ENS Physique BCPST 2009

SESSION 2009

Durée : 4 heures

L'usage des calculatrices n'est pas autorisé.

Le sujet est composé de trois problèmes totalement indépendants. Il propose l'étude de quelques exemples de systèmes hors équilibre, pour lesquels un comportement périodique apparaît lorsque l'écart à l'équilibre devient suffisamment important.
Dans le premier problème est abordée la dynamique d'un circuit électronique.
Le comportement d'ondes à la surface d'une couche de fluide, soumis à une vibration verticale, est étudié dans un second problème. La partie présente une technique permettant l'étude expérimentale de ces ondes; la suite de ce problème est indépendantede cette partie.
Dans le dernier problème, on examine un système mécanique composé d'une masse soumise à plusieurs forces en compétition.

Formulaire : on rappelle que et .
Enfin, pour les applications numériques, on considère que est très grand devant si est plus grand que .

1- Un circuit électronique, représenté figure (1), est composé d'une résistance , d'une inductance et d'une capacité .

(a) Établir l'équation régissant l'évolution de la charge du condensateur. On posera et .
(b) Dans le cas d'un amortissement faible ( ), exprimer sachant que l'intensité est nulle à l'instant initial et la charge vaut .
(c) Exprimer l'énergie électrique contenue dans la capacité et l'inductance et déterminer la variation d'énergie pendant un temps . On exprimera les résultats en fonction de et .
Pourquoi doit-on avoir ? Représenter l'évolution du système dans le plan .
2- Un amplificateur opérationnel, supposé idéal et en fonctionnement linéaire, est associé à trois résistances (voir figure (2 a)). Exprimer en fonction de . On peut considérer le circuit comme un dipôle placé entre et la masse (voir figure ( 2 b)). Définir l'impédance équivalente de ce circuit et donner son expression. Identifier la fonction de ce dipôle.

3- On appelle multiplieurs, des circuits électroniques qui effectuent l'opération
, où les tensions sont définies figure (3). Ces composants sont supposés idéaux, ce qui signifie, notamment, que les courants d'entrée aux bornes sont nuls.
On considère le circuit de la figure (4). Les deux multiplieurs sont identiques.
Exprimer les tensions de sortie et des multiplieurs, puis montrer que l'équation vérifiée par la charge du condensateur peut s'écrire sous la forme :

et donner les expressions de et en fonction des paramètres du problème.
Établir l'équation vérifiée par . Quelle signification physique donnez-vous à ?

4- Les caractéristiques des composants électroniques sont :
.

Calculer la pulsation .
Pour quelle valeur de a-t-on ?
5- On suppose que est négatif et on adopte des conditions initiales telles que et sont "petits". Écrire alors une équation simplifiée pour la charge. À quel problème est-on ramené? Comment les grandeurs et se comportent-elles aux temps longs?

6- On suppose que est positif et petit devant .
(a) Indiquer comment évoluerait le système si l'équation simplifiée précédente restait valable et justifier qu'elle n'est donc plus suffisante.

(b) On reprend donc l'équation complète (1) et on en cherche une solution approchée sous la forme , avec constant. Exprimer en moyennant, sur une période, l'équation vérifiée par .
(c) Pour tendant vers 0 , comment se comporte l'amplitude de l'oscillation définie par , où est la charge maximum et la charge minimum du condensateur? Tracer cette amplitude en fonction de .
(d) Pour obtenir l'équation (1), on a supposé que l'amplificateur opérationnel était idéal et fonctionnait en régime linéaire. A quelle(s) condition(s) cette dernière hypothèse est-elle justifiée?
N.B. : Ce type de circuit est appelé oscillateur de Van der Pol, du nom du physicien hollandais qui identifia des phénomènes similaires en étudiant des circuits électriques plus complexes, durant la première moitié du XX siècle.

Deux électrodes cylindriques plongent, verticalement, dans une couche de fluide d'épaisseur . Elles sont situées à une distance , l'une de l'autre (figure (5)). Ces électrodes sont reliées à un générateur de tension sinusoïdale de pulsation , à travers une résistance fixe . On admet que l'ensemble constitué des deux électrodes est équivalent à une résistance en parallèle avec une capacité . et sont deux coefficients qui dépendent de la géométrie des électrodes et de la nature du fluide.

1- On suppose ici fixée, et le sont donc également. En régime sinusoïdal permanent, exprimer la tension aux bornes des électrodes en fonction de la tension fournie par le générateur. Définir et donner l'expression de la pulsation de coupure du circuit.

2- On suppose que la variation de hauteur du fluide est suffisamment lente pour que les variations relatives de et soient négligeables pendant les durées et . Expliquer pourquoi la mesure de permet de déterminer les variations de hauteur du fluide. Exprimer en fonction de . On donnera le résultat en faisant intervenir, entre autres, et .

3- Le fluide considéré est un solvant aqueux tel qu'au repos et que la résistance est très grande devant toutes les impédances du circuit. On choisit .

À quelle fréquence minimale doit-on travailler pour qu'une variation de de la hauteur se traduise par une variation supérieure à ?

On considère un fluide de masse volumique dont on néglige, initialement, la viscosité. La hauteur du fluide au repos, mesurée par rapport au fond horizontal, est notée . Pour simplifier, on suppose que le problème ne dépend pas de la coordonnée d'espace ( ). Nous notons la hauteur du fluide comme représenté en figure (6).

On suppose que les changements de hauteur de l'écoulement ont lieu sur des distances, suivant , très grandes devant l'épaisseur de fluide, et que la vitesse du fluide est principalement dirigée suivant . On note cette vitesse. On supposera que l'écoulement est incompressible.

Enfin, on considère que les écarts à l'équilibre sont faibles et, dans les équations de bilan, on néglige les termes quadratiques en écarts à l'équilibre.

4- En raisonnant sur une tranche infinitésimale de fluide de largeur , montrer que :

5- On admettra que, suivant la direction verticale, le champ de pression du fluide vérifie, à tout instant, l'équation de la statique des fluides. Exprimer en fonction de , la gravité et la pression du gaz au dessus du fluide.
Par un bilan de quantité de mouvement, effectué sur une couche de hauteur inférieure au creux le plus bas, trouver une relation entre et .

6- Relation de dispersion.
(a) Montrer que les champs et vérifient l'équation, écrite ici pour un scalaire , de la forme :

Donner l'expression de en fonction des paramètres du problème. Donner une expression générale des solutions.
(b) On cherche des solutions sous la forme d'ondes planes monochromatiques :

où est la partie réelle de . Établir la relation de dispersion de ces ondes. Conclure sur les propriétés du milieu et citer un autre type d'ondes ayant des propriétés similaires.
N.B. : On appelle "limite de couche peu profonde", le cadre d'hypothèses qui a permis d'établir cette équation.

7- Dans un cadre moins étroit d'hypothèses, la relation de dispersion prend la forme plus générale suivante :

où est une caractéristique de l'interface fluide/gaz, nommée tension de surface, et tanh est la fonction "tangente hyperbolique".
Pour quelles longueurs d'onde retrouve-t-on les résultats de la question précédente?
8- Application numérique.
(a) Le fluide est une couche d'eau d'épaisseur 5 mm , pour laquelle la tension de surface (air/eau) vaut et la masse volumique .
Pour quelles longueurs d'onde la relation de dispersion obtenue en question 6b est-t-elle valide? À quelle vitesse se propagent alors les ondes?
(b) Mêmes questions, en considérant un océan d'épaisseur 1 km , et dont les paramètres physiques sont approximativement ceux de l'eau.

On se place, par la suite, dans la limite de couche peu profonde. Il s'agit maintenant d'étudier l'effet d'une vibration verticale sur la couche de fluide.

9- On fait vibrer, verticalement, le plan (le fond) sur lequel repose le fluide, selon la loi horaire :

Exprimer l'accélération , du fond.
Cette accélération a pour effet de changer la valeur instantanée du champ de gravité ressenti par le fluide. Ceci se manifeste, dans l'équation différentielle qui régit la hauteur du fluide, par la modification du paramètre en .

Ecrire, dans ces conditions, l'équation différentielle qui régit la hauteur du fluide.
10- On cherche une solution, spatialement périodique, sous la forme:

Donner l'équation vérifiée par l'amplitude de l'onde. L'écrire sous la forme :

et donner l'expression de .

11- Les effets dissipatifs peuvent être décrits en ajoutant, au second membre de l'équation (6), un terme de la forme . D'autre part, la prise en compte d'effets nonlinéaires peut se traduire par l'introduction d'un autre terme, au second membre de l'équation (6), d'expression .

Préciser les dimensions des coefficients et (supposés positifs dans la suite).
12- On recherche alors des solutions de cette l'équation sous la forme:

où et sont constants et vérifie la relation de dispersion obtenue question 6b, en l'absence de vibration et pour une pulsation .

En multipliant l'équation obtenue question 11 par et en moyennant sur une période, obtenir deux relations réelles reliant l'amplitude et la phase aux paramètres du problème. On pourra utiliser le fait que, dans l'équation obtenue question 11, seuls les termes en ne se moyennent pas à zéro et qu'il suffit donc d'identifier ces termes. On exprimera les deux relations en fonction de et .

13- Montrer que des solutions des équations précédentes, et représentant des vagues d'amplitude non nulle, existent si l'accélération verticale du fond est suffisamment grande. Cette condition permet de définir une valeur critique de , notée dont on donnera l'expression en fonction de et . Comment l'amplitude et la phase se comportent-elles quand tend vers ?

14- On suppose que est inversement proportionnel à la hauteur du fluide au repos, et qu'il dépend de la viscosité cinématique du fluide et de la pulsation .
(a) En raisonnant sur les dimensions, donner l'expression de , à un préfacteur numérique près qui sera supposé égal à 1 .
(b) On fait vibrer à 2 Hz une couche d'eau de 5 mm d'épaisseur et de viscosité cinématique .

À partir de quelle accélération ces vagues peuvent-elles exister?
15- On impose une accélération du fluide légérement supérieure à la valeur critique.
Représenter qualitativement l'évolution temporelle de la hauteur , à l'abscisse . On représentera, sur le même graphe, l'accélération du fluide .

Ce phénomène, d'apparition d'ondes de surface engendrées par la vibration verticale d'un fluide, porte le nom d'instabilité de Faraday, du nom du scientifique qui l'a mis en évidence dans la première moitié du XIX siècle. Notons que ces ondes peuvent être engendrées dans d'autres milieux, à la surface de couches granulaires par exemple.

On considère une masse , supposée ponctuelle, fixée à l'extrémité d'une tige rigide de masse négligeable et de longueur comme indiqué sur la figure (7). L'autre extrémité de la tige est articulée en un point . La liaison permet à la tige de tourner autour de ce point en la maintenant dans un plan .
Par convention, les grandeurs vectorielles sont notées en caractères gras dans l'énoncé. On note la position de la masse en coordonnées cylindriques. On rappelle l'expression des dérivées temporelles des vecteurs unitaires dans la base cylindrique:

On note (respectivement ) le vecteur directeur associé à la direction ( ) (respectivement .

1- Exprimer la vitesse de la particule et son accélération, en fonction de et leurs dérivées.

2- On note la force exercée par la tige sur la masse. Cette force est dirigée parallèlement à la tige. En tenant compte de la gravité , exprimer l'accélération de la masse. La longueur restant constante, en déduire la force exercée par la tige.

3- À quelle(s) condition(s) la force de frottement, subie par une sphère de rayon se déplaçant à vitesse dans un fluide visqueux de masse volumique et de viscosité cinématique , s'exprime-t-elle par la relation ?

4- La masse et la tige sont placées dans un cylindre, d'axe ( ) perpendiculaire au plan ( ), noté sur la figure (7). Ce cylindre contient un fluide visqueux de masse volumique et de viscosité cinématique . Le cylindre est en rotation autour de son axe à la vitesse angulaire constante , entrainant ainsi le fluide dans son mouvement.

On suppose que la vitesse du fluide n'est pas affectée par la présence de la masse et de la tige, et qu'elle s'écrit . On se limite au cas .
(a) Exprimer, à l'aide de et , la vitesse relative de la masse par rapport au fluide.
(b) La masse est supposée sphérique de rayon , avec . Exprimer la force exercée par le fluide sur la masse dans la limite où la vitesse considérée reste faible. On négligera la poussée d'Archimède dans cette question ainsi que dans toute la suite du problème.
(c) Établir l'équation différentielle vérifiée par l'angle . L'écrire sous la forme :

et expliciter les coefficients et .
5- Lorsqu'on néglige le terme inertiel, l'équation précédente prend la forme approchée :

En considérant que les mouvements ont lieu sur un temps caractéristique , à quelle condition cette approximation est-elle valide?

On suppose que la position de la masse est décrite par l'équation (9).

6- On recherche les positions d'équilibre.
(a) Sur quel intervalle peut-on chercher ? Préciser l'équation vérifiée par les positions d'équilibre .
(b) Sans chercher à exprimer les valeurs de , proposer une résolution graphique de cette équation. Montrer qu'il existe une valeur critique de , notée , à partir de laquelle le nombre de solutions change.

7- Pour inférieur à , discuter la stabilité (vis à vis de petites perturbations angulaires) des éventuelles positions d'équilibre. Représenter, dans le plan ( ), les positions d'équilibre, pour quelques valeurs croissantes de entre 0 et .

8- Que se passe-t-il si ? Sans, l'expliciter, décrire la trajectoire suivie par la masse.

9- On se place dans le cas où est très proche de , par valeur supérieure.
(a) Toujours sans expliciter la solution, représenter qualitativement l'allure de l'abscisse de la masse en fonction du temps . Faire de même pour son ordonnée .
(b) Exprimer la période du mouvement sous la forme d'une intégrale, portant sur , et paramétrée par et . On ne cherchera pas à calculer cette intégrale.

10- Pour très légérement supérieur à , exprimer la période en fonction de et , sachant que la fonction :

est équivalente à , lorsque tend vers 0 , par valeur supérieure.
Comment se comportent l'amplitude de l'oscillation, ainsi que la période , lorsque tend vers , par valeur supérieure?

11- Pour très grand devant , donner une expression approchée de et en déduire la période dans cette limite. À l'aide de ce résultat et de celui de la question précédente, tracer l'allure de en fonction de pour .

12- À quelle(s) condition(s), les hypothèses permettant d'obtenir l'équation (9) sontelles vérifiées?

13- Le système mécanique est constitué d'une masse , de rayon . La tige est de longueur . Le fluide est une huile silicone de viscosité cinématique et de masse volumique assimilable à celle de l'eau. Le cylindre effectue un tour en 10 secondes.

Déterminer .
À quelle vitesse de rotation le changement de comportement a-t-il lieu?

On se place, dans cette partie, dans le cas où est inférieur à et considère toujours que la position de la masse est régie par l'équation (9).

14- La masse est initialement près de son point fixe stable repéré par , une perturbation déplace la masse de à . On suppose que est compris entre 0 et .
(a) Justifier que, suivant la valeur de , deux types de comportements sont possibles. Pour quelle valeur se produit le changement de comportement?
(b) Dans le cas où est très petit, comment le système évolue-t-il ? Identifier une durée caractéristique de cette évolution. Représenter en fonction de .
(c) Que se passe-t-il si est plus grand que ? Représenter alors qualitativement l'évolution de l'abscisse en fonction du temps.

15- Dans le cas où est légérement supérieur à , une seconde perturbation de même amplitude a lieu à , et fait passer la masse de la position à .

Que peut-il se passer?

16- Quelques propriétés de ce système sont similaires aux propriétés de certains neurones impliqués dans la transmission d'influx nerveux. Lesquelles?

Dans cette dernière partie la masse n'est plus située dans le champ de gravité mais est soumise à une force dirigée suivant et proportionnelle à où est une contante positive. Comme précédemment, le cylindre tourne à la vitesse angulaire .

17- Donner l'équation qui régit l'évolution de la masse, dans la limite où le terme inertiel est négligeable.

18- Montrer qu'il existe une valeur de notée pour laquelle le comportement du système change. Dans le cas où est légérement supérieur à , représenter l'abscisse de la masse et son ordonnée en fonction de .

19- On se place pour des valeurs de légérement inférieures à . Des perturbations d'amplitudes variables ont lieu à des instants éloignés. Représenter l'ordonnée de la masse en fonction de . Proposer un nom pour ce comportement. Connaissez-vous un autre système dont le comportement est similaire?

Fin de l'épreuve