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ENS Mathématiques BCPST 2008

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Séries et familles sommablesSéries entières (et Fourier)
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Banque
X-ENS
Année
2008
Filière
BCPST
Matière
Maths
X-ENS BCPSTX-ENS 2008BCPST MathsMaths 2008
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Filière BCPST

MATHÉMATIQUES

Epreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan

Durée : 4 heures

L'usage de calculatrice est interdit.

L'objectif de ce sujet est d'étudier les propriétés de modèles simples pour la croissance d'une sous-population de cellules mutantes au sein d'une population de cellules sauvages.
Le sujet comporte cinq parties relativement indépendantes et de difficultés variées, pouvant être traitées dans le désordre. Toutefois, les résultats, admis ou démontrés, de la deuxième partie intitulée «Fonctions génératrices» sont censés pouvoir servir dans les trois parties qui suivent. Il est donc recommandé de parcourir le sujet dans son intégralité avant de démarrer. Enfin, il est demandé de veiller au soin de la présentation, à la rigueur et à la concision des raisonnements.

Notations

Le logarithme (neperien) est désigné par . L'ensemble des entiers naturels est noté et l'ensemble des nombres réels .
Par convention, une somme indicée par un ensemble vide est nulle, et un produit indicé par un ensemble vide est égal à 1 . Pour tout entier naturel , la notation ! désigne le produit des premiers entiers non nuls, et en particulier . On rappelle que le nombre de parties à éléments d'un ensemble à éléments est noté et vaut .
Une variable aléatoire à valeurs dans sera appelée v.a.e., pour variable aléatoire entière.

Première partie : un modèle déterministe simple

Dans cette partie, on s'intéresse au comportement moyen (non aléatoire), en fonction du temps (entier), d'une population de cellules composée de deux types, les cellules dites sauvages et les cellules dites mutantes. On suppose ici que les cellules ne meurent pas et qu'à chaque pas de temps, chaque cellule sauvage produit en moyenne cellules filles, et chaque cellule mutante cellules filles, où et sont deux réels positifs. Au temps 0 , la population est constituée d'une seule cellule, et cette cellule est sauvage.
  1. Interpréter le modèle suivant :
ainsi que les réels et . Que valent et ?
2. Donner une expression de en fonction de et .
3. a) Soient deux suites et liées pour tout entier par la relation , où est un nombre réel quelconque. Exprimer en fonction de , de , de et des premiers éléments de la suite .
b) Exprimer en fonction de et . On distinguera les cas et .
4. a) Suivant la position de par rapport à , établir un équivalent asymptotique, lorsque , de , et .
b) Montrer que la proportion asymptotique de cellules mutantes vaut 1 si , et si .

Deuxième partie : fonctions génératrices

Pour toute v.a.e. X , on définit sa fonction génératrice par :
où, par définition, .
  1. Montrer que est bien définie sur , calculer et .
  2. De manière générale, pour toute suite réelle , on définit formellement la série entière de terme général par
et l'on cherche notamment à déterminer le domaine de définition de .
Soit l'ensemble suivant :
é
et sa borne supérieure.
a) Montrer que si , alors pour tout ,
a-i) ,
a-ii)
la série de terme général converge absolument.
b) Montrer que pour tout , la série de terme général diverge. En déduire deux inclusions entre les ensembles et .
On appelle rayon de convergence de la série entière .
3. Calculer le rayon de convergence des séries entières de terme général :
a) , en fonction de la valeur du nombre réel ;
b) , en fonction de la valeur du nombre réel ;
4. Soient la série entière de terme général et la série entière de terme général . On suppose que les rayons de convergence et de et respectivement, sont non nuls, et l'on définit . Soit
a) Montrer que la série de terme général converge absolument pour tout .
On admettra par la suite que pour tout ,
b) Montrer que si X et Y sont deux v.a.e. indépendantes dont les fonctions génératrices sont désignées respectivement par et , alors la fonction génératrice de est .
5. a) Soit une suite de v.a.e. indépendantes et de même loi, de fonction génératrice commune . Pour tout entier , donner la fonction génératrice de la v.a.e. .
b) Soient N une v.a.e. de fonction génératrice indépendantes des Montrer que la somme est une v.a.e. de fonction génératrice .
Dans la suite, on admettra que toute série entière de terme général est dérivable sur ]-R [, et que
On pourra également se servir des trois égalités suivantes :
On admettra enfin qu'un développement en série entière est unique, c'est-à-dire que s'il existe deux suites réelles et , et un nombre réel , tels que pour tout ,
alors quel que soit .

Troisième partie : la distribution de Luria-Delbrück

On suppose qu'il existe une suite de réels positifs et une fonction continue sur , tels que
et
où est un réel strictement positif.
  1. Calculer les limites de en 0 et en 1 . En déduire que est une loi de probabilité sur , que l'on appellera distribution (ou loi) de Luria-Delbrück.
  2. En dérivant , montrer que
  1. a) Établir la relation de récurrence suivante :
b) Calculer .
4. a) Écrire sous la forme d'une série entière sur l'intervalle .
b) Soit et
Montrer que est une loi de probabilité, calculer sa fonction génératrice et son espérance.
5. a) Soient une suite de v.a.e. indépendantes de même loi, dont on note la fonction génératrice commune. Soit N une variable aléatoire de Poisson de paramètre , indépendante de la suite . On définit alors la variable aléatoire Y par
Calculer la fonction génératrice de Y .
b) Trouver et pour que Y suive la loi de Luria-Delbrück.

Quatrième partie : étude succincte du modèle de Luria-Delbrück

On considère une population de cellules sauvages et mutantes. Au temps 0 , la population démarre avec une seule cellule, qui est sauvage. À chaque pas de temps , une cellule et une seule, prise au hasard (uniformément) dans la population, se divise en deux ; par conséquent, entre les temps et , le nombre de cellules est . On se donne un nombre réel , qui est la probabilité de mutation, et l'on note :
  • lorsqu'une cellule sauvage se divise, elle se divise en deux cellules sauvages avec probabilité ; avec probabilité , en une cellule sauvage et une cellule mutante;
  • lorsqu'une cellule mutante se divise, elle se divise toujours en deux cellules mutantes. On note la probabilité associée à ce modèle.
On désigne par le nombre de cellules sauvages présentes dans la population entre les temps et , et par le nombre de cellules mutantes. Enfin, on empruntera les notations suivantes :
pour tous entiers naturels et .
  1. a) Donner pour tout .
    b) Lorsque , donner la loi du temps d'apparition de la première cellule mutante, ainsi que son espérance.
  2. a) Montrer que la suite a une limite, finie ou infinie, que l'on notera . On cherche à calculer .
    b) Soient des entiers non nuls. Établir l'égalité suivante :
c) Soit une suite de nombres réels appartenant à l'intervalle ] [. Montrer que la suite est convergente, et que sa limite est nulle si et seulement si la série de terme général diverge.
d) Montrer que pour tout , même si ,
En déduire que pour tout .
e) Donner la valeur de ou 0 , et en déduire, selon la valeur de , celles de et de .

Cinquième partie : loi du nombre de cellules mutantes

Le but de cette partie est d'établir explicitement la loi de , puis d'obtenir son comportement asymptotique lorsque la probabilité de mutation est faible, de l'ordre de . On rappelle avoir défini et .
  1. Montrer la relation de récurrence suivante pour tous entiers naturels et :
  1. Montrer que pour tous entiers naturels et ,
  1. Montrer également que pour tous entiers ,
  1. À partir de maintenant, pour tout et tout , on définit
a) Montrer que est bien définie.
b) Établir l'égalité suivante en utilisant la question 2 et sans justifier les interversions de sommes :
où , et sont des nombres réels positifs à déterminer.
5. Montrer que pour tout ,
  1. a) Pour tout , établir la limite suivante :
b) En déduire que pour tout ,
  1. Expliquer pourquoi la distribution dite de Luria-Delbrück de la troisième partie fournit un candidat pour la limite de , et donner le ou les principaux obstacles à une démonstration mathématique rigoureuse.
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