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Mines Mathématiques 1 PC 2008

Translations dans des espaces de fonctions

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Algèbre linéairePolynômes et fractionsRéductionFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctions
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Banque
Mines
Année
2008
Filière
PC
Matière
Maths
Mines PCMines 2008PC MathsMaths 2008
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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.

ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2008

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PC

(Durée de l'épreuve : heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

La partie III est indépendante des deux premières.

I Préliminaires

Pour un ensemble de complexes distincts et pour entier compris entre 0 et , on définit le polynôme par :
  1. Montrer que les polynômes forment une base de .
  2. Écrire la matrice du système dans la base .

II Fonctions polynomiales

Dans cette partie, on note un entier naturel fixé et l'espace vectoriel des polynômes à coefficients complexes de degré inférieur ou égal à . Pour , on définit
Pour , on note le polynôme dérivé :
Pour , on pose . On tiendra pour acquis que et sont des endomorphismes de . On désignera par la base de définie .
3. Écrire les matrices, notées respectivement et , des endomorphismes et dans la base .
4. En déduire les éléments propres de ces endomorphismes. On donnera les valeurs propres, les espaces propres correspondants ainsi que leurs dimensions.
5. Quels sont les sous-espaces vectoriels de stables par ? Donner leur nombre. Indication : on pourra considérer un polynôme de degré maximal dans , sousespace stable.
6. Soit un polynôme fixé de degré . Montrer que le système
constitue une base de . Donner la matrice de passage de vers .
7. Pour , exprimer les coordonnées du système
dans la base . On note la matrice ainsi obtenue. En déduire que constitue une base de qu'on notera .
8. On note la matrice de passage de vers . Exprimer en fonction de et .
9. Pour a fixé dans , caractériser les sous-espaces vectoriels de stables par .

III Fonctions continues, -périodiques

Dans cette partie, désigne l'espace vectoriel des fonctions complexes continues sur et -périodiques. Pour , on désignera par la suite (indexée sur ) des coefficients de Fourier de : pour tout entier relatif ,
Pour tout entier relatif , on notera la fonction
Pour et , on note la fonctions à valeurs dans définie
Cela nous permet de définir l'endomorphisme de :
Pour tout réel , on définit la fonction par
  1. Préciser les réels pour lesquels la fonction est injective. Dans le cas contraire, montrer que est périodique.
  2. Pour , donner les valeurs de la suite en fonction des valeurs prises par la suite .
  3. Donner les valeurs propres de . Caractériser les valeurs de pour lesquelles les espaces propres de sont tous de dimension 1 .
  4. Soit un sous-espace vectoriel de de dimension finie et stable par . Soit non nul, montrer qu'il existe scalaires non tous nuls tels que pour tout entier relatif ,
  1. Soit réel fixé tel que soit irrationnel. Soit appartenant à , montrer qu'il existe un entier tel que pour .
  2. Montrer qu'il existe un entier tel que pour tout appartenant à pour .
  3. Soit le sous-espace vectoriel de engendré par ( ). Vérifier que et stable par .
  4. L'endomorphisme restreint à est-il diagonalisable?
  5. Montrer qu'on peut trouver un ensemble fini d'entiers relatifs tel que soit le sous-espace vectoriel engendré par les pour décrivant .

Fin du problème

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