Soit donc on peut trouver . Comme puis et ainsi . Ce qui prouve que puis que . Par contraposition : si alors .
13. I est fini donc est fini or par définition on a une surjection de sur l'ensemble des faces de donc a un nombre fini de faces.
Il suffit ensuite de montrer que tout polytope de dimension non nulle admet une face de dimension strictement inférieure pour conclure car ayant un nombre fini de face, admet une face de dimension minimale qui est alors nécessairement un sommet.
On suppose donc que est un polytope de dimension non nulle. On peut donc trouver dans .
Lemme Q13 : si appartiennent à alors on peut trouver des réels tels que
et il existe des faces et strictement incluses dans telles que et .
Ce qui prouve en particulier que admet une face de dimension strictement inférieure.
Preuve du lemme : n'est pas vide car contient 0 et est compact et donc est borné. De plus est fermé (image réciproque du fermé par continue). Enfin est convexe par convexité de ce qui prouve l'existence des réels et . Soit . Pour tout et étant fini, on peut trouver et telle que et telle que pour tout . Par passage à la limite, or donc puis .
On pose qui est non vide car et on considère est non vide car et car ou n'appartient pas à en effet donc et ainsi .
a au moins un sommet.
14. Pour tout polytope , on note l'ensemble de ses sommets. On montre par récurrence que pour tout «si est un polytope de dimension alors
Soit est un polytope de dimension 0. est un singleton d'où .
Soit tel que et soit un polytope de dimension . Soit .
Comme , on peut trouver . Du lemme Q13, on peut trouver des faces de de dimensions strictement inférieures et tels que et . On a donc par hypothèses de récurrence, . Ainsi puis par convexité .
Ainsi et par convexité de on a l'autre inclusion d'où .
15. L'image d'un polytope par une translation est un polytope, il suffit donc de se ramener au cas où est d'intérieur non vide. Quitte à translater, on peut supposer que .
  • Montrons que est d'intérieur non vide dans . On peut trouver une base de incluse dans . On munit de la norme et on pose .
    Soit . Pour tout et donc puis .
  • est d'intérieur non vide dans . Supposons que cela suffise pour affirmer que est un polytope de : il existe des formes linéaires sur et des réels tels que
Pour tout , en l'annulant sur un supplémentaire de , on prolonge à en une forme linéaire . De plus est un sous-espace vectoriel de de dimension finie donc s'écrit comme une intersection finie d'hyperplans : on peut trouver une famille de formes linéaires sur telles que .
est un compact non vide de donc de et ainsi
est bien un polytope de .
Pour montrer que est un polytope, il suffit de traiter le cas 0 est dans l'intérieur de .
Remarque : si 0 est dans l'intérieur de , aucun hyperplan ne contient .
16. Pour tout est une forme linéaire sur est fini et
Il reste donc à montrer que est compact non vide pour conclure. est non vide car .
Pour tout est continue donc est fermé.
On munit de la norme euclidienne et par hypothèse il existe tel que .
Soit non nul. On remarque que pour tout or donc et ainsi donc est borné. est un polytope.
17. Par 14, on peut trouver un ensemble fini non vide tel que .
On pose contient le voisinage de donc est d'intérieur non vide (donc n'est pas inclus dans un hyperplan de ) et ainsi par 16, est un polytope de . Montrons que pour conclure.
Soit : pour tout donc .
Supposons, par l'absurde, qu'on peut trouver . L'ensemble étant convexe fermé non vide, on peut trouver tel que pour tout . En particulier, comme , on a . Si alors pour tout donc or donc puis et enfin . Si , pour tout or contenant un voisinage de 0 , on peut trouver tel que et ainsi . Dans tous les cas , ce qui est absurde. Ainsi est un polytope.
18. est un polytope donc on peut trouver des formes linéaires et des réels tels que
Soit un sommet de .
On peut trouver tel que .
donc on peut trouver et de somme 1 tels que . On peut trouver tel que . Soit . On a donc pour tout et en particulier pour tout donc . Tout sommet de appartient à .

2.2 Formule d'Euler

  1. Les polytopes de sont les segments donc 𝟙 or pour tous réels 𝟙 est continue en tout point de et admet une limite à droite en et , ce qui prouve l'assertion car tout élément de est combinaison linéaire (finie) de telles fonctions.
  2. Soit un polytope de une famille finie de formes linéaires et de réels tels que
Soit . On considère, pour tout forme linéaire de et . On pose et on remarque que 𝟙𝟙. est fermé dans un compact donc est compact or est continue donc est un compact. Si est vide, 𝟙 appartient à l'espace vectoriel ;
si n'est pas vide, est un polytope donc 𝟙. L'application linéaire envoie une famille génératrice de dans donc : .
21. Montrons par récurrence que pour tout ,
défini une forme linéaire telle que pour tout polytope de est bien définie par 19 et linéaire et pour réels, 𝟙𝟙𝟙 d'où .
Soit tel que . L'application définie sur est linéaire et bien définie par 20 . Pour montrer la bonne définition de , il suffit de montrer que . Soit un polytope de . On reprend les notations de 20 . On pose et on remarque que par , 𝟙𝟙. On définit sur et on remarque que or est linéaire continue et est un compact convexe non vide donc également or donc est un segment. Pour tout polytope de donc par linéarité de et définition de . Ainsi est une forme linéaire bien définie et pour tout polytope de 𝟙 d'après l'initialisation ce qui prouve .
Soit et linéaire inversible. Encore une fois, par linéarité de , il suffit de montrer que pour tout polytope de 𝟙𝟙 pour conclure. Soit un tel polytope. 𝟙𝟙 or est continue et est compact non vide donc également. Soit une famille finie de formes linéaires et de réels telles que . or pour tout est une forme linéaire donc est un polytope et ainsi 𝟙𝟙.
Pour tout défini une forme linéaire sur vérifiant pour tout polytope de .
Pour tout linéaire inversible et tout .
22. Soit un polytope. On a donc
Soit . On peut trouver tel que et autrement n'est pas constante sur . Ainsi est une face de contenant et .
Pour tout polytope et pour tout , on peut trouver une face de telle que .
23. Pour tout réels, 𝟙𝟙𝟙𝟙 et 𝟙.
Soit . Supposons vérifié le résultat pour tous les polytopes de .
Soit un polytope de . Notons ainsi que les familles de formes linéaires et de réels tels que
On pose 𝟙.
Par compacité de les réels suivants sont bien définis
Si est inclus dans un hyperplan affine et on peut lui appliquer l'hypothèse de récurrence.
On suppose donc désormais que .
  • Montrons que . On note l'ensemble fini des faces de distinctes de . On a donc
𝟙𝟙𝟙𝟙𝟙𝟙
Or toute face de est un polytope et toute intersection de polytopes est vide ou est un polytope donc
𝟙𝟙
  • Soit tels que . Par définition de et convexité de ,
Par lemme Q13, on en déduit que et et appartiennent à des faces strictement incluses dans et donc n'appartiennent pas à . Ce prouve en particulier que .
  • Soit .
Notons
Alors, est un polytope de et, pour , on a les équivalences suivantes :
Vérifions aussi l'implication directe.
Supposons par l'absurde que et . Alors on peut trouver tel que ainsi que tel que
Si , alors , ce qui contredit le fait que .
Donc , puis ou .
On peut donc trouver et tel que
On fixe également tel que .
Par convexité, donc
Or donc ce qui contredit le fait que et prouve ainsi que 𝟙.
  • Quitte à translater , on suppose que et que . Soit . Montrons que
On considère une base de et on considère libre dans . On fixe tel que , on remarque que et donc que . Ainsi est libre dans donc et ainsi .
On définit et sur et on fixe tel que . On a car or donc on peut compléter par en base de .
Soit quand donc on peut trouver tel que et il est ainsi possible de supposer, quitte à effectuer des opérations élémentaires, que . En particulier (rappelons que ) et .
Par convexité de et or et donc et . Montrons que ( ) est libre pour en déduire que . Soit tels que . Par suite puis donc par liberté de et non nullité de , . Par double inégalité .
  • Pour tout 𝟙. Ainsi on a prouvé que pour tout 𝟙𝟙 En notant , par hypothèse de récurrence et ce qui précède
𝟙𝟙
donc 𝟙.
Pour tout polytope de 𝟙 et 𝟙.
24. On note l'ensemble fini des faces de . En appliquant 22 aux faces de , on constate que tout point de appartient à l'intérieur relatif d'une face. L'autre inclusion étant claire : . Cette union est disjointe. En effet considérons , si on peut trouver alors puis . Ainsi 𝟙𝟙 puis par 𝟙𝟙. où parcourt les faces de .

2.3 Triangulations

Quitte à travailler dans l'espace affine contenant , et quitte à translater, on peut supposer que est un polytope de dimension et que .
On considère une famille de formes linéaires et de réels telles que
Enfin, quitte à retirer les formes linéaires superflues, on suppose minimale :
  1. n'a qu'un nombre fini de faces. Les faces de sont des polytopes, L'intersection de deux faces de est soit vide soit une face de . Toute face de est face de toute face de la contenant. Il reste à montrer que admet au moins une face de dimension pour conclure.
    Soit . On peut trouver tel que pour tout et tel que .
    n'est pas contenu dans l'hyperplan affine ( ) et donc .
    On pose et est fermé, non vide car contenant 0 , borné car et . Ainsi est un polytope de , de dimension car contenant . donc (voir le calcul de la dimension dans la Q23) pour tout , est de dimension or donc
est une face de de dimension .
L'ensemble des faces de de dimension est un complexe.
26. De ce qui précède est l'ensemble des faces de de dimension .
Quitte à considérer les formes linéaires et pour tout .
  • Soit et l'ensemble des sommets du polytope . On a donc
est, par Q17, un polytope.
  • Soit et . Soit .
On peut trouver et de somme au plus 1 tels que .
On a et
Ainsi et . De même on montre que donc que . En conclusion et est bien une face de et de .
  • Par convexité de , pour tout . De plus, comme , toute face de est contenue dans une face de dimension .
    Soit . Du lemme Q13 on peut trouver tel que appartiennent à une face de donc on peut trouver tel que et ainsi donc la réalisation du complexe est bien égale à .
    • On injecte , sans changer la notation des éléments, via dans .
Soit tel que . Soit un simplexe de de dimension et l'ensemble des sommets de et . Par suite est un polytope. Soit donc . De plus par Q18 l'ensemble des sommets de est inclus dans or donc . Ainsi et a pour ensemble de sommets de cardinal . Autrement dit est un simplexe de dimension .
  • On appelle triangulation d'un complexe tout complexe formé de simplexes contenant une triangulation de chaque polytope du complexe .
    Hypothèse de récurrence. Tout complexe de dont les polytopes sont de dimension admet une triangulation.
    Initialisation. Tout complexe de dimension 0 ou 1 est déjà une triangulation de lui même.
    Hérédité. Soit . Supposons le résultat vérifié au rang .
    Soit un complexe de dont les polytopes sont de dimension .
    On note l'ensemble constitué des faces de dimension de chaque polytope de .
    Soit . On se donne tel que soit une face de et une face de .
    On note
On peut trouver tel que
On a
qui est une face de car est un complexe.
Donc
est une face de donc de puis
est une face de incluse dans donc une face de est également une face de .
Ainsi, est un complexe auquel on peut appliquer l'hypothèse de récurrence. On triangule .
Pour chaque dans , on se donne , on note l'ensemble des faces de de dimension . Pour tout , on note la triangulation de dans et . Du premier point, tout élément de est un simplexe.
Montrer que est une triangulation de .
Soit et deux simplexes de d'intersection non vide.
Notons et ainsi que et les polytopes et faces associées.
Si et , alors et appartiennent à la triangulation avec et donc est une face de et .
Si noté et , on peut fixer deux simplexes et de respectivement dans et tels que
Dans la suite, on notera
Montrons que
L'inclusion réciproque est évidente.
Soit .
Montrons qu'il existe un unique tel que . Par lemme Q13 on a déjà l'existence d'un réel tel que . On peut donc trouver tel que et . Par suite puis pour tout donc ce qui prouve l'unicité du réel .
Comme , par convexité de et , on peut trouver et tels que .
Par suite donc . De même donc et ainsi puis .
On a donc
Les simplexes et sont dans une triangulation donc leur intersection est une face de
Il existe donc une partie des sommets de tels que de sorte que . Or est une partie des sommets de et est un simplexe donc est une face de . On admet que toute enveloppe convexe d'une partie des sommets d'un simplexe est une face de ce simplexe.
De même, est une face de .
Si , on a, en reprenant les notations précédentes
On en déduit donc est une face de (et ), donc une face de (et ).
28. On note l'ensemble des faces de . Pour tout , toute face de est face de et est la réunion de l'intérieur de ses faces donc .
Montrons que cette union est disjointe. Soit et des faces distinctes de associées aux polytopes est une face de et donc comme montré dans la question précédente, est une face de distincte de donc et ainsi .
Par suite 𝟙𝟙 or est convexe donc est l'enveloppe convexe des sommets des polytopes de donc est un polytope et ainsi 𝟙𝟙

3 Le polytope de Birkhoff

  1. Les applications
sont des formes linéaires.
Comme image réciproque d'un fermé par une application continue, est fermé.
Par ailleurs, on a
donc est borné.
Fermé et borné dans qui est de dimension finie, est un compact, non vide car .
En conclusion, est un polytope.
Toutes les matrices différences de deux matrices bistochastiques vérifient
Il en est de même pour toutes les combinaisons linéaires de ces matrices.
Notons le sous-espace de constitué des matrices vérifiant les conditions précédentes ainsi que l'application qui à associe le bloc est bien définie et linéaire.
Si , alors est sous la forme
Comme la somme des lignes et des colonnes de est nulle, on en déduit et , puis . Ainsi, est injective.
Soit . On définit la colonne et la ligne par
On pose également
Par construction, la somme de chaque colonne de est nulle, donc la somme des coefficients de est nulle. Or, la somme des coefficients des premières lignes est nulle, donc la somme des coefficients de la dernière ligne est nulle.
Finalement, , puis permet de définir un isomorphisme de sur et la famille
est une base de .
On adopte les notations de la question suivante (définition des matrices de permutation ) et, de façon immédiate, on a
Soit . Comme et sont distincts ainsi que et , on peut trouver une permutation telle que
On note la transposition ( ) puis défini par , de sorte que
On a alors
Ceci achève de montrer que
  1. Soit . La matrice est l'unique matrice de vérifiant
ce qui montre que est une face de , de dimension 0 , donc un sommet de .
31. On observe que tous les coefficients de sont dans . Notons :
L'ensemble est non vide puisque .
  • premier point : soit
  • supposons que
Alors on aurait , absurde.
On peut donc choisir tel que .
  • supposons qu'on ait . Alors on aurait , absurde. Donc on a .
  • on construit ainsi une fonction (comme "horizontal") de dans .
  • Symétriquement, on construit une fonction (comme "vertical"), qui à tout couple associe un couple avec .
  • On considère et on lui applique successivement et pour obtenir une suite de vérifiant pour tout et .
    étant fini, il existe des entiers tels que et quitte à considérer le rang suivant, est impair.
    On peut donc trouver une famille de de cardinal minimal telle que et :
  • pour tout , si est impair alors et et si est pair alors et .
  • les éléments de sont deux à deux distincts.
Par construction . Supposons par l'absurde que est pair. On a donc et . Si , la famille contredit la minimalité de . Si , comme , par minimalité de puis la famille ( ) contredit la minimalité de .
Ainsi est impair et on renomme en qui convient. Enfin on remarque qu'on pourrait raccourcir la chaîne s'il existe tel que . Ainsi (utilisé dans la question suivante) sont deux à deux distincts.
32. Soit . On reprend les notations de la question précédente.
Notons la matrice définie par
et sinon.
La matrice est bien définie car les couples
sont distincts deux à deux, et non nulle car .
Par construction, la somme des coefficients d'une ligne quelconque de vaut 0 .
Soit . Si est de la forme
alors les deux seuls coefficients non nuls de la -ème colonne de sont ceux des lignes et , qui valent respectivement -1 et 1 .
Si n'est pas de cette forme, .
Dans tous les cas, la somme des coefficients d'une colonne quelconque de vaut 0 .
Ainsi, pour tout , on a
Soit . Alors on a
On peut donc fixer tel que
Si le couple n'est pas de la forme ( ) ou ( ), on a aussi
Ainsi,
Par l'absurde, supposons que soit un sommet de . On reprend les notations du début de la partie 2 et l'on se donne et une famille de formes linéaires et de réels tel que
Par définition, est une face de et l'on peut fixer non vide inclus dans tel que
On a et donc on peut trouver tel que
On a alors
ce qui est absurde car .
Condition nécessaire. Soit un sommet de . Alors, par ce qui précède, est une matrice à coefficients dans , tous positifs ou nuls, dont la somme des lignes et des colonnes vaut 1 .
On en déduit que chaque coefficient de vaut 0 ou 1 avec exactement un seul 1 par ligne et par colonne.
Pour , on pose l'unique tel que , ce qui permet de définir une application de sur lui-même, injective (pas plus d'un seul 1 par colonne) donc bijective. On dispose donc de tel que

4 Développement des fractions rationnelles

  1. Première inclusion stricte. Soit la fonction constante égale à 1 et . Pour tout , on a
Donc .
Remarque. La relation correspond au calcul formel télescopique
Deuxième inclusion stricte. La fonction est rationnelle ( convient) et n'est pas de torsion sinon cela contredirait le caractère intègre de .
Troisième inclusion stricte. On pose
Raisonnons par l'absurde et supposons qu'il existe tels que
Quitte à multiplier de chaque côté par avec suffisamment grand, on peut supposer sans perte de généralité que et s'écrivent sous la forme
La relation
nous indique que le produit de Cauchy des séries entières et est la série entière .
Chacune de ces séries entières est de rayon de convergence infini, donc sur (le disque ouvert de convergence), on a
Comme n'est pas le polynôme nul, on en déduit, après simplification par le pgcd, l'existence d'une fraction irréductible telle que
Par irréductibilité, et n'ont pas de racine en commun, donc, par le théorème de d'AlembertGauss, est un polynôme constant non nul. On note cette constante.
Par continuité, on en déduit
donc est également un polynôme constant non nul, puis la fonction exponentielle complexe est constante non nulle : absurde.
34. Bonne définition. Soit tels que
On a alors
Linéarité. Soit . Soit ainsi que tel que
On a alors
Noyau. Supposons que et fixons tel que avec . On a alors
Soit . Comme , on peut trouver tel que avec . Comme , on a
ce qui montre que .
Relation. Soit et . Fixons tel que avec .
On a alors
Si , la relation précédente se réécrit .
35. Analyse (unicité). Soit qui convient.
Soit puis tel que et . On note
Comme est non nul, est fini non vide et l'on peut fixer tel que .
Comme est un morphisme de groupes injectif, on a
On calcule dans :
Par le deuxième et le troisième axiome, on en déduit
ce qui achève la preuve de l'unicité.
Existence. Soit . Soit tel que
On reprend les notations précédentes :
On multiplie de part et d'autre par pour obtenir
Enfin, on a
Cela permet de définir une application de dans en posant
De la relation on déduit direct non?
On en déduit
Soit . On a
Enfin, si est tel que
la définition de donne directement

5 Séries d'Euler-MacLaurin

5.1 Rationalité des séries associées aux cônes

  1. Soit . On a alors
𝟙𝟙𝟙𝟙𝟙𝟙𝟙𝟙
Par égalité d'images, on en déduit
On a également
En effet, l'application permet de définir une bijection de sur , ce qui rend licite le changement de variable effectué dans le calcul ci-dessus.
37. Dans un premier temps, notons l'intervalle [ [ et l'intervalle [ 0,1 [ et observons que
L'inclusion directe est claire.
L'inclusion réciproque découle de la liberté de la famille ( ) dans .
En exploitant la remarque liminaire et la question précédente (si , alors ) on obtient
Enfin, le compact
est un ensemble fini. En effet, par l'absurde, s'il existe une suite infinie injective
dans ce compact, elle possède alors une valeur d'adhérence, ce qui est en contradiction avec le fait que
car et sont deux vecteurs distincts de à coordonnées entières.
Par conséquent, l'ensemble
est également un ensemble fini, donc
Fin.
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