(Durée : 6 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Dans tout le problème, le corps de base est le corps des nombres réels ou le corps des nombres complexes.

Soit un espace vectoriel sur le corps . Par l'abus de notation habituel, on peut noter 0 le vecteur nul de . On note l'algèbre des endomorphismes de , c'est-à-dire des applications -linéaires de dans lui-même. On se permet de noter multiplicativement la composition des endomorphismes. Ainsi, si est un endomorphisme de désigne l'application identique de et, pour tout entier strictement positif est la composée de endomorphismes égaux à . On note la trace de l'endomorphisme son déterminant. On dit que est nilpotent s'il existe un entier strictement positif tel que soit nul.

Soit un entier strictement positif. On désigne par l'algèbre des matrices carrées à lignes et colonnes, à coefficients dans . On note la matrice unité de , qui en est l'élément neutre pour la multiplication. Pour dans , il sera commode de noter l'endomorphisme de l'espace vectoriel dont la matrice dans la base canonique est . Le noyau de est le noyau de . Le polynôme caractéristique de est le déterminant de la matrice , où est une indéterminée ; c'est un polynôme en à coefficients dans , unitaire de degré . On note la trace de la matrice et son déterminant. On dit que est nilpotente si l'est, c'est-à-dire s'il existe un entier strictement positif tel que soit la matrice nulle. Si est un espace vectoriel sur de dimension et un endomorphisme de , le polynôme caractéristique de est celui de la matrice de dans n'importe quelle base; il ne dépend pas du choix de cette base.

La première et la deuxième partie du problème sont indépendantes.

Soit un espace vectoriel sur de dimension finie strictement positive. Soit un endomorphisme nilpotent de . Prouver que le polynôme minimal de est de la forme , où est un entier satisfaisant à , et que est nilpotent pour tout scalaire .

Dans cette partie, le corps de base est . On note l'espace vectoriel réel et le sous-espace vectoriel de formé des matrices de trace nulle. On note l'ensemble des matrices nilpotentes de . C'est un cône dans , appelé le cône nilpotent.

Prouver que est un isomorphisme de sur . Démontrer que le cône nilpotent est l'image par du cône de qui a pour équation .
7. Prouver que tout point non nul de est un point régulier de la surface et que le plan tangent à en un tel point est formé des points de tels que .
8. Soit un point de tel que la matrice soit diagonalisable non nulle. Prouver qu'il existe deux plans tangents à passant par . On les note et . Prouver que l'intersection de et de l'image de ces plans par , c'est-à-dire , est l'ensemble des matrices nilpotentes dont le noyau contient une des deux droites propres de .
[On pourra traiter d'abord le cas où est diagonale.]
9. Prouver que le complémentaire de dans est la réunion de trois parties connexes par arcs, que ce sont des parties ouvertes de et que l'une d'elles est formée des points de tels que soit une matrice diagonalisable non nulle.

Dorénavant, le corps de base est . On fixe un entier strictement positif et un espace vectoriel complexe de dimension .

On fixe un endomorphisme nilpotent de . On note le degré de son polynôme minimal, où , de sorte que contient un vecteur tel que .
A.1. Démontrer que les endomorphismes nilpotents de sont les endomorphismes dont le polynôme caractéristique est .
A.2. Soit un vecteur de tel que . Pour un entier tel que , on pose . Prouver que les vecteurs de sont linéairement indépendants et que le sous-espace vectoriel qu'ils engendrent est stable par . En notant l'endomorphisme de induit par , écrire la matrice de dans la base ( ).
A.3. On conserve les notations de la question précédente. Soit une forme linéaire sur qui ne s'annule pas en . Pour un entier tel que , on pose . Prouver que les formes linéaires sont linéairement indépendantes. Notant l'intersection des noyaux de ces formes, démontrer que est un supplémentaire de dans et que est stable par . Que peut-on dire du polynôme minimal de l'endomorphisme de induit par ?

Pour chaque entier strictement positif , notons la matrice suivante de :

autrement dit, c'est la matrice dans la base canonique de de l'endomorphisme qui envoie chaque vecteur de cette base sur le suivant, sauf le dernier dont l'image est nulle.
A.4. Par récurrence sur l'entier strictement positif , prouver qu'il existe un entier strictement positif , une suite finie d'entiers satisfaisant à , et une base de tels que la matrice de dans cette base soit la matrice diagonale par blocs dont les blocs successifs sont .
A.5. Avec les notations de la question précédente, prouver que pour tout entier strictement positif , l'entier dim est le cardinal de l'ensemble des entiers tels que et . En déduire que dans la question précédente, les entiers sont déterminés par .
A.6. On garde les notations de la question A.4. On note le commutant de dans , c'est-à-dire l'ensemble des endomorphismes de tels que . Prouver que est un sous-espace vectoriel de de dimension .
[On pourra exprimer les conditions sur pour que l'on ait .]

Si est un espace vectoriel complexe de dimension finie, toute norme sur munit d'une topologie : elle ne dépend pas du choix de cette norme, on l'appelle topologie naturelle de . En particulier, on munit et l'espace , formé des polynômes de degré au plus , de leur topologie naturelle.

On rappelle que si est la dimension de , si est une base de et si sont les applications coordonnées dans cette base, une application d'un espace topologique dans est continue si et seulement si est continue pour tout entier compris entre 1 et . Une application linéaire d'un espace vectoriel complexe de dimension finie dans un autre est continue (pour les topologies naturelles).
B.1. Prouver que l'ensemble des applications continues de dans est stable par addition et multiplication : si et sont deux telles applications, les applications et , qui à une matrice de associent respectivement et , sont continues.

Soit une matrice de . Prouver que les applications de dans , qui à une matrice associent respectivement et , sont continues.
B.2. Prouver que l'application de dans qui à une matrice associe son polynôme caractéristique est une application continue. En particulier, l'application déterminant de dans est continue.
B.3. Établir que l'ensemble des matrices nilpotentes de est une partie fermée de .
B.4. Soient des entiers strictements positifs et soit l'espace vectoriel des matrices à coefficients complexes qui ont lignes et colonnes. Cet espace est muni de la topologie naturelle. Prouver que la partie de formée des matrices de rang supérieur ou égal à est ouverte.
B.5. Soit une suite de matrices de qui tend vers une matrice lorsque tend vers l'infini. Prouver que pour tout entier assez grand, on a : .

C.1. Soit un endomorphisme de . Pour tout vecteur de , on note l'ensemble des polynômes de tels que . Prouver que est un idéal de non réduit à , et que son unique générateur unitaire divise le polynôme minimal de . Pour un vecteur de , prouver l'équivalence des conditions suivantes :
(i) le polynôme est de degré ;
(ii) les vecteurs sont linéairement indépendants.

Si est nilpotent, démontrer que ces conditions sont vérifiées si et seulement si il existe une base de dans laquelle la matrice de est la matrice décrite avant la question A.4..

On dit que est régulier s'il existe un vecteur de vérifiant ces conditions.
C.2. Soit un endomorphisme régulier de . Prouver que les endomorphismes qui commutent à sont les polynômes en .
C.3. Soit un endomorphisme de et soit un endomorphisme régulier de . On fixe un vecteur de tel que soit une base de , que l'on notera . Prouver que est régulier pour tous les nombres complexes sauf peut-être un nombre fini d'entre eux.
C.4. Soit un endomorphisme de . On suppose que dans une base de , l'endomorphisme a pour matrice la matrice de la question A.4. Soient des nombres complexes distincts deux à deux, et soit l'endomorphisme de ayant pour matrice dans la base la matrice diagonale par blocs dont les blocs successifs sont . Prouver que est régulier.
C.5. Soit un endomorphisme nilpotent de . Prouver qu'il existe un endomorphisme régulier qui commute à .
C.6. Soit un endomorphisme nilpotent de et soit un endomorphisme de qui commute à . On note le sous-espace vectoriel de engendré par les endomorphismes lorsque et parcourent les entiers naturels. Prouver que est de dimension au plus .
[On pourra traiter d'abord le cas où est régulier et utiliser B.4. pour le cas général.]
C.7. Soient et deux endomorphismes nilpotents de qui commutent entre eux. On note le sous-espace vectoriel de engendré par les endomorphismes quand parcourt les couples d'entiers naturels non tous deux nuls. Prouver que est de dimension au plus .
C.8. Pour , donner un exemple d'endomorphismes et comme dans la question C.7., tels que soit de dimension 3 mais ne contienne aucun endomorphisme régulier.
[On pourra chercher des endomorphismes dont la matrice dans une base donnée de est triangulaire supérieure, à coefficients 0 ou 1.]

Une partition est une suite décroissante d'entiers, nuls à partir d'un certain rang. Si est une partition, on note la somme des entiers et on dit que est une partition de l'entier ; enfin, on dit que est la part d'indice de . Le diagramme de est l'ensemble des points de dont les coordonnées sont entières et satisfont à et .
D.1. Soit une partition. Pour entier strictement positif, on note le nombre d'entiers strictement positifs tels que . Prouver que est une partition et que l'on a .

On dit que est la partition conjuguée de et on la note .
D.2. Quelle est la transformation géométrique qui permet de passer du diagramme d'une partition à celui de ? (Justifier.) Prouver que pour toute partition .

Si et sont deux partitions, on écrit si l'on a et si, pour tout entier strictement positif, .
D.3. Prouver que la relation est une relation d'ordre sur l'ensemble des partitions. Établir que la restriction de la relation à l'ensemble des partitions de l'entier 6 n'est pas une relation d'ordre total.
D.4. Soient et deux partitions; on suppose que et que . Prouver qu'il existe une partition satisfaisant à , et telle que pour tous les entiers strictement positifs sauf deux d'entre eux, et , pour lesquels on a: et .
D.5. Soient et deux partitions. Prouver que les conditions et sont équivalentes.

On note l'ensemble des matrices nilpotentes de .
À chaque partition de dont les parts non nulles sont , on associe la matrice décrite dans la question A.4. et on note l'ensemble des matrices de semblables à .
E.1. Prouver que, quand parcourt l'ensemble des partitions de , les parties sont deux à deux disjointes et que est l'union des . Prouver que si est une partition de , l'adhérence de dans l'espace vectoriel est une réunion de parties de la forme .
E.2. Soit une partition de . Calculer lorsque est une matrice diagonale inversible de . Prouver que la matrice nulle est dans l'adhérence de . Soit l'ensemble des matrices semblables à , correspondant à la partition qui a une seule part non nulle, ( ). Prouver que l'adhérence de est et que est une partie ouverte de .
E.3. Soient et deux partitions de . On suppose que l'adhérence de contient . Prouver que l'on a: .
[On pourra utiliser en particulier les questions A.5. et B.5.]
E.4. Supposons pair, . Soient la partition ( ) et la partition . Prouver que l'adhérence de dans contient .
est une base de et si est l'endomorphisme qui a dans cette base la matrice , on pourra considérer les images de et par et ses itérés, pour tout nombre complexe non nul .]
E.5. Soit une partition de . Montrer que l'adhérence de dans est la réunion des où parcourt l'ensemble des partitions de telles que .