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ENS Mathématiques BCPST 2013

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X-ENS
Année
2013
Filière
BCPST
Matière
Maths
X-ENS BCPSTX-ENS 2013BCPST MathsMaths 2013
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ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES

CONCOURS D'ADMISSION SESSION 2013

FILIÈRE BCPST

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

Épreuve commune aux ENS de Cachan, Lyon, Paris et de l'ENPC
Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Ce problème se compose de quatre parties. Les réponses à certaines questions de la partie I sont utiles dans les parties II et III. La partie IV peut être traitée indépendamment des autres.
L'objet du problème est d'étudier différentes questions liées à l'étude d'un modèle simplifié d'infection d'un organisme constitué d'une chaîne de cellules par un parasite. Le modèle précis d'infection change selon les parties du problème.
Il est recommandé de lire l'ensemble de l'énoncé attentivement. Il est demandé de veiller au soin de la présentation, ainsi qu'à la rigueur et à la concision des raisonnements.

1 Parasites, Fonctions génératrices et loi de Poisson

Soit une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre . On rappelle qu'une variable de loi de Poisson de paramètre a pour distribution
Étant donné une variable aléatoire à valeurs dans les entiers naturels, on définit la fonction génératrice de , notée , par
  1. Exprimer la fonction génératrice de sous forme d'une série. Pour ces valeurs calculer la limite pour donner une expression simple de .
On admettra que si est bien définie pour tout intervalle ouvert alors
est également bien définie (i.e. on peut dériver terme à terme).
2. Soit une variable aléatoire à valeurs dans . Montrer que si est la dérivée -ième de on a
En déduire une expression de l'espérance et de la variance de à l'aide de et de ses dérivées et retrouver les expressions de l'espérance et de la variance de la loi de Poisson de paramètre .
3. Exprimer pour à l'aide des dérivées de la fonction et en déduire que la fonction génératrice caractérise complètement la loi de .
Dans toute la suite du problème on considère la situation suivante. Un organisme est constitué d'une longue chaîne de cellules (ou de segments) reliés les uns aux autres comme sur la figure suivante.
Figure 1: Une chaîne de cellules
La cellule -ou segment- numéro 1 est infectée par un parasite qui tente d'envahir l'organisme. Les parasites sont de deux types:
Actif : Seul le parasite initialement présent dans la cellule 1 est de ce type. Le parasite actif est le seul qui se déplace et qui peut se reproduire et infecter les cellules.
Passif : Les parasites passifs sont des descendants du parasite actif. Ils ne peuvent ni se reproduire ni se déplacer.
Lorsque le parasite actif est présent dans la cellule il commence par produire descendants passifs qui s'installent dans la cellule . Il tente ensuite d'infecter la cellule avec une probabilité de succès . On suppose que les variables sont indépendantes et identiquement distribuées de loi commune une loi de Poisson de paramètre . Lorsque le parasite actif échoue pour la première fois à envahir la cellule suivante il meurt et l'invasion s'arrête.
Un exemple possible d'invasion peut donc être décrit comme suit :
  • Le parasite actif est dans la cellule 1 . Il produit descendants passifs.
  • Le parasite actif réussit à envahir la cellule 2. Il y produit descendants passifs.
  • Le parasite actif réussit à envahir la cellule 3 . Il y produit descendants passifs.
  • Le parasite actif échoue à envahir la cellule 4 et meurt. L'invasion s'arrête.
Dans cet exemple 3 cellules ont été envahies et le nombre total de parasites à la fin de l'invasion est .
4. Soit le nombre total de cellules qui ont été infectés lorsque l'invasion s'arrête. Donner la loi de (commencer par donner et .
5. Quelle est la probabilité pour qu'une cellule infectée soit saine (i.e. ne contiennent aucune copie du parasite) ?
6. Soit la dernière (i.e. celle avec le plus haute numéro) cellule infectée qui contient des parasites. On a bien sûr (mais on peut avoir ). Calculer la loi de i.e ( ). Donner la loi jointe de ( ). Les variables et sont-elles indépendantes ?
On s'intéresse à présent à la loi du nombre total de parasites dans les cellules
  1. Calculer la fonction génératrice de .
  2. Soient et deux variables aléatoires indépendantes et à valeurs dans , de fonctions génératrices respectives et . Exprimer la fonction génératrice de en fonction de s, et .
  3. En déduire la loi de lorsque si suit une loi de Poisson de paramètre suit une loi de Poisson de paramètre et et sont indépendantes.
  4. Soient des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de fonction génératrice . Soit encore une variable indépendante des de fonction génératrice . En sommant sur les différentes valeur possible de montrer que la fonction génératrice de (par convention si ) est donnée par
  1. En déduire une expression de la fonction génératrice de

2 Un modèle modifié

On modifie a présent le modèle. Plus une cellule contient de parasites et plus elle a de chances d'infecter sa voisine.
Si la cellule est infectée elle contient copies du parasite. Chacun de ces parasites a une probabilité d'infecter la cellule . Si au moins un parasite parmi les de la cellule réussit, la cellule est infectée. Si ou si tous les parasites de la cellule échouent l'invasion s'arrête. Initialement, la cellule 1 est infectée. On suppose de nouveau que les variables sont indépendantes et identiquement distribuées de loi de Poisson de paramètre . Un exemple possible d'invasion peut donc être décrit comme suit :
  • La cellule 1 est infectée. Elle contient copies.
  • Au moins l'un de ces 4 parasites réussit à infecter cellule 2. Elle contient copies.
  • Au moins l'un de ces 7 parasites réussit à infecter cellule 3. Elle contient copies.
  • Aucun de ces 2 parasites ne réussit à infecter cellule 4 . L'invasion s'arrête.
Dans cet exemple, trois cellules ont été infectées et le nombre total de parasites lorsque l'invasion s'arrête est .
12. Quelle est la probabilité pour que la cellule 2 ne soit pas infectée. Quelle est la probabilité que la cellule soit infectée sachant que la cellule est infectée. Donner la loi de .
Soit l'évènement la cellule est envahie où est toujours le nombre de cellules infectées. Pour un évènement on note la fonction caractéristique de , i.e. la variable qui vaut 1 si se réalise et 0 sinon. La notation désigne l'évènement complémentaire de .
13. Donner la loi jointe du couple de variables ( ). Calculer les pour Donner l'expression de la fonction génératrice qui correspond à la distribution .
14. Calculer les Donner l'expression de la fonction génératrice qui correspond à la distribution .
15. montrer que pour tout et on a
On vient de montrer que conditionnellement à les variables et sont indépandantes. Plus généralement, on peut en déduire que conditionnellement à les variables forment une famille ind'pandante de lois respectives pour les variables et pour .
16. Soit le nombre total de copies du parasites présentes dans les cellules, . Donner une expression de
à l'aide de et .
17. On cherche à distinguer lequel des deux modèle est le meilleur. Pour cela on réalise l'expérience suivante : on introduit la parasite dans la cellule 1 de l'organisme et on laisse l'infection se développer. Lorsque l'invasion s'arrête on compte le nombre de parasites présents dans chaque cellule. Par contre on ne sait pas distinguer une cellule infectée mais saine (sans parasites) d'une cellule non-infectée. On suppose que l'on est capable de répéter cette expérience un grand nombre de fois. Comment feriez-vous pour déterminer lequel des deux modèles est le plus réaliste ?

3 Un test statistique

On se place de nouveau dans le cadre du modèle de la section 1 . Comme dans la question ci-dessus, on suppose que l'on répète un grand nombre de fois l'expérience suivante : on infecte la cellule 1 d'une chaîne de cellules puis l'on observe le nombre total de cellules infectées à la fin de l'invasion. On note ce nombre pour l'expérience numéro .
18. La suite
converge-t-elle ? Si oui vers quelle valeur ?
19. Rappeler l'énoncé du théorème de la limite centrale.
20. Démontrer que la variance de est donnée par la formule
  1. On suppose et . Calculer, à l'aide de la table ci-dessous et de la valeur un encadrement de la probabilité que .
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.4 2.8 3 3.4
0.841 0.885 0.919 0.945 0.964 0.977 0.992 0.9974 0.9987 0.9997
Dans la table ci-dessus est la fonction de répartition d'une loi normale centrée réduite.
On veut tester l'hypothèse . Pour cela on commence par supposer que . On se donne un niveau de confiance, et on rejette l'hypothèse à ce niveau de confiance si le observé avait une probabilité inférieure à sous l'hypothèse.
22. D'après la question précédente, rejette-t-on l'hypothèse au niveau de confiance si l'on observe un ?

4 Un processus de branchement

On cherche à présent à décrire l'évolution de l'infection au cours du temps. Pour cela on va modéliser la situation en oubliant dans un premier temps qu'il y a plusieurs cellules dans l'organisme. On se contente de suivre le nombre total de parasites dans l'organisme au cours du temps. Le temps est discret et indexé par les entiers On note le nombre total de parasites à l'instant . À l'instant initial il y a un unique parasite . On appelle génération les parasites en vie à l'instant .
Soit une distribution de probabilité sur et soit une variable de loi , i.e. . On note son espérance. On passe de la génération à la génération en remplaçant chaque individu de la génération par un nombre aléatoire, indépendant de descendants de loi . Autrement dit, si désigne le nombre de descendants de l'individu dans la génération on a
  1. Calculer . Donner une expression pour .
On s'intéresse ici à la probabilité d'extinction de l'infection, i.e. est-ce qu'il existe un temps fini aléatoire tel que ? Posons . On note la fonction génératrice de , i.e. définie pour .
24. Exprimer en fonction de .
25. En utilisant la question 8 donner une expression de et plus généralement de à l'aide de .
26. Représenter graphiquement la fonction sur . Interpréter sur la figure les quantités et . On veillera à ce que la représentation respecte les aspects qualitatifs de la fonction (sens da variation, signe de la dérivée seconde). On distinguera les situations et .
27. On se place dans le cas . Montrer que l'équation a une unique solution sur . Montrer que si alors [. De même, montrer que si alors
28. Représenter sur le graphe de la fonction (dans le cas ) les trois premiers termes de la suite .
29. On se place toujours dans le cas . Montrer que converge vers la limite .
30. On suppose à présent que . Prouver que converge vers 1 . Placer les premiers termes de la suite sur le graphe de dans le cas .
Les deux dernières questions permettent de conclure que l'infection s'éteint en temps finit presque sùrement (i.e. avec probabilité un) si et seulement si . Si alors l'extinction s'éteint en temps fini avec probabilité et survit pour toujours avec probabilité .
On s'intéresse à présent à la position des parasites au cours du temps. Le parasite initial de l'infection est dans la cellule 1. Chaque parasite choisit au moment de sa naissance soit de rester dans la même cellule que son parent (avec probabilit ) soit de sauter de 1 vers la droite (avec probabilité ). À l'instant on note ( ) la suite du nombre de parasites dans les cellules et on a
De ce fait, la trajectoire d'un parasite typique au cours du temps est donnée par le processus
où les sont des variables de Bernoulli de paramètre indépendantes entre elles.
31. Étudier la convergence de .
Figure 2: Une réalisation possible du processus de branchement : les trois premièrres générations.
Pour on cherche à présent à estimer le nombre de parasite à droite de la position an quand devient grand.
32. Montrer, que pour on a
En déduire que
  1. Donner une approximation de pour grand à l'aide de la loi normale.
Afin de déterminer le plus grand tel qu'il y a des parasites au dessus de on va utiliser des bornes sur la queue de distribution de la loi normale
  1. En utilisant que pour et on a montrer que
  1. À l'aide d'une intégration par partie bien choisie, montrer que
  1. En déduire
On peut montrer que est vraiment la vitesse de propagation de l'infection, c'est-àdire que si est la position du parasite le plus à droite à l'instant , alors avec probabilité 1.
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