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ENS Physique PC 2010

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X-ENS
Année
2010
Filière
PC
Matière
Physique
X-ENS PCX-ENS 2010PC PhysiquePhysique 2010
2025_09_04_c1b3d3a682817242e148g
SESSION 2010

Filière PC

PHYSIQUE PC1

ENS de Paris
Durée : 6 heures

Abstract

L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.

Ces dernières années, des expériences réalisées sur des gaz d'atomes refroidis par laser ont permis d'étudier le comportement de systèmes quantiques bidimensionnels. Ces études ont montré que ces systèmes possédaient des propriétés originales par rapport à leurs homologues tridimensionnels, en particulier l'existence d'une transition de phase associée à la formation spontanée de tourbillons. Dans cet énoncé, on aborde quelques aspects de ces expériences. Les trois parties sont en grande partie indépendantes, les résultats des deux dernières questions de la première partie étant réutilisés dans la seconde. La première partie traite de l'interaction lumière matière et introduit les techniques de manipulation d'atomes par laser. Dans la deuxième nous préciserons comment réaliser un système bidimensionnel en confinant fortement les atomes. Enfin, dans la troisième partie nous présenterons certains des résultats expérimentaux obtenus sur ces gaz à deux dimensions.
Notations : les vecteurs sont notés en gras et . Par ailleurs on représentera une fonction oscillante par une fonction complexe telle que
avec .

Données numériques

780 nm

Formulaire

On a les identités suivantes
Gradient en coordonnées cylindriques :
Laplacien d'une fonction radiale en coordonnées cylindriques
Élément de surface en coordonnées polaires .

1 Interaction lumière-matière

  1. Modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène. On modélise un atome d'hydrogène par un électron de masse et de charge gravitant autour d'un proton supposé infiniment lourd.
    Q1. Donner l'expression de la force s'exerçant sur l'électron. De quelle énergie potentielle dérive t'elle?
    Q2. En supposant que l'électron obéit aux lois de la dynamique classique, calculer la vitesse de l'électron sur une orbite circulaire de rayon .
    Q3. Déduire de la question précédente l'expression de l'énergie mécanique en fonction du module du moment cinétique , de la masse de l'électron, de et de .
    Q4. Pourquoi ce modèle dit planétaire entre-t'il en contradiction avec les lois de l'électromagnétisme?
    Pour contourner cette difficulté, Niels Bohr a postulé que seules étaient stables les trajectoires pour lesquelles le moment cinétique était égal à , où est la constante de Planck réduite et est un entier positif.
    Q5. Déduire de ce principe que les niveaux d'énergies permis sont quantifiés.
    Q6. Calculer en eV l'énergie du niveau fondamental, ainsi que le rayon de la trajectoire classique correspondante. L'électron est-il relativiste?
    Q7. Donner l'expression de la longueur d'onde d'un photon résonnant avec la transition entre l'état fondamental et le premier état excité. En déduire l'expression du rapport à l'aide de la constante de structure fine .
    Q8. Préciser la dimension et la valeur de . Qu'en déduit-on pour le rapport ?
  2. Modèle de l'électron élastiquement lié. Polarisabilité d'un atome. Afin de simplifier l'étude du couplage de l'atome à un champ électromagnétique, on décrit l'interaction de l'atome avec le rayonnement par le modèle de Thomson de l'électron élastiquement lié dans lequel on modélise à présent la force de liaison entre le noyau et l'électron par une force de rappel linéaire , où désigne la position de l'électron par rapport au noyau supposé immobile. On suppose par ailleurs que le mouvement de l'électron est amorti par une force de frottement visqueux , où désigne la vitesse de l'électron.
    Q9. Préciser les dimensions de et .
    Q10. Quelle est l'origine de la force dissipative introduite dans la dynamique?
    Q11. On excite l'atome par une onde électromagnétique polarisée rectilignement que l'on écrit en notations complexes
À l'aide des équations de Maxwell dans le vide, donner la structure du champ électromagnétique de l'onde. Préciser en particulier le rapport des amplitudes des champs électriques et magnétiques. Q12. Écrire le principe fondamental de la dynamique pour l'électron. On explicitera et justifiera notamment les éventuelles simplifications apportées aux équations du mouvement.
Q13. Résoudre l'équation précédente en régime sinusoïdal forcé. En déduire que le dipôle électrique de l'atome peut s'écrire
où l'on donnera l'expression de en fonction des paramètres du problème.
Fig. 1 - Profil de densité optique d'un nuage de rubidium après une expansion libre de 20 ms . À droite : coupe du profil de densité.
Q14. Tracer l'allure de la partie réelle et de la partie imaginaire de que l'on notera dans la suite et .
Q15. Pour grand en valeur absolue devant , montrer que domine .
Q16. Calculer la puissance moyenne de la force exercée par le champ électrique sur l'électron en fonction de et .
Q17. Montrer que est maximale pour . Comment interpréter ce résultat dans une description corpusculaire de la lumière ?
Q18. On considère que l'onde se propage selon la direction . Donner l'expression de la valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting de l'onde incidente en fonction de et .
Q19. On pose . Quelle est sa dimension et son expression en fonction de et ?
Q20. On considère l'absorption de l'onde par une assemblée d'atomes répartis selon une densité s'annulant pour . En effectuant un bilan d'énergie dans une tranche d'épaisseur et de surface , montrer que
Q21. Résoudre cette équation et montrer que la mesure de permet d'avoir accès à la densité atomique intégrée .
Q22. On admet pour le moment que les techniques de manipulation d'atomes par la lumière permettent de confiner une vapeur d'atomes dans le vide. Sur la Figure 1, on considère un gaz de atomes de taille initiale . À on supprime le potentiel de piégeage. Donner un ordre de grandeur de la densité d'atomes initiale dans le nuage et montrer que l'on peut supposer que les atomes évoluent librement.
Q23. La figure 1 représente une image en fausses couleurs du profil de densité intégré du nuage après 20 ms d'expansion et mesuré par la technique décrite ci-dessus. Déduire de la taille du nuage un ordre de grandeur de la température des atomes dans le piège.
3. Forces radiatives. On s'intéresse à présent aux forces subies par un atome placé dans un champ électromagnétique monochromatique dont le champ électrique complexe a pour forme générale
où est un vecteur à composantes réelles.
Q24. Montrer que la force s'exerçant sur l'atome peut s'écrire
Q25. On note la valeur moyenne temporelle d'une grandeur périodique . Que vaut ? À l'aide d'une des équations de Maxwell, en déduire que
Q26. Déduire des questions précédentes que pour , on peut écrire cette force comme
Q27. Expliquer pourquoi cette force porte le nom de force dipolaire. Montrer que celle-ci dérive de l'énergie potentielle
Discuter selon le signe de si l'atome est repoussé ou attiré par les zones de forte intensité lumineuse.

2 Optique gaussienne, pièges dipolaires

  1. Faisceau Gaussien : On considère un faisceau laser monochromatique polarisé rectilignement dans la direction et se propageant dans le vide dans la direction et dont on met le champ électrique sous la forme
où et est éventuellement complexe.
Q28. Déduire des équations de Maxwell que le champ électrique vérifie une équation d'onde.
Q29. Écrire l'équation satisfaite par .
Q30. Dans un faisceau laser typique, comparer les distances caractéristiques de variation de l'intensité lumineuse dans les directions et . En déduire que l'équation précédente peut se simplifier en
dite équation de l'enveloppe lentement variable où .
Q31. On cherche les solutions de cette équation sous la forme d'un profil gaussien
avec , et où et sont deux fonctions de à valeurs complexes. Tracer l'allure du profil d'intensité du faisceau à fixé. Soit la mi-largeur à du faisceau définie par . Donner la valeur de en fonction de et de .
Q32. Montrer que et sont solutions du système d'équations différentielles
Q33. Donner l'expression de en fonction de et . Montrer que par un choix de l'origine des , on peut choisir réel, hypothèse que l'on supposera satisfaite par la suite.
Q34. Déduire des questions précédentes l'expression de (on introduira ).
Q35. En utilisant les résultats précédents, préciser l'expression de en fonction de et , où désigne la longueur d'onde du rayonnement.
Q36. Tracer l'allure de . Préciser et interpréter son comportement aux grandes valeurs de .
Q37. Quel est le diamètre typique d'un faisceau laser? En déduire un ordre de grandeur pour dans le cas d'un laser émettant dans le domaine optique.
Q38. A l'aide des questions précédentes, dans quelle mesure peut-on décrire la lumière émise par un laser par un faisceau parallèle? Que se passe t'il à grande distance?
Q39. À l'aide des questions précédentes, discuter la validité de l'approximation de l'enveloppe lentement variable.
Q40. Montrer que dans l'approximation de l'enveloppe lentement variable on peut écrire que . En déduire l'expression du champ magnétique de l'onde.
Q41. Déduire de la question précédente l'expression de la valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting.
Q42. Calculer le flux de à travers le plan . En déduire l'expression de la puissance du faisceau laser en fonction de et .
2. Caractéristiques d'un piège dipolaire. On place des atomes de rubidium dans un faisceau laser gaussien de longueur d'onde et de puissance focalisé sur . On note et la masse, le coefficient d'amortissement ainsi que la longueur d'onde de la résonance de l'atome de rubidium.
Q43. Avec les notations de la première partie, calculer le rapport . En déduire que l'atome subit essentiellement l'effet de la force dipolaire et montrer que celle-ci attire l'atome vers le point de focalisation du faisceau.
Q44. Montrer que la profondeur du puits de potentiel vu par les atomes vaut
Q45. Faire l'application numérique. Rappeler l'énergie cinétique typique par particule dans un gaz parfait. À quelle température faut-il refroidir les atomes afin de pouvoir les contenir dans le puits de potentiel (on note la constante de Boltzmann)?
3. Réseau optique. On considère à présent deux faisceaux gaussiens contre-propageants de vecteurs d'onde et parallèles à , de même amplitude et focalisés au même point .
Q46. Donner l'expression du champ électrique total en un point de l'espace.
Q47. Calculer l'énergie potentielle vue par les atomes. Montrer que celle-ci s'écrit comme le produit d'une sinusoïde par une enveloppe dont on donnera l'expression. Comparer la période de la sinusoïde à . En déduire que l'on peut négliger localement les variations de que l'on supposera par la suite constant.
Q48. Montrer que si la température des atomes est suffisamment basse, par un choix judicieux de l'origine des positions et des énergies on peut écrire l'énergie sous la forme
où désigne la masse d'un atome de rubidium. Donner alors l'expression des pulsations propres d'oscillation dans les directions en fonction de et .
Q49. Que dire du rapport des pulsations et ?
Q50. On admet que si l'on prend en compte le caractère quantique du mouvement de l'atome, alors les énergies permises sont , où est un entier positif. Si la température du nuage est petite devant , alors l'agitation thermique est insuffisante pour franchir l'écart séparant le niveau fondamental des états excités. La dynamique des atomes est alors gelée dans la direction et l'on peut alors considérer le système comme étant bidimensionnel. Donner un ordre de grandeur de la température en dessous de laquelle les atomes entrent dans ce régime.

3 Physique des gaz d'atomes froids à deux dimensions

Dans cette dernière partie, on s'intéresse à quelques propriétés physiques d'un gaz bidimensionnel d'atomes. Nous considérerons dans un premier temps le profil de densité dans un piège harmonique, et nous verrons ensuite comment des expériences d'interférences atomiques permettent de mettre en évidence une transition de phase propre aux systèmes à deux dimensions.
  1. Condition d'équilibre d'un système thermodynamique. On considère un gaz bidimensionnel que l'on sépare en deux régions de volumes et . On suppose le gaz homogène dans chacun des volumes.
    Q51. On suppose que le nombre de particules et l'énergie interne du volume varient de et . Écrire la variation d'entropie du gaz dans la région (on notera et la température et le potentiel chimique dans la région ).
    Q52. Que vaut la variation d'entropie du système ? Que vaut-elle à l'équilibre?
    Q53. En utilisant les lois de conservation de l'énergie et de la quantité de matière, écrire la condition d'équilibre sur les et les .
    Q54. En déduire que pour un système à l'équilibre, le potentiel chimique et la température sont uniformes.
  2. Profil de densité du nuage. On cherche ici à décrire le profil de densité du nuage. On admet que pour un gaz bidimensionnel d'atomes confinés par un champ de force dérivant d'une énergie potentielle , l'équation d'état liant le potentiel chimique à la densité surfacique s'écrit à basse température
où est une constante caractérisant la force des interactions entre atomes.
Q55. À partir de la définition du potentiel chimique, interpréter les différents termes de .
Q56. On considère le cas d'un potentiel harmonique . En utilisant les questions précédentes, donner l'expression du profil de densité surfacique et tracer son allure. Préciser le rayon du nuage en fonction de et .
Q57. Déduire de la question précédente l'expression de en fonction de et du nombre total d'atomes piégés.
3. Interférences atomiques. On rappelle que du point de vue de la mécanique quantique, les atomes possèdent un comportement à la fois particulaire et ondulatoire. On associe ainsi à une particule d'énergie cinétique et de quantité de mouvement une onde de vecteur d'onde et de pulsation donnés par les relations de Planck-Einstein
On considère deux nuages piégés dans deux plans adjacents du réseau optique et à on éteint brusquement le potentiel de piégeage. Puisque le confinement dans la direction est important, on admet que lorsque le piège est éteint, l'énergie associée au mouvement selon domine les autres directions, et l'on peut par conséquent considérer les atomes immobiles dans le plan ( ), et se déplaçant uniquement dans la direction .
Q58. Quelle est la vitesse d'une particule partie de et observée à l'instant en un point ? En déduire l'expression de la phase accumulée par l'onde de matière entre le point et le point .
Fig. 2 - a) principe de l'expérience. Droite : Profils expérimentaux de densité du nuage atomique après 12 ms d'expansion libre. b) Nuage à basse température. c) Nuage au voisinage de la transition BKT (Extrait de S. Stock et al., Phys. Rev. Lett. 95 (2005) 190403, http://arxiv.org/abs/cond-mat/0506559)
Q59. Déduire de la question précédente que le déphasage des ondes issues de et peut s'écrire
Q60. La figure (2.b) présente le profil de densité du nuage atomique après une expérience du type de celle décrite ci-dessus. Interpréter les observations et en déduire l'écart séparant les deux plans avant expansion.
4. Équation de Schrödinger et vortex quantiques. Transition . On montre que dans les gaz de bosons bidimensionnels, il existe une transition de phase, dite transition BKT (Berezinski-Kosterlitz-Thouless) associée à la nucléation spontanée de tourbillons dans le nuage. En dessous de la température de transition , on admet qu'un nuage de particules peut être décrit par une seule fonction d'onde satisfaisant l'équation de Schrödinger
où désigne l'énergie potentielle des atomes dans le plan ( ). En utilisant l'interprétation probabiliste de la fonction d'onde, on admet que décrit la densité de particules dans le gaz.
Q61. À l'aide de l'équation de Schrödinger, montrer que obéit à une équation de la forme
avec
et est l'argument de .
Quelle loi physique cette équation traduit-elle? En déduire une interprétation physique du champ .
Indication : On pourra montrer à partir du formulaire que
où désigne le complexe conjugué de .
Q62. Calculer la circulation de sur un contour joignant deux points et en fonction de et .
Q63. On considère le cas où . Montrer que est égal à , avec entier.
Q64. En déduire que la circulation du champ sur un contour fermé est quantifiée et vaut .
Q65. Champ de vitesse du tourbillon. On considère un champ de vitesse tourbillonaire, à symétrie de révolution autour de l'origine. Par un argument de symétrie, donner la direction du vecteur vitesse dans le repère des coordonnées polaires ( ).
Q66. On suppose que la circulation du champ de vitesse autour de l'origine vaut . En déduire l'expression du champ de vitesse en coordonnées polaires ( ).
Q67. Déduire de la question précédente l'expression de en coordonnées polaires.
Q68. Que dire du signe de la fonction d'onde lorsque l'on tourne de autour du cœur du tourbillon? Comment interpréter le résultat de la figure (2.c), où l'on suppose qu'un des plans abrite un tourbillon analogue à celui qui vient d'être étudié.

Fin de l'épreuve

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