J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

ENS Mathématiques BCPST 2011

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Logo ens
🔗 Explorer
Banque
X-ENS
Année
2011
Filière
BCPST
Matière
Maths
X-ENS BCPSTX-ENS 2011BCPST MathsMaths 2011
2025_08_29_e0948dd93142779fcce2g

Corrigé ENS 2011

Corrigé proposé par Martine Ginestet et Francis Denise (UPA)
Remerciements à Sébastien Kerner pour les tableaux de variations

I Caractérisation algorithmique de la taille d'un cluster

  1. Le nombre maximal de voisin de est égal à
Notons le nombre de voisins de
, somme de Bernoulli indépendantes de même paramètre d'où
  1. Exemple
1 2 3 4 5 6
Etape 0 A N N N N N
Etape 1 I A A N N N
Etape 2 I I A A N N
Etape 3 I I I A N N
Etape 4 I I I I N N
, l'algorithme s'arrête à l'étape 4
A chaque étape, on rend inactif un voisin, donc forcément, les inactifs en fin d'algorithme sont des sommets reliés à 1 .
D'autre part, à la fin de l'algorithme, il ne reste plus de sommets activés.
Si on suppose qu'il existe un sommet du cluster neutre, il existe un chemin le reliant au sommet 1, et tous les sommets de ce chemin ont été activés à un moment, puis rendus inactifs.
L'ensemble des sommets inactifs est égal au cardinal du cluster.
A chaque étape, un sommet est inactivé, donc l'algorithme s'arrête à l'étape
3. a) est la variable certaine égale à est la variable certaine égale à 0
'aucun sommet n'est relié à 1 ')
b) A chaque étape 1 et 1 seul sommet est inactivé, notons le nombre de sommets inactifs


est le premier entier tel que
c) Si , à l'étape , il y a :
  • actifs ; il en restera parmi cela actifs à l'étape
  • il y a inactifs
  • est le nombre de sommets voisins de qui sont neutres et qui deviennent alors actifs à l'étape
    . Il reste sommets neutres qui ont chacun la probabilité d'être voisin de , de manière indépendante . D'où
    Le nombre d'actifs à l'étape est alors : Si

II. Etude d'une approximation déterministe de la taille d'un cluster


  1. (interversion des , non au programme des BCPST)
  1. étant majorée par , elle admet une espérance
    car si alors

    car si alors


    d'aprés le 4 .
    D'où
    Pour fixé et grand, est proche de 1 ( on peut l'admettre?)
    On peut donc approximer par :

    En remplaçant :


  1. En remplaçant :
    Choisissons :
    Alors : et d'où
  1. a)


    est croissante puis décroissante, la valeur maximale est atteinte en

    Si qui est du signe de
    Donc pour assez grand, est du signe de
    b) d'où
    et d'où

Si


c) Soit
et



Etudier
et
0
0
-
-
Thm de la bijection : il existe un unique , tel que
Remarque : il n'est pas utile de montrer que s'annule, car comme et , admet forcément un maximum sur
8. On admet que est le premier entier tel que
On cherche donc le premier entier tel que
Si
Si , donc pour assez grand, d'où
Si , donc pour assez grand, d'où
Soit , pour assez grand,
Si
pour assez grand, d'où
pour assez grand,
Cela donne la taille du cluster 1 et donc la proportion de la population infectée par l'agent pathogène.
On a donc monté que si , on obtient un pourcentage infecté et si , une quantité négligeable est atteinte

III. Quelques propriétés d'une marche aléatoire

  1. D'aprés la définitions de et
Or et prend ses valeurs dans .
Donc et si et seulement si et
Donc est le premier entier tel que
10.
Par la formule de transfert :

Or, donc en prenant , on a bien l'inégalité demandée
11. On suppose
a)
D'où
Or
somme de var i.i.d. admettant une espérance égale à et une variance, par la loi faible des grands nombres :
ou


, choisissons

D'où et
D'où
b)
avec
( étude de )
c)

fonction de
d'où fonction de
D'où fonction de
fonction de
D'où par indépendance :
Pour les mêmes raisons, comme
d)



e)



On admet que (interversion espérance et sommation)
f)
si


  1. On suppose
    a) est décroissante sur et croissante sur
    et donc et
0
Par le thm de la bijection, tel que
b)
Soit


Or d'aprés le tableau de variation de sur étant décroissante sur [, on en déduit que d'où
est une fonction croissante sur
c)



Si d'où



Or d'où
d) On suppose que , alors
En effet


. En effet, on "démarre" à et on veut obtenir , cela revient à supposer à l'aide d'un changement d'origine, que et on cherche le premier instant où
D'où
est maintenant une variable supérieure à :
avec
  1. On suppose
    a) comme somme de binomiales indépendantes
    (formule de transfert)

    car pour
    D'où
b) Inégalité de Markow : Si , et
On pose ici et
car

D'où
c) Soit
d) Par la formule de Taylor-Lagrange :
e) En reprenant la variable définie dans le b. et
car
D'où
Soit

IV. Taille du plus grand cluster lorsque

  1. On définit la variable par :
Si , alors
  1. a)
    On peut remarquer que la formule donnée pour est aussi valable pour car alors et
    Si
    D'où
    Si


    et par indépendance, (cf résultat admis)
Les étant indépendantes et les étant construits à partir d'une partition (aléatoire) des , on obtient l'indépendance des et donc des
Si
Donc ( ) et croissante tant que
Remarquons que la réponse à la deuxième question découle du résultat de la quatrième
b) On a déjà montré que
Or est le premier entier tel que , donc
  1. a) Si on note , on a les hypothèses du III avec et
    , on peut donc utiliser les résultats du 11:
    Notons où désigne la partie entière de


    Or d'où
b) Par rôle symétrique des clusters,
Notons , tel que "


Par le thm des gendarmes:
  1. Si un seul individu est infecté au départ, le nombre d'individus infectés est la taille d'un cluster.
Dans une grande population, avec une probabilité proche de 1 , chaque cluster a une taille négligeable ( en ) par rapport au nombre d'individus ( ) si le nombre moyen de voisins de chaque site est strictement inférieur à 1 .
En effet le nombre moyen de voisins est
ENS Mathématiques BCPST 2011 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa