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Mines Mathématiques 2 PC 2002

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Séries et familles sommablesAlgèbre linéaireSuites et séries de fonctionsNombres complexes et trigonométrie, calculs, outilsIntégrales à paramètres
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Mines
Année
2002
Filière
PC
Matière
Maths
Mines PCMines 2002PC MathsMaths 2002
2025_08_29_5eaea9e5c6b8af4423a3g
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2002
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ÉPREUVE Filière PC (Durée de l'épreuve : 3 heures) (L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES 2-Filière PC.
Cet énoncé comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Dans tout le problème, est le segment , est une fonction réelle définie et continue sur le segment , est une fonction définie et continue sur le segment , positive (pour tout réel de .
L'objet du problème est l'étude et l'approximation des solutions réelles, définies sur le segment , deux fois continûment dérivables (de classe ) des équations différentielles suivantes :
vérifiant, en outre, les conditions suivantes aux extrémités du segment :
Une fonction , de classe , définie sur le segment , vérifiant les conditions , est dite solution du problème si elle est solution de l'équation différentielle , respectivement solution du problème si elle est solution de l'équation différentielle .

Première partie

Exemples, résultats généraux.

I-1. Exemples :

Déterminer toutes les solutions de l'équation différentielle vérifiant les conditions dans les deux cas suivants :
a. La fonction est nulle et la fonction constante et égale à 1 :
b. La fonction est constante et égale à 1 ; la fonction est la fonction où est un réel donné :

I-2. Unicité des solutions :

a. Soit une fonction solution de l'équation vérifiant les conditions ; démontrer que cette solution vérifie la relation :
En déduire que la seule solution du problème est la solution nulle.
b. Démontrer que, pour des fonctions et données, il existe, au plus, une solution du problème .

I-3. Existence d'une solution :

a. Étant données deux fonctions et solutions de l'équation différentielle , soit la fonction définie sur l'intervalle par la relation suivante :
Démontrer que, si la fonction s'annulle au point , la fonction est nulle sur l'intervalle .
En déduire une condition nécessaire et suffisante sur les deux solutions et pour que la fonction ne s'annulle pas en .
Soient et deux solutions de l'équation différentielle une solution de l'équation et et deux scalaires. Soit et la fonction et le vecteur définis par les relations suivantes :
b. Démontrer que, pour que la fonction soit solution du problème , il faut et il suffit que le vecteur vérifie la relation matricielle suivante :
où est une matrice carrée d'ordre 2 et un vecteur qui seront précisés.
c. Démontrer que le problème admet une solution unique.

Deuxième partie

Quelques propriétés de certaines matrices de .
Il est admis que l'application de l'espace dans :
est une norme. Il est admis que l'application de l'espace des matrices carrées d'ordre , dans :
est une norme. Un vecteur de est dit positif si toutes ses coordonnées sont positives ou nulles ( ). Cette propriété s'écrit :
Une matrice de est dite positive si tous ses termes sont positifs ou nuls. Cette propriété s'écrit :
Étant donnée la base canonique de , soit le vecteur dont toutes les coordonnées sont égales à .

II-1. Quelques propriétés matricielles :

Soit une matrice carrée de :
a. Démontrer que, pour que cette matrice soit positive, il faut et il suffit que le vecteur image de tout vecteur de la base canonique de soit positif.
b. Établir la propriété : pour tout vecteur de ,
c. Démontrer, pour une matrice positive, la relation :
Comparer les deux expressions et ; en déduire la norme de la matrice .
d. Soit une matrice de possédant la propriété suivante : chaque fois qu'un vecteur de a une image positive ( ), le vecteur est positif ( ). Démontrer que la matrice est injective puis qu'elle est inversible et que son inverse est une matrice positive.

II-2. Un exemple :

Soient et les deux matrices carrées d'ordre suivantes :
Les termes de la matrice situés sur la diagonale principale sont égaux à 2, ceux situés juste au dessus et juste au dessous à -1 , les autres sont nuls.
La matrice est diagonale et positive ; les termes , de la diagonale principale sont positifs ou nuls ( ) :
a. Soit un vecteur de de coordonnées , tel que le vecteur soit positif.
Démontrer que le vecteur est positif à l'aide d'un raisonnement par l'absurde, par exemple, en complétant la suite par des termes et nuls ( ), et en considérant l'entier pour lequel le réel est égal au plus petit des réels :
b. Déduire du résultat précédent que les deux matrices et sont inversibles.

II-3. Norme de la matrice :

Soit et les deux vecteurs définis par les relations suivantes :
a. Démontrer que ces vecteurs sont positifs ainsi que le vecteur .
b. Comparer les normes des deux vecteurs et ; en déduire : pour tout vecteur de ,

II.4. Une majoration de la norme du vecteur :

Soit l'ensemble des suites réelles infinies vérifiant, pour , la relation de récurrence suivante :
Soit l’ensemble des suites réelles vérifiant, pour , la relation de récurrence suivante :
a. Déterminer les suites qui appartiennent à l'espace .
b. Déterminer une suite appartenant à l'espace qui soit un monome du deuxième degré :
c. Déterminer les suites qui appartiennent à l'espace ; en particulier celles qui vérifient les deux conditions suivantes :
d. Déterminer les coordonnées du vecteur ; en déduire que la norme de ce vecteur vérifie l'inégalité suivante :

Troisième partie

Approximation de la solution du problème .
Dans toute la suite l'entier est supérieur ou égal à 3 ( ). Soit et , , les réels définis par les relations suivantes :

III-1 Une approximation de la dérivée seconde :

Soit une fonction quatre fois continûment dérivable sur le segment . Soit le maximum de la valeur absolue de la dérivée quatrième :
Soient et des réels tels que les réels et appartiennent au segment . Démontrer l'existence d'une fonction des réels et qui vérifient les relations suivantes :

III-2. Problème discrétisé :

a. Démontrer que, si les deux fonctions et sont deux fois continûment dérivables, la solution du problème est quatre fois continûment dérivable.
Soient et les vecteurs de et la matrice diagonale de définis par les relations suivantes :
b. Déterminer, en désignant toujours par la matrice définie à la question II-2, un majorant de la norme du vecteur , au moyen des réels et .
Soit le vecteur défini par la relation suivante :
c. Démontrer la majoration :
où est une constante ; en donner une valeur à l'aide de .
Donner une signification du vecteur . Préciser comment ce vecteur se calcule.
FIN DU PROBLÈME
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